ריצוף איינשטיין - צורת ה"כובע" המדהימה שלא חוזרת על עצמה!

מתמטיקה היא תחום מורכב ואזוטרי העומד בבסיס המדע וההנדסה, ובעיקר כולל את הדיסציפלינות של קריפטוגרפיה ואבטחת סייבר.

(שם... הוספנו אזכור של אבטחת סייבר, ובכך הצדקנו את שאר המאמר הזה.)

נושא המתמטיקה נחקר בהרחבה ונלהבת לפחות מימי בבל עתיקים, ושמותיהם של מתמטיקאים מפורסמים רבים נכנסו לאוצר המילים היומיומי שלנו, בביטויים כגון פיתגוראי משולשים (אלה שיש בהם זווית ישרה), קרטזית גיאומטריה (עבודה עם צורות על משטחים שטוחים), מחשב אלגוריתמים (רצפי הוראות שפועלים באופן איטרטיבי או חוזר לחישוב תוצאה), ו פנרוז ריצוף.

ריצוף פנרוז, אם אי פעם פגשתם אותם, הובאו על ידי סר רוג'ר פנרוז בשנות ה-1970, ועסקו בדרכים מרתקות ויוצאות דופן לכיסוי משטחים בשילובי צורות.

למקרה שאתה תוהה למה המילה אַלגוֹרִיתְם אין לו אות גדולה כמו האחרים, זה בגלל שזה לא עיבוד מדויק של שם מקורי, אלא מילה שמקורה מוחמד בן מוסא אל-ח'ואריזמי, מתמטיקאי, גיאוגרף ואסטרונום רב השפעה שחי לפני כ-1200 שנה באזור ממזרח לים הכספי ומדרום לים אראל, אזור המפוצל כיום בין אוזבקיסטן לטורקמניסטן.

ריצוף עשה פאנקי

משטחי אריחים, כמובן, נפוצים, למשל בחדרי רחצה, מטבחים ושבילים.

ועל גגות, כמובן, אבל נתעלם מרעפי קירוי במאמר זה מכיוון שהם נועדו לחפוף, כך שהם מונעים גשם מבלי צורך לאטום בנפרד אחד מול השני.

גם אזורי שטיחים מרוצפים לרוב, בעיקר במשרדים, כך שניתן לרצף מחדש חלקים מהרצפה מבלי לקרוע ולהחליף את השטיח בשימוש קל מסביב לחלקים הבלויים.

אם אי פעם ביקרת ב-Sophos HQ בבריטניה, למשל, תדע שזה שטח פתוח ברובו המכוסה באריחי שטיח מרובעים בגוונים עדינים שונים של כחול וירוק בהיר:

כפי שאתה יכול לראות, אריחים מרובעים יוצרים את מה שמכונה א דפוס תקופתי, כלומר הדפוס חוזר על עצמו כל כמה זמן.

בדוגמה שלמעלה, הרשת המדויקת המשמשת בפריסה מבטיחה שהתבנית חוזרת על עצמה בשני הממדים לאחר הזזה של ריבוע אחד בלבד למעלה, למטה, שמאלה או ימינה.

דפוסים מורכבים ומושכים יותר מבחינה ויזואלית, שהם בכל זאת ריצוף תקופתיים מכיוון שהם חוזרים על עצמם, יכולים להיעשות עם שילובים קבועים של צורות פשוטות, כמו המחומש-הפטגון:

או המעוינים-תלת-משושה:

ריצוף פנרוז

זה מביא אותנו לריצוף של פנרוז.

למרות שסר רוג'ר פנרוז הוא כנראה המפורסם ביותר כזוכה פרס נובל לפיזיקה לשנת 2020, הוא גם ידוע בזכות עבודתו במעמד המיוחד של דפוסי אריחים הידועים כידועים. ריצוף א-מחזורי.

שלא כמו ריצוף תקופתי, שחוזרים על עצמם כל כמה זמן, ריצוף א-מחזורי לעולם לא חוזר על עצמו, לא משנה כמה בקפידה תבחר את היצירה הבאה למקם, והיכן למקם אותו...

...למרות שהאריחים מבוססים על מספר סופי של צורות, ומכסים משטח אינסופי ללא פערים או חפיפות.

