מגדל של השערות המונח על מחט | מגזין קוונטה

במתמטיקה, בעיה פשוטה היא לרוב לא מה שהיא נראית. מוקדם יותר הקיץ הזה, Quanta דיווח על בעיה אחת כזו: מהו השטח הקטן ביותר שתוכלו לטאטא החוצה תוך כדי סיבוב מחט דקה לאין שיעור לכל הכיוונים האפשריים? סובב אותו סביב המרכז שלו כמו חוגה, ותקבל עיגול. אבל סובב אותו בצורה חכמה יותר, ותוכל לכסות חלק קטן באופן שרירותי של שטח. אם אתה לא דורש מהמחט לנוע בתנועה רציפה אחת, ובמקום זאת פשוט להניח מחט לכל כיוון, אתה יכול לבנות סידור מחטים שלא מכסה שטח בכלל.

מתמטיקאים קוראים להסדרים האלה Kakeya sets. למרות שהם יודעים שסטים כאלה יכולים להיות קטנים מבחינת שטח (או נפח, אם אתה מסדר את המחטים שלך בשלושה ממדים או יותר), הם מאמינים שהסטים חייבים להיות תמיד גדולים אם הגודל שלהם נמדד על ידי מדד שנקרא Hausdorff מֵמַד.

המתמטיקאים עדיין לא הוכיחו את ההצהרה הזו, המכונה השערת Kakeya. אבל למרות שזו לכאורה שאלה פשוטה לגבי מחטים, "הגיאומטריה של ערכות Kakeya הללו עומדת בבסיס שפע שלם של שאלות במשוואות דיפרנציאליות חלקיות, בניתוח הרמוני ובתחומים אחרים", אמר. ג'ונתן היקמן של אוניברסיטת אדינבורו.

השערת Kakeya נמצאת בבסיסה של היררכיה של שלוש בעיות מרכזיות בניתוח הרמוני - ענף של מתמטיקה החוקר כיצד ניתן לייצג פונקציות כסכומים של פונקציות מחזוריות כמו גלי סינוס המתנודדים באופן קבוע.

הצעד הבא למעלה בהיררכיה זו הוא השערת "ההגבלה". אם זה נכון, כך גם השערת Kakeya. (זה גם אומר שאם השערת Kakeya מתבררת כשקרית, השערת ההגבלה לא יכולה להיות נכונה.) השערת ההגבלה, בתורה, משתמעת ממה שנקרא השערת בוכנר-ריז. ובראש ממש יושבת השערת ההחלקה המקומית.

שתי ההשערות הראשונות עוסקות בהתנהגות של טרנספורמציה פורייה, טכניקה בניתוח הרמוני לחישוב, למעשה, כיצד לבטא כמעט כל פונקציה כסכום של גלי סינוס. זהו אחד הכלים המתמטיים החזקים ביותר העומדים לרשות הפיזיקאים והמהנדסים. טרנספורמציה של פורייה מילאה תפקיד מהותי בפתרון משוואות דיפרנציאליות, ביטוי רעיונות מכאניים קוונטיים כמו עקרון אי הוודאות של הייזנברג, וניתוח ועיבוד אותות - מה שהופך דברים כמו טלפונים ניידים מודרניים לאפשריים.

מכיוון שכל משפט בהיררכיה מרמז על זה שמתחתיו, אם השערת Kakeya היא שקרית, אף אחת מההשערות האחרות אינה נכונה. כל המגדל יתמוטט. "אתה יכול ליצור דוגמה נגדית של מפלצת-על שתשבור הרבה השערות", אמר היקמן.

מצד שני, הוכחת השערת Kakeya נכונה לא הייתה מרמזת אוטומטית על האמת של אותן השערות אחרות - אבל היא תיתן למתמטיקאים תובנות חשובות כיצד להמשיך.

וכך, "כמעט מחצית מקהילת האנליזה הרמונית שאני מכירה עובדת על זה ועל בעיות קשורות, או עבדה עליהן בשלב מסוים", אמר. שאומינג גואו מאוניברסיטת ויסקונסין, מדיסון.

לאחרונה, מתמטיקאים גילו, להפתעתם, שהטכניקות שהם פיתחו כדי להתמודד עם הבעיות הללו יכולות לשמש גם כדי להוכיח תוצאות עיקריות בתחום הבלתי קשור לכאורה של תורת המספרים. "זו תופעה הרבה יותר כללית ממה שאנשים חשבו", אמר גואו.

לאייר קייק

הסיפור מתחיל בטרנספורמציה של פורייה. "אתה רוצה לפרק [פונקציות] לחתיכות קטנות, לנתח את האינטראקציות שלהן ולהוסיף אותן בחזרה", אמר Yumeng Ou של אוניברסיטת פנסילבניה. עבור פונקציות חד-ממדיות - עקומות שניתן לשרטט על פיסת נייר - למתמטיקאים יש הבנה טובה כיצד לעשות זאת, גם כאשר הם צריכים להפוך את התמרת פורייה באמצעות רק חלק מהחתיכות.

אבל בשני מימדים או יותר, דברים יכולים להיות מבולגנים.

