מתמטיקאים השלימו מסע לבניית 'קוביות כדוריות'

במאה הרביעית, המתמטיקאי היווני פאפוס מאלכסנדריה שיבח את הדבורים על "המחשבה הגיאומטרית המקדימה". המבנה המשושה של חלת הדבש שלהם נראה כמו הדרך האופטימלית לחלק את החלל הדו-ממדי לתאים בעלי שטח שווה והיקף מינימלי - מה שמאפשר לחרקים לצמצם את כמות השעווה שהם צריכים לייצר, ולהשקיע פחות זמן ואנרגיה בבנייתם. כוורת.

או כך לפחות שיערו פאפוס ואחרים. במשך אלפי שנים, אף אחד לא יכול היה להוכיח שהמשושים היו אופטימליים - עד שלבסוף, ב-1999, המתמטיקאי תומאס היילס הראה שאף צורה אחרת לא יכולה לעשות טוב יותר. כיום, מתמטיקאים עדיין לא יודעים אילו צורות יכולות לרצף שלושה ממדים או יותר עם שטח הפנים הקטן ביותר האפשרי.

לבעיית "קצף" זו יש יישומים רחבי טווח - לפיזיקאים החוקרים את התנהגות בועות סבון (או קצף) וכימאים המנתחים את מבנה הגבישים, למתמטיקאים בוחנים סידורי אריזת כדורים וסטטיסטיקאים המפתחים טכניקות יעילות לעיבוד נתונים .

באמצע שנות ה-2000, ניסוח מסוים של בעיית הקצף משך גם את עיניהם של מדעני מחשבים תיאורטיים, שגילו, להפתעתם, שזה קשור עמוק לבעיה פתוחה חשובה בתחומם. הם הצליחו להשתמש בחיבור הזה כדי למצוא צורה חדשה בממדים גבוהים של שטח פנים מינימלי.

"אני אוהב את זה הלוך ושוב," אמר אסף נאור מאוניברסיטת פרינסטון. "כמה מתמטיקה ישנה הופכת רלוונטית למדעי המחשב; מדעי המחשב מחזירים ופותרים את השאלה במתמטיקה. זה מאוד נחמד כשזה קורה".

אבל הצורה הזו, למרות האופטימלית, חסרה משהו חשוב: בסיס גיאומטרי. מכיוון שקיומה הוכח באמצעות טכניקות ממדעי המחשב, קשה היה לתפוס את הגיאומטריה האמיתית שלו. זה מה שנאור, יחד עם זה עודד רגב, מדען מחשבים במכון Courant באוניברסיטת ניו יורק, יצא לתקן הוכחה שפורסמה באינטרנט בחודש שעבר.

"זה סוף נחמד מאוד לסיפור", אמרה רגב.

קצף קובי

מתמטיקאים שקלו גרסאות אחרות של בעיית הקצף - כולל מה קורה אם מותר לך רק לחלק את החלל לפי מה שנקרא סריג השלם. בגרסה זו של הבעיה, אתה לוקח מערך מרובע של נקודות ברווח שווה (כל יחידה אחת בנפרד) והופכים כל אחת מהנקודות האלה למרכז הצורה. בעיית הקצף ה"קובית" שואלת מה יהיה שטח הפנים המינימלי כאשר תידרש לרצף שטח בצורה זו.

חוקרים היו מעוניינים בתחילה להטיל מגבלה זו על מנת להבין תכונות של מרחבים טופולוגיים הנקראים סעפות. אבל השאלה קיבלה חיים משלה, והפכה לרלוונטית בניתוח נתונים ויישומים אחרים.

זה גם מעניין מבחינה גיאומטרית, כי זה משנה את המשמעות של "אופטימלי". בשני ממדים, למשל, משושים רגילים אינם יכולים עוד לרצף את המישור אם ניתן להזיז אותם רק בכמויות שלמות בכיוון האופקי והאנכי. (עליך להעביר אותם בכמויות לא רציונליות באחד משני הכיוונים.)

ריבועים יכולים. אבל האם זה הדבר הטוב ביותר שניתן לעשות? בתור המתמטיקאי ג'אייג'ונג צ'ו התגלה ב-1989, התשובה היא לא. הצורה האופטימלית היא במקום משושה שנמעך לכיוון אחד והתארך בכיוון אחר. (היקפו של משושה כזה הוא בערך 3.86 כאשר השטח שלו הוא 1 - מה שקובע את היקף הריבוע של 4.)

