מבוא
מוקדם יותר השנה, שלישיית מתמטיקאים החליטה להפוך מלימונים ללימונדה - ובסופו של דבר יצרה התקדמות גדולה על בעיה שמתמטיקאים חושבים עליה במשך מאות שנים.
השלושה בדיוק סיימו פרויקט וחשבו על הצעדים הבאים כאשר, בסוף מרץ, שניים מהם - לוונט אלפוגה מאוניברסיטת הרווארד ו ארי שנידמן מהאוניברסיטה העברית בירושלים - נדבק בקוביד-19, בנפרד אך כמעט בו זמנית. אנשים רבים היו לוקחים הפסקה בנסיבות כאלה, אבל חבר הצוות השלישי, מנג'ול בהרגבה מאוניברסיטת פרינסטון, הציע את ההיפך. הגברת פגישות הזום השבועיות שלהם לשלוש או ארבע פעמים בשבוע, הוא הציע, עשויה להסיח את דעתם של משתפי הפעולה החולים שלו מהתסמינים שלהם. הסגר, החליטו השלושה, יכול להיות הזדמנות לחשוב באין מפריע.
במהלך הפגישות הללו, הם שקלו את אחת השאלות העתיקות ביותר בתורת המספרים: כמה מספרים שלמים אפשר לכתוב כסכום של שני שברים בקוביות, או, כפי שמכנים אותם מתמטיקאים, מספרים רציונליים? את המספר 6, למשל, אפשר לכתוב כ- (17/21)3 + (37/21)3, בעוד 13 = (7/3)3+(2/3)3.
מתמטיקאים חושדים במשך עשרות שנים שניתן לכתוב כך מחצית מכל המספרים השלמים. בדיוק כמו עם מספרים אי זוגיים וזוגיים, נראה שמאפיין זה מחלק מספרים שלמים לשני מחנות שווים: אלה שהם סכום של שתי קוביות, ואלה שלא.
אבל אף אחד לא הצליח להוכיח זאת, או אפילו להגביל את היחס של המספרים השלמים שנכנסים לכל מחנה. ככל שידעו המתמטיקאים, המחנה המורכב מסכומים של קוביות רציונליות עשוי להיות קטן באופן הולך ונעלם - או שהוא עשוי להכיל כמעט כל מספר שלם. מתמטיקאים חישבו שאם משהו שנקרא השערת ליבנה וסווינרטון-דייר הוא נכון (כפי שמקובל לחשוב), כ-59% מהמספרים עד 10 מיליון הם סכום של שתי קוביות רציונליות. אבל נתונים כאלה יכולים, במקרה הטוב, להציע רמזים לגבי האופן שבו שאר קו המספרים עשוי להתנהג.
בניגוד למספרים האי-זוגיים והזוגיים, "שני המחנות הללו עדינים", אמר בארי מזור של הרווארד. אין מבחן לקביעת המספרים שייכים לאיזה מחנה שידוע שהוא עובד עבור כל המספרים. מתמטיקאים הגיעו עם מבחנים שהם מועמדים חזקים, אבל לעת עתה לכל אחד יש חיסרון מסוים - או שמתמטיקאים לא יכולים להוכיח שהמבחן תמיד יגיע למסקנה, או שהם לא יכולים להוכיח שהמסקנה נכונה.
הקושי בהבנת סכומי קוביות, ומשוואות מעוקבות באופן כללי יותר, היה "מבוכה חוזרת ונשנית עבור תורת המספרים", אמר בהרגווה. הוא זכתה במדליית פילדס בשנת 2014 בחלקו עבור עבודתו על פתרונות רציונליים למשוואות המעוקבות הידועות כעקומות אליפטיות, שסכומים של שתי קוביות הם מקרה מיוחד.
עכשיו, ב נייר פורסם באינטרנט בסוף אוקטובר, אלפוגה, בהרגבה ושנידמן הראו שלפחות 2/21 (כ-9.5%) ולכל היותר 5/6 (כ-83%) של מספרים שלמים יכולים להיכתב כסכום של שני שברים בקוביות.
שאלת סכומי הקוביות היא לא רק קוריוז. לעיקולים אליפטיים יש מבנה מורכב עשיר שדחף אותם למרכז של תחומים רבים של מתמטיקה טהורה ויישומית, ובעיקר מאפשר לקריפטוגרפים לבנות צפנים רבי עוצמה. להשערת בירץ' וסווינרטון-דייר, השאלה המרכזית בתחום, יש פרס של מיליון דולר על ראשה כאחת מבעיות פרס המילניום של המכון למתמטיקה קליי.
