בסוף שובר הקופות של מארוול הנוקמים: משחק קצה, הולוגרמה מוקלטת מראש של טוני סטארק נפרד מבתו הצעירה באומרו, "אני אוהב אותך 3,000." הרגע הנוגע ללב מהדהד סצנה מוקדמת יותר שבה השניים עוסקים בטקס השינה השובב של כימות אהבתם זה לזה. לדברי רוברט דאוני ג'וניור, השחקן שמגלם את סטארק, הקו נוצר בהשראת חילופי דברים דומים עם ילדיו שלו.
המשחק יכול להיות דרך מהנה לחקור מספרים גדולים:
"אני אוהב אותך 10."
"אבל אני אוהב אותך 100."
"טוב, אני אוהב אותך 101!"
בדיוק כך הפכה "גוגולפלקס" למילה פופולרית בבית שלי. אבל כולנו יודעים לאן הטיעון הזה מוביל בסופו של דבר:
"אני אוהב אותך אינסוף!"
"הו כן? אני אוהב אותך אינסוף פלוס 1!"
בין אם זה במגרש המשחקים או לפני השינה, ילדים נתקלים במושג האינסוף הרבה לפני שיעור מתמטיקה, ומובן שהם מפתחים קסם מהמושג המסתורי, המסובך והחשוב הזה. חלק מאותם ילדים גדלים להיות מתמטיקאים מוקסמים מהאינסוף, וכמה מאותם מתמטיקאים מגלים דברים חדשים ומפתיעים על האינסוף.
אולי אתה יודע שקבוצות מסוימות של מספרים הן גדולות לאין שיעור, אבל האם ידעת שכמה אינסופיות גדולות מאחרות? ושאנחנו לא בטוחים אם יש אינסוףים אחרים בין השניים שאנחנו מכירים הכי טוב? מתמטיקאים חושבים על השאלה השנייה הזו במשך מאה שנה לפחות, וכמה עבודות אחרונות שינו את הדרך שבה אנשים חושבים על הנושא.
על מנת להתמודד עם שאלות על גודלן של סטים אינסופיים, נתחיל עם סטים שקל יותר לספור. קבוצה היא אוסף של אובייקטים, או אלמנטים, וקבוצה סופית היא רק קבוצה שמכילה אינסוף עצמים.
קביעת הגודל של קבוצה סופית היא קלה: פשוט ספור את מספר האלמנטים שהיא מכילה. מכיוון שהסט הוא סופי, אתה יודע שבסופו של דבר תפסיק לספור, וכשתסיים אתה יודע את גודל הסט שלך.
האסטרטגיה הזו לא עובדת עם סטים אינסופיים. הנה קבוצת המספרים הטבעיים, המסומנת ℕ. (יש שיטענו שאפס אינו מספר טבעי, אבל הוויכוח הזה לא משפיע על החקירות שלנו על האינסוף.)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$
מה הגודל של הסט הזה? מכיוון שאין מספר טבעי גדול ביותר, ניסיון לספור את מספר האלמנטים לא יעבוד. פתרון אחד הוא פשוט להכריז על הגודל של הסט האינסופי הזה כ"אינסוף", וזה לא שגוי, אבל כשאתה מתחיל לחקור קבוצות אינסופיות אחרות, אתה מבין שזה גם לא ממש נכון.
קחו בחשבון את קבוצת המספרים הממשיים, שהם כל המספרים הניתנים לביטוי בהרחבה עשרונית, כמו 7, 3.2, −8.015, או הרחבה אינסופית כמו $latexsqrt{2} = 1.414213…$. מכיוון שכל מספר טבעי הוא גם מספר ממשי, קבוצת הממשיים גדולה לפחות כמו קבוצת המספרים הטבעיים, ולכן חייבת להיות גם אינסופית.
