עץ שלישייה יוצר את אחד המבנים היפים ביותר במתמטיקה | מגזין קוונטה

רוב האנשים מכירים רק קומץ מספרים שלא ניתן לכתוב כשברים, כמו $latex sqrt{2}$ או $latex pi$. אבל מספרים כאלה, הנקראים מספרים אי-רציונליים, יש הרבה יותר מאשר שברים או מספרים רציונליים.

כמה קל להעריך אותם בשברים? אם אתה משתמש בשבר עם מכנה גדול באופן שרירותי, אתה יכול להתקרב באופן שרירותי. (כידוע, 22/7 נותן קירוב הגון של $latex pi$; 355/113 הוא אפילו טוב יותר.) אבל כמה מספרים אי-רציונליים קשה יותר לקירוב מאחרים, כלומר צריך להשתמש במכנה גדול מאוד כדי לקבל קירוב קרוב. הקשה ביותר מתברר כיחס הזהב, $latex phi$, או $latex (1+ sqrt{5})/2$. זה, במובן מתמטי ספציפי, המספר שהוא "הרחוק ביותר" מלהיות רציונלי.

מה הבא-הרחוק ביותר? והבא? מסתבר שהרצף של המספרים האי-רציונליים הקשים עד לקירוב ניתן על ידי פתרונות המספרים השלמים למשוואה פשוטה ומטעה שאין לה קשר ברור לקירוב מספרים אי-רציונליים. קשר זה הוכח על ידי אנדריי מרקוב, מתמטיקאי רוסי בעל עתידות, ב-1879.

מרקוב מפורסם בכך שהמציא מושג בתורת ההסתברות בשם שרשראות מרקוב, המשמשות בכל דבר, מאלגוריתם ה-PageRank של גוגל ועד למודלים של התפתחות DNA. אבל למרות שהפתרונות למשוואה שלו, המכונים מספרי מרקוב, אינם ידועים כמעט באותה מידה, הם מופיעים במגוון עצום של דיסציפלינות מתמטיות, כולל קומבינטוריקה, תורת המספרים, גיאומטריה ותורת הגרפים.

"זו לא רק משוואה, זו סוג של שיטה", אמר אולג קרפנקוב, מתמטיקאי באוניברסיטת ליברפול. "המספרים האלה הם מרכזיים, עמוק בתוך המתמטיקה... מבנים כמו זה הם סוגי הרעיונות שהם נדירים."

למשוואה שלו, $latex x^2+y^2+z^2=3xyz$, יש פתרון מספר שלם ברור כאשר x, y ו z כולם 1 (שכן 1 + 1 + 1 = 3 × 1). מסתבר שכל פתרונות המספרים השלמים למשוואה מחוברים על ידי כלל פשוט. התחל עם פתרון (a, b, c). ואז השלישייה הקשורה (a, b, 3ab - c) הוא גם פתרון. שני המספרים הראשונים נשארים זהים, בעוד c, השלישי, מוחלף ב-3ab - ג. החל את הכלל הזה על (1, 1, 1) ותקבל (1, 1, 2). (קל לבדוק שהזנת ערכים אלה הופכת את שני הצדדים של המשוואה לשווים ל-6.) החל את הכלל שוב, ותחזור למקום שבו התחלת, שכן 3 − 2 = 1. אבל אם תהפוך את הסדר של מספרים בטריפל לפני יישום הכלל, זה יוצר יקום שלם של פתרונות. הזן (1, 2, 1) ותקבל (1, 2, 5).

עד עכשיו, בגלל ה-1 הזהות, העץ (המוצג באיור בתחילת הסיפור הזה) אינו מסתעף - הצעדים הראשונים מצמיחים את גזע העץ, כביכול. אבל אם אתה מתחיל עם פתרון עם שלושה מספרים שונים, כמו (1, 2, 5), הענפים מתחילים להתרבות. קלט (5, 1, 2) ותקבל (2, 5, 29). אבל (2, 5, 1) מביא ל- (1, 5, 13). (אם אתה מזין (1,2,5) אז הכלל מחזיר אותך לענף נמוך יותר של העץ.) מנקודה זו ואילך, לכל פתרון יש שלושה מספרים שונים, כך שכל ענף של העץ מוביל לשני ענפים חדשים .

הענף השמאלי ביותר של העץ עשוי להיראות מוכר - הוא מכיל כל מספר אחר ברצף פיבונאצ'י, מהידועים ביותר במתמטיקה (כל מספר ברצף זה הוא סכום שני האיברים הקודמים: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …). הענף הימני ביותר מכיל באופן דומה כל מונח אחר ברצף Pell, רצף קשור, אם כי מעט פחות מפורסם. האופן שבו הרצפים הללו מופיעים בעץ הפתרונות הוא "אחד הדברים היפים ביותר במתמטיקה שאני מכיר", אמר. אלכסנדר גמבורד, פרופסור באוניברסיטת סיטי בניו יורק.