ההבדלים האלה אולי נראים טריוויאליים, אבל הם גדלים הרבה יותר בממדים גבוהים יותר.

בין כל הצורות של נפח נתון, זו שממזערת את שטח הפנים היא הכדור. כפי ש n, מספר הממדים, גדל, שטח הפנים של הכדור גדל ביחס לשורש הריבועי של n.

אבל כדורים לא יכולים לרצף חלל מבלי להשאיר פערים. מצד שני, א n-קוביה ממדית של נפח 1 פחית. הקאץ' הוא ששטח הפנים שלו הוא 2n, גדל ביחס ישר למימד שלו. לקובייה בעלת 10,000 מימדים של נפח 1 יש שטח פנים של 20,000 - הרבה יותר מ-400, שטח הפנים המשוער של כדור בעל 10,000 מימדים.

וכך תהו החוקרים אם הם יכולים למצוא "קוביה כדורית" - צורה שמרצפת n-מרחב ממדי, כמו קובייה, אך שטח הפנים שלו גדל לאט, כמו של כדור.

זה נראה לא סביר. "אם אתה רוצה שהבועה שלך תמלא בדיוק את החלל ותהיה מרוכזת ברשת הקובית הזו, קשה לחשוב במה היית משתמש חוץ מבועה קובית", אמר ריאן אודונל, מדען מחשבים תיאורטי באוניברסיטת קרנגי מלון. "זה באמת נראה שהקובייה צריכה להיות הטובה ביותר."

עכשיו אנחנו יודעים שזה לא.

הקושי של בעיות קשות

במשך עשרות שנים, בעיית הקצף הקובית לא נחקרה יחסית בממדים גבוהים יותר. החוקרים הראשונים שהתקדמו בו הגיעו לא מתחום הגיאומטריה אלא ממדעי המחשב התיאורטיים. הם נתקלו בזה במקרה, תוך כדי חיפוש אחר דרך להוכיח אמירה מרכזית בתחומם המכונה השערת משחקים ייחודית. "השערת המשחקים הייחודית", אמרה רגב, "היא מה שאני רואה כיום כשאלה הפתוחה הגדולה ביותר במדעי המחשב התיאורטיים".

הוצע בשנת 2002 על ידי Subhash Khot, סטודנט לתואר שני באותה תקופה, ההשערה טוענת שאם בעיה מסוימת - כזו הכרוכה בהקצאת צבעים לצמתים של רשת - לא ניתנת לפתרון בדיוק, אז קשה מאוד למצוא אפילו פתרון משוער. אם היא נכונה, ההשערה תאפשר לחוקרים להבין את המורכבות של מבחר עצום של משימות חישוביות אחרות במכה אחת.

מדעני מחשבים מסווגים לעתים קרובות משימות על סמך האם ניתן לפתור אותן באמצעות אלגוריתם יעיל, או אם הן במקום זאת "קשות לNP" (כלומר לא ניתן לפתור אותן ביעילות ככל שגודל הבעיה גדל, כל עוד האמונה הרווחת אבל השערה לא מוכחת לגבי מורכבות חישוב נכונה). לדוגמה, בעיית איש המכירות הנוסע, המבקשת את הנתיב הקצר ביותר הדרוש כדי לבקר בכל עיר ברשת רק פעם אחת, היא NP-קשה. כך גם לקבוע אם גרף - אוסף של קודקודים המחוברים בקצוות - יכול להיות מסומן עם שלושה צבעים לכל היותר כך שלכל שני קודקודים מחוברים יהיו צבעים שונים.

מסתבר שקשה NP למצוא אפילו פתרון משוער לרבות מהמשימות הללו. נניח שברצונך לתייג את קודקודי הגרף בצבעים שונים באופן שיעמוד ברשימה כלשהי של אילוצים. אם זה NP-קשה לספק את כל האילוצים האלה, מה לגבי ניסיון למלא רק 90% מהם, או 75%, או 50%? מתחת לסף מסוים, אולי אפשר להמציא אלגוריתם יעיל, אבל מעל לסף הזה, הבעיה הופכת להיות NP-קשה.

במשך עשרות שנים, מדעני מחשבים עבדו כדי לקבוע ספים לבעיות אופטימיזציה שונות של עניין. אבל כמה שאלות מתחמקות מתיאור כזה. בעוד שאלגוריתם עשוי להבטיח 80% מהפתרון הטוב ביותר, ייתכן שיהיה NP-קשה להשיג 95% מהפתרון הטוב ביותר, מה ומותיר את השאלה היכן בדיוק בין 80% ל-95% הבעיה נוטה לטריטוריה קשה NP.