ריצוף תקופתי דומים קצת למספרים רציונליים (שברים המבוססים על מספר שלם אחד חלקי אחר), בכך שבסופו של דבר הם חוזרים על עצמם לא משנה מה אתה עושה.

אם אתה מחלק 22 ב-7, למשל, תקבל בערך 3.142.., קרוב מאוד לערך של Pi, שהוא בערך 3.14159...

אבל 22/7 למעשה יוצא כ-3.142857142857142857... והדפוס הזה 142857 חוזר על עצמו לנצח, כי המספר הוא היחס (ולכן התיאור מספר ראציונאלי) של שני מספרים שלמים.

לעומת זאת, הערך האמיתי של Pi הוא לא הגיוני: לא ניתן לצמצם אותו ליחס, והערך שלו בעשרוני לעולם לא נופל לתבנית חוזרת.

מה לגבי סוג דומה של רצף שאינו חוזר על עצמו המבוסס לא על ערכים מספריים אלא על צורות?

האם תזדקק למספר אינסופי של צורות שונות כדי להבטיח דפוס שמעולם לא חזר על עצמו, או האם תוכל לבצע את עבודת הריצוף (יש להודות שאינה נגמרת) שלך עם סט סופי של אריחים?

פנרוז קיבלה את מספר הצורות השונות הדרושות כדי להבטיח ריצוף בלתי חוזר עד שתיים בלבד, אך השאלה מתעכבת מאז: האם אתה יכול למצוא צורה אחת, אריח בודד, שניתן להניח שוב ושוב כדי לכסות משטח אינסופי מבלי לחזור על זה?

במה שעובר כמשחק מילים מתמטי, הגביע הקדוש הזה של אריחים ידוע בתור an איינשטיין, שפירושו "צורה אחת" בגרמנית, אבל מהדהד גם את השם אלברט איינשטיין, של E=mc² תהילה.

היכרות עם... הכובע

ובכן, רביעייה מתמטית בראשות חוקר צורות בריטי בשם דיוויד סמית', טוענת שאיינשטיין אכן קיימים, וחשפה טריסקאידקגון (זהו דמות בעלת 13 צלעות) שהם כינו את כובע.

הם טוענים שהם הוכיחו שהכובע מייצר את התוצאה המבוקשת של דפוס א-מחזורי, הכל לבדו:

במילים פשוטות, אם אתה מרצף את הרצפה שלך, או את המרפסת שלך, או את שביל הכניסה שלך, או אפילו את מגרש הכדורגל המקומי עם מלאי של אריחי כובע...

... בסופו של דבר תכסה את כל פני השטח בתבנית שלא תחזור על עצמה.

למרות כל זה הוא מציג "תת-עיצובים" שונים ודמיונות עצמיים לכאורה כשאתם בונים את יצירות האמנות המבוססות על כובעים, זהו ה-Pi של אריחי הרצפה: נסה כרצונך, לעולם לא תמצא דפוס קבוע ותקופתי. זה.

מה לעשות?

אנחנו אפילו לא מתכוונים לנסות תיאור של הוכחה כאן - בכנות, עדיין לא הצלחנו לעכל את זה בעצמנו - אז רק נציע לך תלמד את זה בזמן שלך. (אולי לייחד סוף שבוע ארוך למשימה?

אבל אם אתה רוצה לשחק עם הרעיון של ריצוף א-מחזורי, למה שלא תאפה לעצמך כמה עוגיות כובע, או עוגיות אם אתה מצפון אמריקה?

אם יש לך מדפסת תלת מימד, אתה יכול להוריד עיצוב להכנת חותך מאפים בצורת כובע משלך!

*הנחת הכובע של CSO GinderBread Instruments*.

מכשירי GinderBread מציגים בגאווה חותך עוגיות אריחים א-מחזוריים בהדפסת תלת מימד. מבוסס על המונוטיל הא-מחזורי של סמית', מאיירס, קפלן וגודמן-שטראוס.https://t.co/hEdtNCXX1d pic.twitter.com/FoyedYcDM9

— ניקולאי טומנוב (@ntumanov_Xray) במרץ 28, 2023

---

• הפצת תוכן ויחסי ציבור מופעל על ידי SEO. קבל הגברה היום.
• Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. ידע מוגבר. גישה כאן.
• מקור: https://nakedsecurity.sophos.com/2023/04/04/einstein-tilings-the-amazing-hat-shape-that-never-repeats/