משפטו של מרקוב משנת 1879, המתייחס לכל שלישיה למספר אי-רציונלי קשה לקירוב, היה הרמז הראשון לכך שמשוואה זו עשויה להדהד עמוקות לאורך כל המתמטיקה. ב ספר 2013 בנושא, מרטין אייגנר, מתמטיקאי אוסטרי שמת באוקטובר, כינה את המשפט "ללא ספק אחד מהקלאסיקות של כל הזמנים בתורת המספרים".

בשנת 1913, גיאורג פרובניוס, מתמטיקאי גרמני שעשה תרומות רחבות היקף לאלגברה, תורת המספרים וחקר משוואות דיפרנציאליות, הבחינו במשהו מוזר בשלשות מרקוב. נראה שכל מספר גדול ביותר קובע באופן ייחודי את שני הקטנים יותר. מספר - קח 5 למשל - עשוי להופיע בשלישיות רבות, כגון (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29) וכן הלאה. אבל, הוא ציין, אם תסתכל רק על המספר הגדול ביותר בכל שלישייה, הוא יהיה מזוהה רק עם זוג אחד של מספרים קטנים יותר.

מכיוון שהמספרים גדלים כל כך מהר, זה רחוק מלהיות ברור שזה צריך להיות נכון. לדוגמה, קח את הטריפלט (5, 433, 6,466). זה לא ברור שאם אתה מגדיר z ל-6,466, האפשרי היחיד x ו y זה יפתור את המשוואה הם 5 ו-433. אבל עד כמה שפרובניוס יכול היה לדעת, המספר הגדול תמיד קבע באופן ייחודי את שני הקטנים. ב-110 השנים שחלפו מאז, למרות מחקר עצום שחיבר את מספרי מרקוב לבעיות אחרות, איש לא הצליח להוכיח את מה שזכה לכינוי השערת הייחודיות.

הפשטות היחסית של ההשערה ממחישה פרדוקס מתמטי נפוץ. ניתן להשתמש בכלים כמו משוואת מרקוב כדי להוכיח תוצאות עדינות ומסובכות גם בזמן ששאלות בסיסיות לגבי המאפיינים שלהם נותרות בלתי פתורות.

עם זאת, בשנים האחרונות חלה התקדמות בולטת לקראת הוכחת השערת הייחודיות. זה מזמן ידוע שאפשר ליצור התאמה בין כל משולשת מרקוב לכל השברים בין אפס ל-1. לכל שבר p/q, אשר נקרא אינדקס, אתה יכול להקצות מספר מרקוב m_p/q על ידי ביצוע הליך מתמטי מסוים. לדוגמה, m_2/3 הוא 29, ו m_3/5 הוא 433.

בשנת 2013, איינר העלה שלוש השערות לגבי איך ניתן להזמין את השלשות באמצעות התכתבות זו. השערות אלו מהוות אבני מדרגות בדרך להוכחת השערת הייחודיות. הוא שיער שאם תשאירו את המונה של המדד קבוע ותגדילו את המכנה (כמו ב-1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...), מספרי המרקוב המתאימים ימשיכו להיות גדולים יותר. כמו כן, הוא חשב שאם אתה מגדיל את המונה אך שומר על אותו מכנה (כמו ב-1/17, 2/17, 3/17, 4/17, ...), אתה צריך לקבל גם מחרוזת של מספרי מרקוב גדולים יותר. אותו תבנית של מספרים הולכים וגדלים, חשב, צריכה להתקיים אם סכום המונה והמכנה נשמר קבוע (כמו ב-1/100, 2/99, 3/98, ...).

השערת המונה הקבוע הוכחה ב נייר 2020 in התקדמות במתמטיקה by מישל רבידו מאוניברסיטת הרטפורד ו ראלף שיפלר מאוניברסיטת קונטיקט. בפברואר 2023, יחד עם שני משתפי פעולה נוספים, פרסמו רבידו ושיפלר הוכחה של שתי השערות אחרות גם כן.

בגלל התקדמות אלו ואחרות, קרפנקקוב אופטימי שהוכחה להשערת הייחודיות של פרובניוס עשויה סוף סוף להיות בעבודות. "אני מכיר אנשים שאומרים שהם קרובים להוכיח את זה", אמר. "אני חושב שאנחנו די קרובים - אולי בחמש השנים הקרובות".

Quanta עורכת סדרה של סקרים כדי לשרת טוב יותר את הקהל שלנו. קח את שלנו סקר קוראי מתמטיקה ותוכלו לזכות בחינם Quanta סחורה.