ב1971, צ'רלי פפרמן, מתמטיקאי מאוניברסיטת פרינסטון, הבין כיצד להשתמש בערכות Kakeya כדי להדגים שהיפוך טרנספורמציה של פורייה יכול להוביל לתוצאות מוזרות ומפתיעות במספר ממדים.

מתמטיקאים מצאו תיקון בצורה של השערת בוכנר-ריז, שבעצם קובעת שיש דרכים מתוחכמות יותר לשחזר את הפונקציה המקורית שאינן מתקלקלות כמו הדוגמה של פפרמן. אבל התיקון הזה היה תלוי באמיתות השערת Kakeya.

אם זה נכון, "קיצור תדרים יוביל רק לשגיאות קטנות", אמר בטסי סטובל מאוניברסיטת ויסקונסין, מדיסון. "זה אומר שהשגיאות הקטנות לא מתפוצצות."

אז התחילה ההיררכיה. מאוחר יותר גילו מתמטיקאים קשר חשוב נוסף: אם זה נכון, השערת בוכנר-ריז מרמזת גם על אמירה שנקראת השערת ההגבלה. השערה זו קובעת שאם אתה מתחיל עם גרסה מוגבלת של טרנספורמציה פורייה - "הגבלה" של הערכים שאתה מסתכל עליהם רק לאלה שחיים על משטחים מסוימים - זה עדיין יכול לתת לך מידע חשוב על הפונקציה המקורית. והתברר שאם השערת ההגבלה הייתה נכונה, כך גם השערת קאקיה. (זה הציב את השערת ההגבלה בין Kakeya ובוכנר-ריז במגדל.)

בעיית הכתר בהיררכיה, הנקראת השערת ההחלקה המקומית, אינה עוסקת בטרנספורמציה של פורייה באופן ישיר, אלא שמה גבולות לגודל הפתרונות למשוואות המתארות את התנהגות הגלים.

אתה יכול לחשוב על זה גם במונחים של הגיאומטריה של הקווים בסט Kakeya. אתה יכול לפרק פתרון כללי למשוואת הגלים לחבורה של חלקים שנעים בכיוונים שונים ומקיימים אינטראקציה זה עם זה בדרכים שונות לאורך זמן. כל אחד מהחלקים האלה דומה מבחינה מתמטית למחט בסט Kakeya. השערת Kakeya טוענת שלתצורה כזו לא יכולה להיות חפיפה גדולה מדי. בהקשר פיזי זה, חפיפות יתאימו להתמדה של התנהגויות לא סדירות ובלתי צפויות בפתרון. למשל, גל קול יכול להגביר בהמון אזורים בהמון זמנים שונים.

השערת ההחלקה המקומית קובעת כי אי סדרים כאלה צריכים להגיע לממוצע. "זה כמו לקחת את הממוצע של השוק הפיננסי," אמר ציפריאן דמטר מאוניברסיטת אינדיאנה בלומינגטון. "יכולות להיות קריסות פה ושם, אבל אם תשקיע את הכסף שלך ותפרוש בעוד 40 שנה, יש סיכוי טוב שתקבל כמה השקעות טובות".

אבל כמו בכל ההשערות בהיררכיה, זה תלוי באמיתות השערת Kakeya. "הרעיון הוא שאם אתה פוסל הרבה צומת בקבוצות של Kakeya, זה אומר שאתה יכול לשלול את המצבים האלה שבהם חלקים מהפתרון שלך משתלבים יחד כדי ליצור איזשהו התפוצצות", אמר סטובאל.

ההשערה הזו היא הקשה בחבורה: בעוד שהמקרים הדו-ממדיים של בעיות Kakeya, restriction ובוכנר-ריז נפתרו לפני עשרות שנים, השערת ההחלקה המקומית הדו-ממדית הוכחה רק לפני כמה שנים. (במימדים גבוהים יותר, כל הבעיות הללו נשארות פתוחות.)

אבל למרות ההתקדמות האיטית בהוכחת השערת ההחלקה המקומית, העבודה עליה הובילה להתקדמות אדירה במקומות אחרים. בשנת 1999, תוך כדי ניסיון להתמודד עם ההשערה, הציג המתמטיקאי תומס וולף שיטה המכונה ניתוק. מאז, הטכניקה הזו קיבלה חיים משל עצמה: היא שימשה כדי ליצור פריצות דרך משמעותיות לא רק בניתוח הרמוני, אלא בתורת המספרים, בגיאומטריה ובתחומים אחרים. "באמצעות תוצאות ניתוק, יש לך עכשיו שיאי עולם בבעיות מאוד מפורסמות וחשובות", אמר כריסטופר סוגה של אוניברסיטת ג'ונס הופקינס, שניסח לראשונה את השערת ההחלקה המקומית בשנות ה-1990. לדוגמה, נעשה שימוש בניתוק כדי לעזור לספור כמה דרכים ניתן לייצג מספר שלם כסכום של ריבועים, קוביות או כוח אחר.

כפי שניסח זאת דמטר, התוצאות הללו אפשריות מכיוון ש"אנחנו יכולים להסתכל על מספרים כגלים." העובדה שכל הבעיות הללו מתקשרות בחזרה לסט מחטים של Kakeya "מרתקת", הוא הוסיף. "אתה לא חושב שאפשר להסתיר כל כך הרבה יופי, קושי וחשיבות במשהו שניתן לנסח באמצעות קטעי קו."