מבוא
כמו אנשים רבים שימשיכו להיות מתמטיקאים, ווי הו גדל בתחרויות מתמטיקה. בכיתה ח' היא זכתה בתחרות מדינת Mathcounts בוויסקונסין, והנבחרת שלה תפסה את המקום השלישי בתחרויות הלאומיות.
בניגוד למתמטיקאים עתידיים רבים, היא לא הייתה בטוחה שהיא אי פעם רוצה להיות כזו.
"רציתי לעשות הכל, כל הזמן", אמר הו. "לקחתי את הבלט ברצינות רבה עד התיכון המוקדמים. ערכתי את כתב העת הספרותי. עשיתי דיונים וזיהוי פלילי. שיחקתי טניס וכדורגל ופסנתר וכינור". לעומת זאת, נראה כי מתמטיקאים מצליחים רבים היו אובססיביים למתמטיקה ללא כל דבר אחר. איך היא, אדם עם תשוקות רבות, יכולה להתחרות ברמת המיקוד הזו?
בסופו של דבר, הו נמשך לקפדנות המתמטיקה. היא עדיין נהנית מבלט, לקרוא רומנים ולעשות תשבצים נסתרים, אפילו כשהיא עוזרת להמציא מחדש את המנגנון המתמטי שעומד בבסיס אובייקטים מתמטיים בסיסיים, כמו משוואות פולינומיות, שיש להן שאלות פתוחות ארוכות ומבלבלות.
הו חוקרת עצמים גיאומטריים מוכרים, אך היא מנסחת מחדש את השאלות כדי למקם אותם בתחום המספרים הרציונליים - מספרים שניתן לכתוב כשברים. "ואז תורת המספרים מתחילה להתערבב בכל זה", אמרה.
היא מתעניינת במיוחד בעקומות אליפטיות, המוגדרות על ידי סוג מסוים של משוואה פולינומית שיש לה יישומים בענפים שונים של המתמטיקה. עקומות אליפטיות מופיעות באנליזה - בגדול, חקר דברים מתמשכים, כמו המספרים הממשיים - ובאלגברה, העוסקת במציאת והגדרת מבנים מתמטיים מדויקים. (למרות שהמיקוד שלהם שונה, ניתוח ואלגברה מחולקים יותר לפי רגישות מאשר לפי גבול קפדני, מכיוון שיש הרבה חפיפה ביניהם.)
מבוא
ב-preprint פורץ מחסומים שפורסמו ב-2018, הו ושותפת הפעולה שלה לוונט אלפוגה מאוניברסיטת הרווארד גילה גבול עליון חדש עבור מספר פתרונות שלמים לפולינומים המגדירים עקומות אליפטיות. הטכניקה שלהם נשענת על עבודתו בת עשרות שנים של לואיס מורדל, מתמטיקאי אמריקאי שהיגר לבריטניה ב-1906. במאמרם, הו ואלפוגה הצליחו ללקט מידע חדש על התפלגות פתרונות המספרים השלמים הללו שהתחמקו מצוותים אחרים שחקרו דומה בעיות.
הו מבלה את השנה (בחופשה מתפקידה בפקולטה באוניברסיטת מישיגן) כפרופסור אורח במכון ללימודים מתקדמים, שם נבחרה לאחרונה למנהלת הראשונה של תוכנית הנשים והמתמטיקה של ה-IAS. היא גם עמית לשנת 2023 של האגודה האמריקאית למתמטיקה וחוקר מחקר באוניברסיטת פרינסטון.
היא מקווה שהנחיית התוכנית לנשים ומתמטיקה "לפחות יעזור יותר לקהילה, תעזור ליותר אנשים, במקום שרק אני במשרד שלי אעשה מחקר מתמטי בעצמי או עם משתפי פעולה", אמרה. "אני יכול להוכיח משפטים, ואולי מתישהו אוכל להוכיח משפט שבעוד 100 שנים ישפיע. אולי ואולי לא. אבל הרגשתי שאני לא משפיע מספיק על העולם או על אנשים סביבי".
Quanta שוחח עם הו בסדרה של ועידות וידאו. הראיונות תמציתו ונערכו לצורך הבהירות.
איך היית מתאר את הדרך בה אתה עושה מתמטיקה?
לפעמים מתמטיקאים מחלקים את עצמנו לאנשים אלגבריים ואנליטיים. המתמטיקה שאני עושה נוגעת בשני הצדדים, אבל בלב, אני אלגבראיסט, אם כי אני גיאומטרי באופן שבו אני חושב. לעתים קרובות אני נוטה לראות באלגברה ובגיאומטריה זהות בעצם.