אבל יש משהו לא מספק בהכרזה על גודל קבוצת המספרים הממשיים כאותו "אינסוף" המשמש לתיאור הגודל של המספרים הטבעיים. כדי לראות מדוע, בחרו שני מספרים כלשהם, כמו 3 ו-7. בין שני המספרים האלה תמיד יהיו מספרים טבעיים סופיים: הנה זה המספרים 4, 5 ו-6. אבל תמיד יהיו אינסוף מספרים ממשיים ביניהם, מספרים כמו 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666... וכן הלאה.
באופן מדהים, לא משנה כמה קרובים כל שני מספרים ממשיים נפרדים זה לזה, תמיד יהיו אינסוף מספרים ממשיים ביניהם. כשלעצמו זה לא אומר שלקבוצות של מספרים ממשיים ומספרים טבעיים יש גדלים שונים, אבל זה כן מצביע על כך שיש משהו שונה מהותית בשתי הקבוצות האינסופיות הללו שמצדיק חקירה נוספת.
המתמטיקאי גאורג קנטור חקר זאת בסוף המאה ה-19. הוא הראה שלשתי הסטים האינסופיים האלה באמת יש גדלים שונים. כדי להבין ולהעריך כיצד הוא עשה זאת, ראשית עלינו להבין כיצד להשוות בין קבוצות אינסופיות. הסוד הוא עיקר בשיעורי מתמטיקה בכל מקום: פונקציות.
יש הרבה דרכים שונות לחשוב על פונקציות - סימון פונקציות כמו $latex f(x) = x^2 +1$, גרפים של פרבולות במישור הקרטזיאני, כללים כגון "קח את הקלט והוסף לו 3" - אבל כאן נחשוב על פונקציה כדרך להתאים את האלמנטים של קבוצה אחת לאלמנטים של אחר.
ניקח את אחת מהקבוצות האלה כ-ℕ, קבוצת המספרים הטבעיים. לסט השני, שנקרא לו S, ניקח את כל המספרים הטבעיים הזוגיים. להלן שני הסטים שלנו:
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$
יש פונקציה פשוטה שהופכת את האלמנטים של ℕ לאלמנטים של S: $latex f(x) = 2x$. פונקציה זו פשוט מכפילה את הכניסות שלה, כך שאם נחשוב על האלמנטים של ℕ כעל הכניסות של $latex f(x)$ (אנו קוראים לקבוצת הכניסות של פונקציה "התחום"), היציאות תמיד יהיו אלמנטים של S. לדוגמה, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ וכן הלאה.
אתה יכול לדמיין זאת על ידי חיבור האלמנטים של שני הסטים זה לצד זה ושימוש בחצים כדי לציין כיצד הפונקציה $latex f$ הופכת קלט מ-ℕ לפלטים ב- S.
שימו לב כיצד $latex f(x)$ מקצה בדיוק אלמנט אחד של S לכל אלמנט של ℕ. זה מה שפונקציות עושות, אבל $latex f(x)$ עושה את זה בצורה מיוחדת. ראשית, $latex f$ מקצה הכל S למשהו בℕ. באמצעות מינוח פונקציות, אנו אומרים שכל אלמנט של S הוא ה"תמונה" של אלמנט של ℕ תחת הפונקציה $latex f$. לדוגמה, המספר הזוגי 3,472 נמצא S, ואנחנו יכולים למצוא x ב-ℕ כך ש-$latex f(x) = 3,472$ (כלומר 1,736). במצב זה אנו אומרים שהפונקציה $latex f(x)$ ממפה ℕ על S. דרך מהודרת יותר לומר זאת היא שהפונקציה $latex f(x)$ היא "סוריקטיבית". איך שאתה מתאר את זה, מה שחשוב זה זה: מכיוון שהפונקציה $latex f(x)$ הופכת קלט מ-ℕ ליציאות ב S, שום דבר בפנים S מתגעגע בתהליך.