העבודה החדשה מתבססת על סט כלים שפיתח בהרגבה במהלך 20 השנים האחרונות, יחד עם משתפי פעולה, כדי לחקור את כל המשפחה של עקומות אליפטיות. הבנת סכומים של שתי קוביות פירושה ניתוח משפחה קטנה בהרבה, ו"ככל שהמשפחה קטנה יותר, הבעיה קשה יותר", אמר פיטר סרנק של המכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון.
המשפחה הספציפית הזו נראתה "מחוץ להישג יד", הוסיף סרנק. "הייתי אומר, 'זה נראה קשה מדי, קשה מדי'".
מעבר שלבים
בניגוד לסכומים של שברים בקוביות, שנראה שיש בשפע, כמעט שום מספרים שלמים הם סכום של שני שברים בריבוע. בתחילת המאה ה-1600, המתמטיקאים אלברט ז'ירארד ופייר דה פרמה מצאו מבחן פשוט לקביעה אילו מספרים שלמים הם סכום של שני ריבועים: חלק את המספר שלך לראשוניים, ולאחר מכן בדוק את המעריך של כל ראשוני שיש לו השארית של 3 כאשר אתה מחלק אותו ב-4. אם המעריכים האלה כולם זוגיים, המספר שלך הוא סכום של שני שברים בריבוע; אחרת, זה לא. לדוגמה, 490 גורמים ל-21 × 51 × 72. היחיד מבין הגורמים האלה שיש לו שארית של 3 כאשר אתה מחלק ב-4 הוא 7, ול-7 יש מעריך זוגי. לכן, 490 הוא סכום של שני ריבועים (לסקרנים, הוא שווה ל-72 + 212).
הרוב המכריע של המספרים נכשלים במבחן המעריך הזוגי. אם תבחר מספר שלם באקראי, ההסתברות שהוא סכום של שני שברים בריבוע היא בעצם אפס. מתמטיקאים מאמינים שאותו הדבר נכון לגבי סכומים של שני שברים המועלים בחזקת רביעית, או בחזקת חמישית, או כל חזקה גבוהה משלוש. רק עם סכומי הקוביות יש פתאום שפע.
מתמטיקאים רגילים לכך שמשוואות מעוקבות מתנהגות בצורה שונה מאלה של כל שאר המעצמות. בין משוואות העשויות משני משתנים (כמו משוואות הסכום של שתי קוביות), המשוואות שהמעריך הגבוה ביותר שלהן הוא 1 או 2 נוטות להיות מובנות היטב - בדרך כלל אין להן פתרונות רציונליים או אין להן אינסוף פתרונות, ובדרך כלל זה פשוט לספר איזה. בינתיים, יש בדרך כלל למשוואות שהמעריך הגבוה ביותר שלהן הוא 4 ומעלה רק זילוף סופי של פתרונות רציונליים.
לעומת זאת, למשוואות מעוקב יכולות להיות אינסוף פתרונות, אינסוף רבים או אף אחד בכלל. משוואות אלו מייצגות מעין מעבר פאזה בין המעריכים מתחת ל-3 לאלה שלמעלה, ומציגות תופעות שלעולם לא נראות בהגדרות האחרות הללו. "קוביות שונות מכל בחינה", אמר מזור.
בניגוד למשוואות עם מעריכים נמוכים יותר, קשה להדהים להבין קוביות. אין שיטה כוללת למציאת או אפילו לספור את הפתרונות הרציונליים לקוביות שהוכחה שתמיד עובדות.
"אפילו עם כל כוח המחשוב שיש לנו, אם אתה נותן לי עקומה אליפטית עם מקדמים גדולים מאוד, אני לא בהכרח יודע כמה פתרונות רציונליים יש לזה", אמר ווי הו, תלמיד לשעבר של בהרגווה שהוא כיום פרופסור אורח במכון ללימודים מתקדמים.
בבעיית הסכום של שתי קוביות, השברים המעורבים יכולים להיות עצומים: המספר 2,803, למשל, הוא סכום של שני שברים קוביים שכל אחד מהמכנים שלהם מכיל 40 ספרות. וברגע שאנו מסתכלים על מספרים במיליונים, אמר בהרגווה, רבים מהשברים "יהיו כרוכים ביותר ספרות ממה שיכול להתאים לכל הנייר בעולם הזה."
מיפוי מטריצות
מכיוון שעקומות אליפטיות הן כל כך בלתי ניתנות לשליטה, תיאורטיקנים של מספרים מחפשים דרכים לקשר אותן עם חפצים ניתנים לפתרון. באפריל הקרוב, בעוד אלפוגה ושנידמן נלחמו בקוביד, הם ובהרגבה בנו על עבודה שהאחרון עשה בעבר עם הו והבינו שבכל פעם שלמשוואת סכום הקוביות יש פתרונות רציונליים, יש דרך לבנות לפחות 2 מיוחד אחד. × 2 × 2 × 2 מטריצה - אנלוגי ארבעה ממדי למטריצה הדו-ממדית המוכרת יותר. "התחלנו לתכנן תוכנית לספור את המטריצות האלה בגודל 2 × 2 × 2 × 2", כתבו השלושה.