זה לא ממש מדויק, אבל בעצם מאז עבודתו של דקארט ובמיוחד במאה הקודמת, שני הנושאים הפכו ממש קרובים. יש מילון די מדויק שיכול, במצבים מסוימים, לעזור לתרגם תמונה גיאומטרית להשלכות אלגבריות.
במקרה שלי, התמונה הגיאומטרית עוזרת לא פעם בניסוח הצהרות והשערות ולתת אינטואיציה, אבל אז אנחנו מתרגמים אותן לאלגברה בזמן הכתיבה. קל יותר לזהות טעויות מכיוון שהאלגברה בדרך כלל קפדנית יותר. זה גם יכול להיות קל יותר להשתמש באלגברה כאשר הגיאומטריה מתקשה לדמיין.
באילו רעיונות התמקדת בעבודה האחרונה שלך?
לא מעט מהעבודה שלי כן קשורה לעקומות אליפטיות, שהן אובייקטים טבעיים מאוד בתורת המספרים ובגיאומטריה האריתמטית.
זה אמור להיות קשה לקבל פתרונות שלמים של משוואות כמו אלה. אנו מצפים, בעצם, כמעט לכל העקומות לא יהיו פתרונות שלמים. אבל קשה מאוד להוכיח את זה.
לבנט ואני למדנו את ההתפלגות הזו של מספר הנקודות האינטגרליות. אנו משתמשים בבנייה קלאסית מספרו של מורדל משנת 1969 משוואות דיופנטיות. אנו מסוגלים לתת גבול עליון למספר הנקודות האינטגרליות בעקומה אליפטית. אנשים אחרים נתנו גבולות עליונים. מצאנו גבול אחר שקל לקבוע.
איזה תפקיד מילאה עבודתו הקודמת של מורדל בתוצאה האחרונה שלך?
השאלה שלנו כוללת נקודות אינטגרליות על עקומות אליפטיות. למורדל יש דרך לקשר את זה למשהו אחר שאנחנו מסוגלים ללמוד.
זה משהו שאנחנו עושים כל הזמן במתמטיקה: אנחנו רוצים להבין אובייקט, אבל אנחנו צריכים למצוא פרוקסי כדי להבין אותו. לפעמים הפרוקסי הזה הוא מאוד מדויק. לפעמים הוא מאבד מידע. אבל זה בעצם משהו שאנחנו יכולים לגשת אליו.
מתי החלטת להתמקד במתמטיקה?
אני לא חושב שהיתה נקודת מפנה עבורי. אני מרוצה מהחיים ומהקריירה שלי עכשיו, אבל אני מרגיש שאם הדברים היו קצת שונים, יכולתי להיות מאושר בהרבה קריירות או בתחומים אחרים. אולי זה משהו שרוב המתמטיקאים לא היו אומרים, כי הם אוהבים לדבר על כמה הם נלהבים ממתמטיקה וכיצד הם לעולם לא יכלו לחשוב על שום דבר אחר. מבחינתי, אני לא חושב שזה נכון.
אני סקרן לגבי הרבה דברים שונים. אולי בסופו של דבר הייתי מתמטיקאי כי הייתי מתוסכל מחוסר הקפדנות בתחומים אחרים. כילדה הוכשרתי לחשוב כמו מתמטיקאי במובנים מסוימים, כי ככה עשינו דברים בבית. אבא שלי שיחק איתי במשחקי מתמטיקה, מה שאומר שלמדתי חשיבה לוגית מגיל צעיר. רציתי שהדברים יוכחו.
אבל לא הייתי בטוח שאהיה מתמטיקאי טוב.
למה?
כשהייתי צעיר יותר, לא הכרתי כל כך הרבה אנשים במתמטיקה שהיו כמוני בדרכים שונות. אנחנו זורקים את המילים האלה על מודלים לחיקוי. זה לא רק שלא ראיתי מספיק נשים או נשים אמריקאיות אסייתיות.
מה שאני מתכוון הוא שלא ראיתי הרבה אנשים שהיו נלהבים מדברים אחרים מלבד מתמטיקה. זה גרם לי לפקפק בעצמי הרבה. איך אוכל להצליח במתמטיקה אם אני לא מקדיש 100% מזמני לחשוב על מתמטיקה? זה מה שראיתי מסביבי. היה לי הרושם שאנשים אחרים ניגשים למתמטיקה אחרת ממני, בני גילי ואנשים מבוגרים ממני. חשבתי שקשה להמשיך בקריירה שבה אני לא הולך להיות כזה. יהיו לי תחומי עניין אחרים.
ההיבט האנושי הוא משהו שלא ראיתי שאנשים אחרים דואגים לו כל כך. פחדתי שחלק ממני יעשה אותי גרוע בלהיות מתמטיקאי.