הדבר המיוחד השני לגבי האופן שבו $latex f(x)$ מקצה פלטים לכניסות הוא שאף שני אלמנטים ב-ℕ לא עוברים טרנספורמציה לאותו אלמנט ב- S. אם שני מספרים שונים, אז הכפילים שלהם שונים; 5 ו-11 הם מספרים טבעיים שונים ב-ℕ, והפלטים שלהם ב S הם גם שונים: 10 ו-22. במקרה זה אנו אומרים ש-$latex f(x)$ הוא "1-to-1" (כתוב גם "1-1"), ואנו מתארים את $latex f(x)$ בתור "זריקה." המפתח כאן הוא ששום דבר בפנים S נעשה שימוש פעמיים: כל אלמנט ב S משויך לרכיב אחד בלבד ב-ℕ.
שתי התכונות הללו של $latex f(x)$ משלבות בצורה עוצמתית. הפונקציה $latex f(x)$ יוצרת התאמה מושלמת בין האלמנטים של ℕ והאלמנטים של S. העובדה ש-$latex f(x)$ הוא "על" פירושה שהכל בפנים S יש שותף ב-ℕ, והעובדה ש-$latex f(x)$ הוא 1-to-1 אומר ששום דבר ב- S יש שני שותפים בℕ. בקיצור, הפונקציה $latex f(x)$ מצמידה כל רכיב של ℕ בדיוק לרכיב אחד של S.
פונקציה שהיא גם הזרקה וגם כירורגית נקראת בידוקציה, ו-bection יוצר התאמה של 1 ל-1 בין שתי הקבוצות. זה אומר שלכל אלמנט בקבוצה אחת יש בדיוק שותף אחד בקבוצה השנייה, וזו דרך אחת להראות שלשתי קבוצות אינסופיות יש אותו גודל.
מכיוון שהפונקציה שלנו $latex f(x)$ היא שילוב, זה מראה ששתי הקבוצות האינסופיות ℕ ו S הם באותו גודל. זה עשוי להיראות מפתיע: אחרי הכל, כל מספר טבעי זוגי הוא בעצמו מספר טבעי, אז ℕ מכיל הכל S ועוד. זה לא צריך לעשות ℕ גדול יותר מ S? אם בקבוצות סופיות עסקינן, התשובה הייתה חיובית. אבל סט אינסופי אחד יכול להכיל לגמרי אחר והם עדיין יכולים להיות באותו גודל, בערך האופן שבו "אינסוף פלוס 1" הוא למעשה לא כמות גדולה יותר של אהבה מ"אינסוף" רגיל. זהו רק אחד מהמאפיינים המפתיעים הרבים של סטים אינסופיים.
הפתעה גדולה עוד יותר עשויה להיות שיש אינסוף סטים בגדלים שונים. מוקדם יותר חקרנו את הטבעים השונים של הקבוצות האינסופיות של המספרים האמיתיים והטבעיים, וקנטור הוכיח שלשתי הקבוצות האינסופיות הללו יש גדלים שונים. הוא עשה זאת בטיעון האלכסוני המבריק והמפורסם שלו.
מכיוון שיש אינסוף מספרים ממשיים בין כל שני ממשיים נפרדים, בואו נתמקד כרגע במספרים הממשיים הרבים שבין אפס ל-1. כל אחד מהמספרים הללו יכול להיחשב כהרחבה עשרונית (אולי אינסופית), כמו זה.
כאן $latex a_1, a_2, a_3$ וכן הלאה הם רק הספרות של המספר, אבל נדרוש שלא כל הספרות יהיו אפס ולכן לא נכלול את המספר אפס עצמו בקבוצה שלנו.
הטיעון האלכסוני מתחיל בעצם בשאלה: מה היה קורה אם הייתה קיימת שילוב בין המספרים הטבעיים למספרים הממשיים הללו? אם אכן קיימת פונקציה כזו, שתי הקבוצות יהיו בגודל זהה, ותוכל להשתמש בפונקציה כדי להתאים כל מספר אמיתי בין אפס ל-1 למספר טבעי. אתה יכול לדמיין רשימה מסודרת של ההתאמות, כמו זו.
