צביעה לפי מספרים חושפת תבניות אריתמטיות בשברים

שנה לאחר שהתחיל את הדוקטורט שלו. במתמטיקה באוניברסיטת מקגיל, למאט בואן הייתה בעיה. "ניגשתי לבחינות הכשירות שלי והצלחתי בהן בצורה נוראית", אמר. בואן היה בטוח שהציונים שלו לא משקפים את כישוריו המתמטיים, והוא החליט להוכיח זאת. בסתיו שעבר הוא עשה, כשהוא והיועץ שלו, מרסין סבוק, פרסם התקדמות גדולה בתחום המכונה תיאוריית רמזי.

במשך כמעט מאה שנה, תיאורטיקנים של רמזי אוספים עדויות לכך שמבנה מתמטי נמשך בנסיבות עוינות. הם עשויים לפרק קבוצות גדולות של מספרים כמו המספרים השלמים או השברים, או לחתוך את הקשרים בין נקודות ברשת. לאחר מכן הם מוצאים דרכים להוכיח שמבנים מסוימים הם בלתי נמנעים, גם אם מנסים להימנע מיצירתם על ידי שבירה או חיתוך בצורה חכמה.

כאשר תיאורטיקנים של רמזי מדברים על פיצול קבוצה של מספרים, הם משתמשים לעתים קרובות בשפת הצביעה. בחר מספר צבעים: אדום, כחול וצהוב, למשל. כעת הקצה צבע לכל מספר באוסף. גם אם תעשה זאת בצורה אקראית או כאוטית, תבניות מסוימות יופיעו בהכרח כל עוד תשתמש במספר סופי של צבעים שונים, גם אם המספר הזה גדול מאוד. תיאורטיקנים של רמזי מנסים למצוא את התבניות הללו, ומחפשים קבוצות מובנות של מספרים שהן "מונוכרומטיות", כלומר האלמנטים שלהם קיבלו את אותו צבע.

תוצאות הצביעה הראשונות חוזרות לסוף המאה ה-19. עד 1916, עיסי שור הוכיח שאיך שתצבע את המספרים השלמים החיוביים (הידועים גם כמספרים טבעיים), תמיד יהיו זוג מספרים x ו y כך ש x, y, והסכום שלהם x+y כולם באותו צבע. לאורך המאה ה-20 המשיכו מתמטיקאים לעבוד על בעיות צביעה. בשנת 1974, ניל הינדמן הרחיב את התוצאה של שור לכלול תת-קבוצה אינסופית של המספרים השלמים. בדומה למשפט שור, גם משפט הינדמן חל ללא קשר לאופן הצבעים של המספרים הטבעיים (עם מספר סופי של עפרונות צבעוניים). לא רק שהמספרים השלמים האלה במערך של Hindman כולם באותו צבע, אבל אם תסכם אוסף כלשהו שלהם, התוצאה תהיה גם הצבע הזה. קבוצות כאלה דומות למספרים הזוגיים בכך, כשם שכל סכום של מספרים זוגיים הוא תמיד זוגי, כך גם סכום כל המספרים באחת מהקבוצות של הינדמן היה כלול באותה קבוצה.

"משפט הינדמן הוא חתיכת מתמטיקה מדהימה", אמר סבוק. "זה סיפור שאנחנו יכולים לעשות ממנו סרט."

אבל הינדמן חשב שיותר אפשרי. הוא האמין שאפשר למצוא סט מונוכרומטי גדול באופן שרירותי (אך סופי) שמכיל לא רק את סכומי החברים שלו, אלא גם את המוצרים. "אני טוען במשך עשרות שנים שזו עובדה", אמר והוסיף: "אני לא טוען שאני יכול להוכיח את זה".

השערת הינדמן

אם אתה מוותר על הסכום ורק רוצה להבטיח שהמוצרים יהיו באותו צבע, זה פשוט להתאים את משפט הינדמן על ידי שימוש באקספונציה כדי להפוך סכומים למוצרים (כמו שכלל שקופיות עושה).

אולם, ההיאבקות עם סכומים ומוצרים בו-זמנית היא הרבה יותר קשה. "קשה מאוד לגרום לשניים האלה לדבר אחד עם השני", אמר ג'ואל מוריירה, מתמטיקאי באוניברסיטת וורוויק. "להבין איך חיבור וכפל קשורים - זה, במובן מסוים, הבסיס לכל תורת המספרים, כמעט."

אפילו גרסה פשוטה יותר שהציעה הינדמן לראשונה בשנות ה-1970 התגלתה כמאתגרת. הוא שיער שכל צביעה של המספרים הטבעיים חייבת להכיל קבוצה מונוכרומטית של הצורה {x, y, xy, x+y} - שני מספרים x ו y, כמו גם הסכום והתוצר שלהם. "אנשים לא ממש התקדמו בבעיה הזו במשך עשרות שנים", אמר ביון. "ואז פתאום, בסביבות 2010, אנשים התחילו להוכיח יותר ויותר דברים על זה".