מבוא
זה עתה נבחרת למנהלת התוכנית לנשים ומתמטיקה של ה-IAS. מה התוכנית הזו מציעה לנשים מתמטיקאיות?
זוהי סדנה בת שבוע לנשים בשלבי קריירה שונים, כולל נשים לתואר ראשון, סטודנטיות לתארים מתקדמים, פוסט דוקטורט, וכמה סגל זוטר ובכיר. זה לימוד מתמטיקה בסביבה תומכת.
בוגרי תואר ראשון שאולי לא ידעו שהם רוצים ללמוד מתמטיקה פוגשים מתמטיקאים בכירים מאוד ומקבלים חונכות עד הסוף. הם יכולים לראות אנשים רבים ושונים בשלבי קריירה שונים ולדבר עם אנשים על החוויות שלהם. אני לא חושב שיש הרבה תוכניות אחרות שיש להן את כל הטווח הזה והן ממוקדות בתת-תחום מסוים.
תוכנית 2023 נקראת "דפוסים במספרים שלמים". יהיו בו הרבה אנשים בקומבינטוריקה מוסיפה ובתורת המספרים האנליטית. אנחנו מביאים אנשים ממסלולי קריירה שונים כדי שיפגשו אותם.
עבור הסטודנטים הבוגרים יותר שכבר עובדים בתחום זה, הם פוגשים פוסט דוקטורט, סגל זוטר ובכיר בתחומם, ומקבלים הזדמנות לעבוד לצדם במשך שבוע.
אתה גם מעורב ב פרויקט מחסניות, שהוא משאב מקוון נרחב. מה ייחודי בו?
הנפח העצום והנגישות שלו. זה פרויקט שיתופי מקוון - יותר מ-7,500 דפים אם הדפסתם אותו. אבל באופן מציאותי, [המתמטיקאי של אוניברסיטת קולומביה] איי יוהאן דה יונג כותב כמעט הכל. זהו משאב קפדני, כתוב בקפידה עבור גיאומטרים אלגבריים. זה דבר מדהים שהוא עשה למען הקהילה.
כל שבוע או שבועיים זה גדל. זה אסמכתא מהימנה כמעט לכל דבר. זה מכסה כמות עצומה של גיאומטריה אלגברית שתצטרך להסתכל עליהן כמו 20 ספרי לימוד.
זה לחיות במובן שניתן להוסיף ולערוך דברים. אם יהיו טעויות, הם ייתפסו.
הדבר השני שדי מעניין בו הוא מערכת התגים. למרות שמסמך זה גדל כל הזמן, אתה עדיין יכול להפנות לתג ספציפי לנצח. יש יותר מ-21,000 תגים קבועים עבור תוצאות מסוימות שאולי תרצה לצטט. פיטר בלמנס בנה את כל החלק האחורי, ששימש גם בפרויקטים אחרים. אנשים אחרים התאימו את הטכנולוגיה של זה.
הבעיה היא - ויוהאן יודע זאת - הוא בסופו של דבר לא יוכל להמשיך לכתוב את זה. יום אחד, אם אנחנו רוצים שזה יימשך, זה צריך שאנשים אחרים יהיו מעורבים יותר.
איזה תפקיד ממלאות הסדנאות שלך בפרויקט Stacks?
העניין הוא להתחיל לערב אנשים צעירים יותר. אנחנו מבקשים מהם לכתוב חלקים וקטעים שבסופו של דבר עשויים להשתלב בו. יש כאן כמה מתחים, כי כדי שהאתר יישאר תקין ואיכותי כמשאב, צריך למתן אותו בזהירות. אז יוהאן עדיין צריך לעשות הרבה מהעבודה בהכנסת דברים לתוכו. זה לא יכול להיות כמו ויקיפדיה שבה כל אחד יכול לגעת בזה. זה קצת מצער אבל חייב לקרות אם אתה רוצה שזה יעבוד.
אנחנו מנסים למצוא דרכים לגרום לאט לאט יותר אנשים להיות מעורבים בפרויקט Stacks. אנו מביאים מנטורים לעבודה על פרויקטים עם סטודנטים לתארים מתקדמים ופוסט דוקטורט. הם לומדים קצת גיאומטריה אלגברית. ואז הם כותבים משהו.
We רק פורסם כרך עם חבורה של מאמרי הסבר שאנו מקווים שיכנסו בסופו של דבר לפרויקט Stacks.
פרויקט Stacks יכול להמשיך להיות בעל השפעה רבה במשך מאות שנים אם מספיק אנשים יהיו מעורבים וימשיכו אותו.