הגאונות של הטיעון האלכסוני הוא שאתה יכול להשתמש ברשימה הזו כדי לבנות מספר אמיתי שלא יכול להיות ברשימה. התחל לבנות מספר אמיתי ספרה אחר ספרה באופן הבא: הפוך את הספרה הראשונה אחרי הנקודה העשרונית למשהו שונה מ-$latex a_1$, הפוך את הספרה השנייה למשהו שונה מ-$latex b_2$, הפוך את הספרה השלישית למשהו שונה מ-$latex c_3 $ וכן הלאה.
המספר האמיתי הזה מוגדר על ידי הקשר שלו עם האלכסון של הרשימה. האם זה ברשימה? זה לא יכול להיות המספר הראשון ברשימה, מכיוון שיש לו ספרה ראשונה שונה. זה גם לא יכול להיות המספר השני ברשימה, מכיוון שיש לו ספרה שנייה אחרת. למעשה, זה לא יכול להיות nהמספר ברשימה זו, כי יש לו שונה nהספרה. וזה נכון לגבי כולם n, אז המספר החדש הזה, שהוא בין אפס ל-1, לא יכול להיות ברשימה.
אבל כל המספרים האמיתיים בין אפס ל-1 היו אמורים להיות ברשימה! סתירה זו נובעת מההנחה שקיימת שילוב בין המספרים הטבעיים והממשיים בין אפס ל-1, ולכן לא יכולה להתקיים שילוב כזה. זה אומר שלסטים האינסופיים האלה יש גדלים שונים. עוד קצת עבודה עם פונקציות (ראה את התרגילים) יכולה להראות שקבוצת כל המספרים הממשיים זהה לקבוצת כל הממשיים בין אפס ל-1, ולכן הממשיים, המכילים את המספרים הטבעיים, חייבים להיות סט אינסופי גדול יותר.
המונח הטכני לגודל של קבוצה אינסופית הוא ה"קרדינליות" שלה. הטיעון האלכסוני מראה שהקרדינליות של הממשיים גדולה יותר מהקרדינליות של המספרים הטבעיים. הקרדינליות של המספרים הטבעיים כתובה $latex aleph_0$, מבוטא "אלף לא". בהשקפה סטנדרטית של מתמטיקה זהו הקרדינל האינסופי הקטן ביותר.
הקרדינל האינסופי הבא הוא $latex aleph_1$ ("אלף אחד"), ושאלה בפשטות הטרידה את המתמטיקאים כבר יותר ממאה שנה: האם $latex aleph_1$ הוא הקרדינליות של המספרים הממשיים? במילים אחרות, האם יש אינסוף אחר בין המספרים הטבעיים למספרים הממשיים? קנטור חשב שהתשובה היא לא - קביעה שזכתה לכינוי השערת רצף - אבל הוא לא הצליח להוכיח זאת. בתחילת שנות ה-1900 שאלה זו נחשבה כל כך חשובה, שכאשר דיוויד הילברט הרכיב את הרשימה המפורסמת שלו של 23 בעיות פתוחות חשובות במתמטיקה, השערת הרצף הייתה מספר אחת.
מאה שנים מאוחר יותר, חלה התקדמות רבה, אך התקדמות זו הובילה לתעלומות חדשות. בשנת 1940 הלוגיקן המפורסם קורט גדל הוכיח שלפי הכללים המקובלים של תורת הקבוצות, אי אפשר להוכיח שקיים אינסוף בין זה של המספרים הטבעיים לזה של הממשיים. זה אולי נראה כמו צעד גדול לקראת הוכחת השערת הרצף נכונה, אבל שני עשורים לאחר מכן המתמטיקאי פול כהן הוכיח שאי אפשר להוכיח שאינסוף כזה לא קיים! מסתבר שלא ניתן להוכיח את השערת הרצף כך או כך.