לשם כך, הצוות התבסס על שני נושאים קלאסיים שנלמדו כל אחד במשך יותר ממאה שנה. האחת היא "גיאומטריית המספרים", הכוללת איך לספור נקודות סריג בתוך צורות גיאומטריות שונות. נושא זה זוכה לרנסנס בתחום העקומות האליפטיות במהלך 20 השנים האחרונות, בעיקר בשל עבודתם של בהרגווה ומשתפי פעולה.
הטכניקה האחרת, המכונה שיטת המעגל, מקורה בעבודתם של המתמטיקאי ההודי האגדי סריניוואסה רמנוג'אן ומשתף הפעולה הוותיק שלו GH Hardy בתחילת המאה ה-20. "זהו היישום העיקרי הראשון של שילוב שיטת המעגל עם טכניקות הגיאומטריה של המספרים הללו", אמר הו. "החלק הזה מאוד מגניב."
באמצעות שיטות אלה, השלישייה הצליחה להראות שלפחות 1/6 מכל המספרים השלמים, לא קיימת מטריצה של 2 × 2 × 2 × 2. זה אומר שלמספרים האלה, למשוואת סכום הקוביות אין פתרונות רציונליים. אז לא יותר מ-5/6 מספרים שלמים, או בערך 83%, יכולים להיות סכום הקוביות של שני שברים.
בכיוון ההפוך, הם מצאו שלפחות ל-5/12 מכל המספרים השלמים יש מטריצה אחת תואמת בדיוק. מפתה להסיק שהמספרים האלה הם סכום של שתי קוביות, אבל זה לא בא אוטומטית. לכל מספר שהוא סכום של שתי קוביות יש מטריצה, אבל זה לא בהכרח אומר שההפך הוא הנכון: שכל מספר עם מטריצה הוא סכום של שתי קוביות.
אלפוגה, בהרגבה ושנידמן נזקקו למה שחוקרי עקומה אליפטית מכנים משפט הפוך - משהו שלוקח מידע על משוואת מעוקב ומשתמש בו כדי לבנות פתרונות רציונליים. משפטים הפוכים יוצרים תת-תחום פורח של תורת העקומות האליפטיות, ולכן השלישייה פנתה לשניים מהמתרגלים המומחים של תת-התחום - אשי בורונגלה של אוניברסיטת טקסס, אוסטין ושל פרינסטון. Burungale וסקינר הצליחו להראות שלפחות בחלק מהזמן, אם למספר שלם יש מטריצה אחת משויכת, אז המספר הזה חייב להיות סכום של שתי קוביות רציונליות. המשפט שלהם, המוכיח בעצם חלק רלוונטי מהשערת ליבנה וסווינרטון-דייר, מופיע במאמר כנספח בן שלושה עמודים, שסרנק מתאר כמופלא בפני עצמו.
בורונגלה וסקינר לא הוכיחו את המשפט שלהם עבור כל מספר שלם עם מטריצה אחת בדיוק - הם נאלצו להטיל תנאי טכני שהפחית את קבוצת המשנה של 5/12 ל-2/21, או בערך 9.5%, מכל המספרים השלמים. אבל בהרגווה אופטימי ש-Burungale ו-Skinner, או חוקרים אחרים באזור שלהם, יגיעו לשאר ה-5/12 (כ-41% בסך הכל) תוך זמן קצר מדי. "הטכניקות שלהם מתחזקות בהתמדה", אמר בהרגווה.
הוכחת ההשערה המלאה - שחצי מכל המספרים השלמים הם סכום של שתי קוביות - תחייב בסופו של דבר להתמודד עם קבוצת המספרים שיש להם יותר ממטריצה אחת משויכת. קבוצה זו, שבהרגאווה מכנה "מאוד מעורפלת", כוללת גם מספרים שהם סכום של שתי קוביות וגם מספרים שלא. טיפול במספרים כאלה ידרוש רעיונות חדשים לחלוטין, אמר.
לעת עתה, החוקרים שמחים שסוף סוף קבעו את השאלה לגבי חלק ניכר של מספרים שלמים, והם להוטים לחקור את הטכניקות שבהוכחה עוד יותר. "זה אחד מהדברים היפים האלה: אתה יכול להסביר את התוצאה בקלות רבה, אבל הכלים נמצאים מאוד מאוד בחוד החנית של תורת המספרים," אמר סרנק.