בואן למד על {x, y, xy, x+y} בעיה ב-2016, הסמסטר השני שלו בקולג', כאשר אחד מהפרופסורים שלו באוניברסיטת קרנגי מלון תיאר את הבעיה בכיתה. ביון הופתע מהפשטות שלו. "זה אחד מהדברים המגניבים האלה שבהם זה כאילו, ובכן, אני לא יודע הרבה מתמטיקה, אבל אני יכול להבין את זה," הוא אמר.

בשנת 2017, מוריירה הוכיח זֶה אתה יכול תמיד מצא סט מונוכרומטי המכיל שלושה מתוך ארבעת האלמנטים הרצויים: x, xy, ו x + y. בינתיים, בואן התחיל להתעסק בשאלה כלאחר יד במהלך שנתו האחרונה. "לא הצלחתי לפתור את הבעיה", אמר. "אבל הייתי חוזר לזה כל שישה חודשים בערך." לאחר ההצגה הגרועה שלו בדוקטורט שלו. בחינות מוקדמות ב-2020, הוא הכפיל את מאמציו. כמה ימים לאחר מכן, הוא הוכיח את {x, y, xy, x+y} השערה במקרה של שני צבעים, תוצאה שרון גרהם הוכיח כבר בשנות ה-1970 בעזרת מחשב.

עם ההצלחה הזו, ביון עבד עם סאבוק כדי להרחיב את התוצאה לכל מספר של צבעים. אבל מהר מאוד הם הסתבכו בפרטים טכניים. "מורכבות הבעיה צומחת לחלוטין משליטה כאשר מספר הצבעים גדול", אמר סבוק. במשך 18 חודשים הם ניסו להיחלץ, עם מעט מזל. "במהלך השנה וחצי היו לנו כמיליון הוכחות שגויות", אמר סבוק.

קושי אחד במיוחד מנע משני המתמטיקאים להתקדם. אם תבחר שני מספרים שלמים באקראי, כנראה שלא תוכל לחלק אותם. חלוקה פועלת רק במקרה הנדיר שבו המספר הראשון הוא כפולה של השני. זה התברר כמגביל ביותר. עם ההבנה הזו, ביון וסאבוק פנו להוכחת ה-{x, y, xy, x+y} השערה במספרים הרציונליים (כפי שמתמטיקאים מכנים שברים) במקום זאת. שם, ניתן לחלק מספרים בנטישה.

ההוכחה של ביון וסבוק היא באלגנטיות ביותר כאשר כל הצבעים המעורבים מופיעים לעתים קרובות לאורך המספרים הרציונליים. צבעים יכולים להופיע "לעתים קרובות" בכמה דרכים שונות. כל אחד מהם עשוי לכסות חלקים גדולים מקו המספרים. או שזה עשוי להיות אומר שאתה לא יכול לנסוע רחוק מדי לאורך קו המספרים מבלי לראות כל צבע. עם זאת, בדרך כלל, הצבעים אינם תואמים כללים כאלה. במקרים אלה, אתה יכול להתמקד באזורים קטנים בתוך המספרים הרציונליים שבהם הצבעים אכן מופיעים בתדירות גבוהה יותר, הסביר סאבוק. "כאן הגיעה עיקר העבודה", אמר.

באוקטובר 2022, ביון וסבוק פרסמו הוכחה שאם תצבע את המספרים הרציונליים עם הרבה צבעים סופיים, תהיה קבוצה של הצורה {x, y, xy, x+y} שלכל האלמנטים שלו יש אותו צבע. "זו הוכחה חכמה להפליא," אמר Imre Leader של אוניברסיטת קיימברידג'. "זה משתמש בתוצאות ידועות. אבל זה משלב אותם בצורה מבריקה לחלוטין, מאוד מקורית, מאוד חדשנית".

נותרו הרבה שאלות. יכול מספר שלישי z להתווסף לאוסף, יחד עם הסכומים והמוצרים הבאים? עמידה בתחזיות הנועזות ביותר של הינדמן פירושו הוספת מספרים חדשים רביעי, חמישי ובסופו של דבר שרירותית רבים לרצף. זה גם ידרוש מעבר מהרציונלים למספרים הטבעיים ומציאת דרך לעקוף את חידת החלוקה שהפריעה למאמציהם של ביון וסבוק.

לידר מאמין שעם מוריירה, ביון וסבוק עובדים כולם על הבעיה, ההוכחה הזו עשויה להיות לא רחוקה. "החבר'ה האלה נראים מבריקים במיוחד בלמצוא דרכים חדשות לעשות דברים", אמר. "אז אני די אופטימי שהם או חלק מהקולגות שלהם עשויים למצוא את זה."

סאבוק זהיר יותר בתחזיותיו. אבל הוא לא שולל שום דבר. "אחד הקסמים של המתמטיקה הוא שלפני שאתה מקבל הוכחה, הכל אפשרי", אמר.