יחד תוצאות אלו ביססו את ה"עצמאות" של השערת הרצף. זה אומר שכללי הקבוצות המקובלים פשוט לא אומרים מספיק כדי לומר לנו אם קיים אינסוף בין המספרים הטבעיים לממשיים. אבל במקום להרתיע מתמטיקאים במרדף אחר הבנת האינסוף, זה הוביל אותם לכיוונים חדשים. מתמטיקאים מחפשים כעת חוקים בסיסיים חדשים לקבוצות אינסופיות שיכולים גם להסביר את מה שכבר ידוע על אינסוף וגם לעזור להשלים את החסר.
לומר "האהבה שלי אליך אינה תלויה באקסיומות" אולי לא כיף כמו לומר "אני אוהב אותך אינסוף פלוס 1", אבל אולי זה יעזור לדור הבא של מתמטיקאים אוהבי אינסוף לישון טוב בלילה.
תרגילים
1. תן ל-$latex T = {1,3,5,7,…}$, קבוצת המספרים הטבעיים האי-זוגיים החיוביים. האם T גדול מקבוצת המספרים הטבעיים, קטן מ- או זהה לגודל ℕ?
2. מצא התאמה בין 1 ל-1 בין קבוצת המספרים הטבעיים, ℕ, לבין קבוצת המספרים השלמים $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.
3. מצא פונקציה $latex f(x)$ שהיא שילוב בין קבוצת המספרים הממשיים בין אפס ל-1 לבין קבוצת המספרים הממשיים הגדולה מאפס.
4. מצא פונקציה שהיא שילוב בין קבוצת המספרים הממשיים בין אפס ל-1 לבין קבוצת כל המספרים הממשיים.
לחץ לתשובה 1:
לחץ לתשובה 2:
אתה יכול גם לנסות להגדיר פונקציה התואמת את האלמנטים. הפונקציה הזו,
$latexf(n) =begin{cases}
frac{n+1}{2} &text{אם $n$ הוא אי זוגי}
-frac{n}{2} &text{אם $n$ שווה}
end{cases}$
ממפה ℕ על $latexmathbb{Z}$ והוא 1-1. אז יש מספרים שלמים כמו מספרים טבעיים, עוד הישג מוזר של אינסוף.
לחץ לתשובה 3:
יש הרבה אפשרויות, אבל אחת פשוטה היא $latex f(x) = frac{x}{1-x}$. כל מספר אמיתי חיובי הוא התמונה מתחת ל-$latex f(x)$ של מספר ממשי בין אפס ל-1. לדוגמה, כדי למצוא איזה מספר משויך, למשל, 102, פשוט הגדר את $latex 102 = frac{x}{ 1-x}$ ופתור עבור x:
$latex 102 = frac{x}{1-x}$
$latex 102(1-x) = x$
$latex 102=103x$
$latex x=frac{102}{103}$
שימו לב שה-x שמצאנו הוא בין אפס ל-1, לפי הצורך. אז עבור כל מספר, כמו 102, נוכל למצוא קלט שממופה אליו, מה שמרמז ש-$latex f(x)$ הוא ניתוחי. אחת הדרכים לראות ש$latex f(x)$ הוא גם זריקי (1-1) היא על ידי ציור הגרף שלו והתבוננות שהוא עובר את מבחן הקו האופקי: כל קו אופקי במישור הקרטזי עובר דרך הגרף של $latex f( x)$ לכל היותר פעם אחת, כלומר לא נעשה שימוש בפלט פעמיים.
לחץ לתשובה 4:
כמו בתרגיל 3, ישנן מספר פונקציות שיכולות לעבוד, אך גישה סטנדרטית היא להשתמש בטרנספורמציה של פונקציית המשיק. עבור הדומיין $latex -frac{π}{2}
אתה יכול לשנות את התחום של פונקציה זו עם טרנספורמציה. לדוגמה, נוכל לכווץ את הדומיין מ-$latex -frac{π}{2} < x