השערת המשחקים הייחודית, או UGC, מציעה דרך לאתר מיד את התשובה. היא מציגה הצהרה שנראית בהתחלה מוגבלת יותר: שקשה להבחין ב-NP בין גרף שעבורו אתה יכול לעמוד כמעט בכל קבוצה מסוימת של אילוצי צביעה (נניח, יותר מ-99%) לבין גרף עבור שאתה יכול לספק כמעט אף אחד (נניח, פחות מ-1%).

אבל זמן קצר לאחר שה-UGC הוצע ב-2002, החוקרים הראו שאם ההשערה נכונה, אז אתה יכול בקלות לחשב את סף הקשיות עבור כל בעיית שביעות רצון מהאילוצים. (הסיבה לכך היא שה-UGC גם מרמז שאלגוריתם ידוע משיג את הקירוב הטוב ביותר האפשרי עבור כל הבעיות הללו.) "זה היה בדיוק הבסיס לכל בעיות האופטימיזציה האלה," אמר אודונל.

וכך יצאו מדעני מחשבים תיאורטיים להוכיח את ה-UGC - משימה שהובילה בסופו של דבר כמה מהם לגלות קוביות כדוריות.

מקשים על בעיות קשות

בשנת 2005, אודונל עבד ב-Microsoft Research. הוא ושני עמיתים - אוריאל פייג', כעת במכון ויצמן למדע, ו גיא קינדלר, כעת באוניברסיטה העברית בירושלים - חברו כדי להתמודד עם ה-UGC.

היה להם מושג מעורפל איך הם רוצים להמשיך. הם יתחילו עם שאלה על גרפים - שאלה שדומה מאוד ל-UGC. הבעיה שנקראת מקסימום חיתוך ("max-cut") שואלת, כאשר ניתן גרף, כיצד לחלק את הקודקודים שלו לשתי קבוצות (או צבעים) כך שמספר הקצוות המחברים את הקבוצות הללו יהיה גדול ככל האפשר. (אתה יכול לחשוב על חיתוך מקסימלי כשאלה לגבי הדרך הטובה ביותר לצבוע גרף עם שני צבעים, כך שכמה שפחות קצוות יחברו קודקודים מאותו צבע.)

אם ה-UGC נכון, זה ירמז שבהינתן גרף אקראי כלשהו, ​​אלגוריתם קירוב יעיל יכול להגיע רק בטווח של כ-87% מהחתך המקסימלי האמיתי של הגרף הזה. לעשות משהו טוב יותר יהיה NP-קשה.

פייג', קינדלר ואודונל במקום זאת רצו ללכת בכיוון ההפוך: הם קיוו להראות שקשה להעריך את החתך המקסימלי, ואז להשתמש בזה כדי להוכיח את ה-UGC. התוכנית שלהם הסתמכה על כוחה של טכניקה שנקראת חזרה מקבילה - אסטרטגיה חכמה שמקשה על בעיות קשות.

תגיד שאתה יודע שזה NP-קשה להבחין בין בעיה שאתה יכול לפתור לבין בעיה שאתה יכול לפתור בעיקר. חזרה מקבילה מאפשרת לך לבנות על זה כדי להראות תוצאת קשיות הרבה יותר חזקה: שזה גם NP-קשה להבחין בין בעיה שאתה יכול לפתור לבין בעיה שאתה בקושי יכול לפתור בכלל. "התופעה הלא אינטואיטיבית והעמוקה הזו... נמצאת בקרביים של הרבה מדעי המחשב כיום", אמרה נאור.

אבל יש מלכוד. חזרה מקבילה לא תמיד מגבירה את קשיות הבעיה כפי שמדעני מחשבים רוצים שהיא תעשה. בפרט, ישנם היבטים של בעיית ה-max-cut ש"יוצרים כאב ראש גדול לחזרה מקבילה", אמרה רגב.

פייג', קינדלר ואודונל התמקדו בלהראות שחזרה מקבילה יכולה לעבוד למרות כאבי הראש. "זה דבר מאוד מסובך לנתח", אמר דנה מושקוביץ, מדען מחשבים תיאורטי באוניברסיטת טקסס, אוסטין. "אבל זה נראה קרוב להפליא. חזרה מקבילה נראתה כאילו היא תעזור ליצור את החיבור הזה מ-max cut למשחקים ייחודיים".

כחימום, החוקרים ניסו להבין חזרה מקבילה למקרה פשוט של מקסימום חתך, מה שמושקוביץ כינה "החתך המקסימלי המטופש ביותר". שקול מספר אי זוגי של קודקודים המחוברים בקצוות ליצירת מעגל, או "מחזור אי זוגי". אתה רוצה לתייג כל קודקוד עם אחד משני צבעים כך שלאף זוג של קודקודים סמוכים לא יהיה אותו צבע. במקרה זה, זה בלתי אפשרי: קצה אחד תמיד יחבר קודקודים מאותו צבע. אתה צריך למחוק את הקצה הזה, "לשבור" את המחזור המוזר, כדי שהגרף שלך יעמוד במגבלה של הבעיה. בסופו של דבר, אתה רוצה למזער את החלק הכולל של הקצוות שאתה צריך למחוק כדי לצבוע נכון את הגרף שלך.

חזרה מקבילה מאפשרת לך לשקול גרסה ממדית גבוהה של בעיה זו - כזו שבה אתה צריך לשבור את כל המחזורים המוזרים שמופיעים. פייג', קינדלר ואודונל היו צריכים להראות שכשמספר הממדים נעשה גדול מאוד, אתה צריך למחוק חלק גדול מאוד של קצוות כדי לשבור את כל המחזורים המוזרים. אם זה היה נכון, זה אומר שחזרה מקבילה יכולה להגביר ביעילות את הקשיות של בעיית "המקסימום המטופש" הזו.

אז גילה הצוות צירוף מקרים מוזר: הייתה דרך גיאומטרית לפרש אם חזרה מקבילה תעבוד כמו שהם קיוו. הסוד טמון בשטח הפנים של קצפים קוביים.

מלימונים ועד לימונדה

הבעיה שלהם, שכתובה מחדש בשפת הקצף, הסתכמה להראות שקוביות כדוריות אינן יכולות להתקיים - שאי אפשר לחלק חלל ממדי גבוה לאורך הסריג שלמים לתאים ששטח הפנים שלהם קטן בהרבה מזה של הקובייה. (שטח פנים גדול יותר מתאים לצורך למחוק עוד קצוות "רעים" בגרף המחזורים האי-זוגיים, כפי שמדעני המחשב קיוו להראות).

"היינו כאילו, הו, איזו בעיה בגיאומטריה מוזרה, אבל זה כנראה נכון, נכון?" אמר אודונל. "באמת היינו צריכים שזו תהיה התשובה האמיתית." אבל הוא, פייג' וקינדלר לא הצליחו להוכיח זאת. אז בשנת 2007, הם פרסם מאמר מתאר כיצד הם תכננו להשתמש בבעיה זו כדי לעזור לתקוף את UGC.

עד מהרה נכזבה תקוותיהם.

רן רז, מדען מחשבים תיאורטי בפרינסטון שכבר הוכיח כמה תוצאות עיקריות לגבי חזרה מקבילה, הסתקרן מהמאמר שלהם. הוא החליט לנתח חזרה מקבילה לבעיית המחזור המוזר, בין השאר בגלל הקשר לגיאומטריה שפייג', קינדלר ואודונל חשפו.

רז לא התחיל עם בעיית הקצף אלא תקף את גרסת מדעי המחשב של השאלה חזיתית. הוא הראה שאתה יכול להתחמק עם מחיקת הרבה פחות קצוות כדי לשבור את כל המחזורים המוזרים בגרף. במילים אחרות, חזרה מקבילה לא יכולה להגביר במידה מספקת את הקשיות של הבעיה המקסימלית הזו. "הפרמטרים שמקבלים מחזרה מקבילה בדיוק, לא בדיוק נותנים את זה", אמר מושקוביץ.

"התוכנית שלנו להשתמש בחזרה מקבילה כדי להראות את הקשיחות של משחקים ייחודיים אפילו לא עבדה במקרה הפשוט ביותר", אמר אודונל. "הסוג הזה שבר את כל התוכנית."

למרות מאכזב, התוצאה של רז רמזה גם על קיומן של קוביות כדוריות: צורות המסוגלות לרצף. n-מרחב ממדי עם שטח פנים שגודלו ביחס לשורש הריבועי של n. "היינו כאילו, ובכן, בואו נעשה לימונדה מלימונים וניקח את התוצאה הטכנית המאכזבת הזו לגבי חזרה מקבילה וגרפים נפרדים, ונהפוך אותה לתוצאה מסודרת ומעניינת בגיאומטריה", אמר אודונל.

הוא וקינדלר, בשיתוף מדעני המחשב אנופ ראו ו אבי וידרסון, בדק את ההוכחה של רז עד שלמדו את הטכניקות שלה מספיק טוב כדי לתרגם אותן לבעיית הקצף. ב-2008 הם הראו את זה קוביות כדוריות אכן אפשריות.

"זו דרך נחמדה לנמק את הבעיה", אמר מארק ברוורמן של פרינסטון. "זה יפה."

וזה עורר שאלות בצד הגיאומטריה של הסיפור. מכיוון שהם השתמשו בעבודתו של רז על חזרה מקבילה כדי לבנות את צורת הריצוף שלהם, קינדלר, אודונל, ראו וויגדרסון קיבלו משהו מכוער ודומה לפרנקנשטיין. האריח היה מבולגן ומלא חריצים. במונחים מתמטיים, זה לא היה קמור. אמנם זה עבד למטרותיהם, אבל לקובייה הכדורית לא היו תכונות שמתמטיקאים מעדיפים - תכונות שהופכות צורה לקונקרטית יותר, קלה יותר להגדרה וללימוד, ומתאימות יותר ליישומים פוטנציאליים.

"יש משהו מאוד לא מספק בבנייה שלהם", אמרה רגב. "זה נראה כמו אמבה. זה לא נראה כמו מה שהיית מצפה, גוף אריחים יפה".

זה מה שהוא ונאור יצאו למצוא.

להשתחרר מהכלוב

מלכתחילה הבינו נאור ורגב שיצטרכו להתחיל מאפס. "חלקית בגלל שגופים קמורים כל כך מגבילים, לאף אחת מהטכניקות הקודמות לא היה סיכוי לעבוד", אמר דור מינצר, מדען מחשבים תיאורטי במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס.

למעשה, זה היה סביר לחלוטין שהקמורות תהיה מגבילה מדי - שקובייה כדורית קמורה פשוט לא קיימת.

אבל בחודש שעבר הוכיחו נאור ורגב שאפשר לחלק n-מרחב ממדי לאורך קואורדינטות שלמות עם צורה קמורה ששטח הפנים שלה די קרוב לזה של הכדור. והם עשו זאת בצורה גיאומטרית לחלוטין - החזירו את הבעיה לשורשים המתמטיים שלה.

תחילה היה עליהם לעקוף מכשול גדול. בעיית הקצף הקובית מחייבת שכל אריח יהיה מרוכז בקואורדינטות שלמות. אבל בסריג המספרים השלמים, יש מרחקים קצרים מאוד בין כמה נקודות - והמרחקים הקצרים האלה גורמים לבעיות.

שקול נקודה ברשת הדו-ממדית. הוא ממוקם במרחק של יחידה אחת מהנקודות הקרובות ביותר שלו בכיוון האופקי והאנכי. אבל בכיוון האלכסוני, הנקודה הקרובה ביותר נמצאת במרחק של $latex sqrt{1}$ יחידות - אי התאמה שמתגברת בחללים גדולים יותר. בתוך ה nסריג של מספר שלם ממדי, הנקודות הקרובות ביותר עדיין נמצאות במרחק של יחידה אחת, אבל הנקודות ה"אלכסוניות" הללו נמצאות כעת במרחק של $latex sqrt{n}$ יחידות. ב-, נניח, 1 ממדים, זה אומר שהשכן ה"אלכסוני" הקרוב ביותר לכל נקודה נמצא במרחק של 10,000 יחידות, למרות שיש עוד 100 נקודות (אחת לכל כיוון) שנמצאות במרחק של יחידה אחת בלבד.

בסריגים אחרים, שני סוגי המרחקים הללו גדלים ביחס אחד לשני. מתמטיקאים יודעים כבר עשרות שנים איך לרצף סריג כזה בצורות קמורות בעלות שטח פנים מינימלי.

אבל בסריג השלם, המרחקים הקצרים ביותר תמיד יהיו תקועים ב-1. זה מפריע לבניית אריח יפה למראה עם שטח פנים אופטימלי. "הם קצת הכניסו אותך לכלוב הזה", אמרה רגב. "הם עושים הכל מאוד צמוד סביבך."

אז נאור ורגב חשבו במקום זה נתח מהמלא n-מרחב ממדי. הם בחרו בקפידה את תת המרחב הזה כך שהוא עדיין יהיה עשיר בנקודות שלמות, אבל אף אחת מהנקודות האלה לא תהיה קרובה מדי זו לזו.

במילים אחרות, תת המרחב שהם הגיעו אליו היה בדיוק מהסוג שמתמטיקאים כבר ידעו לרצף בצורה מיטבית.

אבל זה היה רק ​​חצי מהעבודה. נאור ורגב היו צריכים לחלק את כל החלל, לא רק חלק ממנו. כדי לקבל n-קוביה כדורית ממדית, הם היו צריכים להכפיל את האריח היעיל שלהם עם אריח מהחלל הנותר (בדומה לאופן שבו אפשר להכפיל ריבוע דו מימדי עם קטע קו חד מימדי כדי לקבל קובייה תלת מימדית). פעולה זו תעלה את הבנייה שלהם בחזרה לחלל המקורי, אבל היא גם תגדיל את שטח הפנים שלו.

הזוג היה צריך להראות שהאריח מהחלל הנותר, שלא היה אופטימלי כל כך, לא הוסיף יותר מדי לשטח הפנים. ברגע שהם עשו זאת, הבנייה שלהם הושלמה. (שטח הפנים של הצורה הסופית שלהם בסופו של דבר היה קצת יותר גדול מזה של הקובייה הכדורית הלא קמורה, אבל הם מאמינים שאולי אפשר למצוא אריח קמור יעיל באותה מידה כמו עמיתו הלא קמור.)

"ההוכחה שלהם שונה לחלוטין" מעבודות קודמות על קוביות כדוריות, אמר המתמטיקאי נגה אלון. "ובדיעבד, זו אולי הוכחה טבעית יותר. זה מה שמישהו אולי היה צריך לנסות מלכתחילה".

"כשדברים נעשים אחרת", הוסיף רז, "לפעמים אתה מוצא השלכות נוספות מעניינות".

התקווה ניצתה מחדש

עדיין לא ברור מה עשויות להיות ההשלכות הללו - אם כי העבודה נוגעת לשימוש הפוטנציאלי בסריגים שלמים בקריפטוגרפיה ויישומים אחרים. בהתחשב עד כמה הבעיה הזו קשורה לתחומים אחרים, "סביר להניח שהיא תוביל לדברים אחרים", אמר אלון.

כרגע, מדעני מחשבים לא רואים דרך לפרש את התוצאה הקמורה בשפת החזרה המקבילה וה-UGC. אבל הם לא ויתרו לגמרי על התוכנית המקורית להשתמש בבעיית הקצף כדי להוכיח את ההשערה. "ישנן דרכים שונות שבהן אתה יכול לנסות לחתור תחת המחסומים הברורים שבהם נתקלנו", אמר קינדלר.

ברוורמן ומינצר ניסו דרך אחת כזו כשהם בדק מחדש את קצף בשנת 2020. במקום לדרוש שצורת הריצוף תהיה קמורה, הם ביקשו שהיא תציית לסימטריות מסוימות, כך שהיא תיראה זהה לא משנה איך תהפוך את הקואורדינטות שלה. (ב-2D, ריבוע יעבוד, אבל מלבן לא יעבוד; גם לא הקוביות הכדוריות הממדיות הגבוהות שתוארו עד היום.) תחת האילוץ החדש הזה, הזוג הצליח להראות למה שקינדלר ואחרים קיוו לו 15 שנים קודם לכן: שאתה לא יכול לעשות הרבה יותר טוב משטח הפנים של הקוביה אחרי הכל.

זה התאים לסוג אחר של חזרה מקבילה - כזו שתהפוך את המקרה הפשוט ביותר של מקסימום חתך לקשה ככל שהוא צריך להיות. למרות שהתוצאה נותנת תקווה מסוימת לקו המחקר הזה, לא ברור אם הגרסה הזו של חזרה מקבילה תעבוד עבור כל בעיות החתך המקסימלית. "זה לא אומר שסיימת," אמר ברוורמן. "זה רק אומר שחזרת לעניינים."

"יש הרבה פוטנציאל בגיאומטריה", אמר מינצר. "רק שאנחנו לא מבינים את זה מספיק טוב."