איך מתמטיקה פשוטה מזיזה את המחט | מגזין קוונטה

תארו לעצמכם שאתם מתגלגלים ברחוב במכונית ללא נהג כאשר אתם רואים בעיה לפניכם. נהג משלוחים של אמזון קיבל את הטנדר שלו בחצי הדרך על פני משאית UPS חניה כפולה לפני שהבין שהם לא יכולים לעבור. עכשיו הם תקועים. וכך גם אתה.

הרחוב צר מכדי לחלץ עין U, כך שהמכונית המשופרת בינה מלאכותית שלך מתחילה פנייה של שלוש נקודות. ראשית, המכונית לוקחת נתיב מתעקל לעבר מדרכה אחת. כשהיא שם, הוא נווט לכיוון השני וחוזר לאחור לשפת המדרכה הנגדי. לאחר מכן הוא מסובב את גלגל ההגה לאחור לכיוון הנתיב המתעקל הראשון, בנסיעה קדימה והתרחק מהחסימה.

האלגוריתם הגיאומטרי הפשוט הזה של ביצוע פניות ביניים יכול לעזור לך להתנייד במצבים קשים. (אם אי פעם חנית במקביל, אתה יודע מה ההתנודדות הלוך ושוב יכולה לעשות בשבילך.)

יש כאן בעיה מתמטית מהנה לגבי כמה מקום אתה צריך לסובב את המכונית שלך, ומתמטיקאים עובדים על גרסה אידיאלית שלה כבר יותר מ-100 שנה. זה התחיל ב-1917 כשהמתמטיקאי היפני סוצ'י קאקייה הציב בעיה שנשמעת קצת כמו הפקק שלנו. נניח שיש לך מחט דקה לאין שיעור באורך 1. מהו השטח של האזור הקטן ביותר שבו תוכל לסובב את המחט 180 מעלות ולהחזיר אותה למקומה המקורי? זו ידועה כבעיית המחט של קאקיה, ומתמטיקאים עדיין לומדים וריאציות שלה. בואו נסתכל על הגיאומטריה הפשוטה שהופכת את בעיית המחט של Kakeya למעניינת ומפתיעה כל כך.

כמו בעיות מתמטיקה רבות, גם זו כוללת כמה הנחות מפשטות שהופכות אותה לפחות מציאותית אבל יותר ניתנת לניהול. לדוגמה, האורך והרוחב של מכונית חשובים כשאתה נוהג, אבל נניח שלמחט שלנו יש אורך 1 ורוחב אפס. (משמעות הדבר היא שלמחט עצמה יש שטח של אפס, אשר ממלא תפקיד חשוב בכך שהוא מאפשר לנו לפתור את הבעיה.) כמו כן, נניח שהמחט, בניגוד למכונית, יכולה להסתובב סביב הקצה הקדמי שלה, הקצה האחורי שלה. , או כל נקודה באמצע.

המטרה היא למצוא את האזור הקטן ביותר שמאפשר למחט להסתובב 180 מעלות. למצוא את הדבר הקטן ביותר שעונה על סט מסוים של תנאים יכול להיות מאתגר, אבל דרך טובה להתחיל היא לחפש כל דבר שעונה על התנאים הללו ולראות מה אפשר ללמוד בדרך. לדוגמה, תשובה קלה היא פשוט לסובב את המחט 180 מעלות סביב נקודת הסיום שלה, ואז להחליק אותה בחזרה למעלה. זה מחזיר את המחט למיקומה המקורי, אך כעת היא מצביעה בכיוון ההפוך, כפי שדורשת בעיית המחט של Kakeya.

האזור הנדרש לפנייה הוא חצי עיגול עם רדיוס 1, ששטחו הוא $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. אז מצאנו אזור אחד שעובד.

אנחנו יכולים לעשות טוב יותר על ידי ניצול היכולת של המחט המתמטית הקסומה שלנו להסתובב סביב כל נקודה. במקום לסובב אותו סביב נקודת הקצה שלו, בואו נסובב אותו סביב נקודת האמצע שלו.

אפשר לקרוא לזה המצפן של Kakeya: המחט שלנו מתחילה להצביע צפונה, אבל לאחר סיבוב היא נמצאת באותו מקום אך מצביעה דרומה. אזור זה הוא מעגל ברדיוס $latex frac{1}{2}$, כך שהשטח שלו הוא $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. זה חצי מהשטח של האזור הראשון שלנו, אז אנחנו מתקדמים.

לאן עכשיו? נוכל לקחת השראה מהדילמה שלנו ללא נהג ולשקול להשתמש במשהו כמו פנייה של שלוש נקודות עבור המחט. זה למעשה עובד די טוב.

האזור שנסחף החוצה על ידי המחט בטכניקה זו נקרא דלתואיד, וגם הוא עונה על הדרישות של Kakeya. חישוב השטח שלו דורש יותר מהגיאומטריה היסודית עליה אנחנו דנים כאן (ידע על עקומות פרמטריות עוזר), אבל מסתבר שהשטח של הדלתא הספציפית הזו - זה שנסחף החוצה על ידי קטע קו באורך 1 - הוא בדיוק $latex frac{pi}{8}$. עכשיו יש לנו אזור קטן עוד יותר שבו אנחנו יכולים לסובב את המחט של Kakeya, ואפשר לסלוח לכם על כך שאתם חושבים שזה הכי טוב שאנחנו יכולים לעשות. קאקיה עצמו חשב שזה יכול להיות.

אבל בעיית המחט הזו קיבלה תפנית גדולה כשהמתמטיקאי הרוסי אברם בסיקוביץ' גילה שאתה יכול לעשות הרבה יותר טוב. הוא המציא נוהל לצמצם חלקים מיותרים מהאזור עד שהוא קטן ככל שרצה.

התהליך הוא טכני ומסובך, אך אסטרטגיה אחת המבוססת על הרעיון של בסיקוביץ' מסתמכת על שני רעיונות פשוטים. ראשית, שקול את המשולש הימני למטה, עם גובה של 1 ובסיס של 2.

לעת עתה נשכח מלהסתובב לחלוטין את המחט ורק להתמקד בעובדה אחת פשוטה: אם נמקם מחט באורך 1 בקודקוד העליון, המשולש גדול מספיק כדי לאפשר למחט להסתובב את כל ה-90 מעלות מצד אחד לצד השני.

מכיוון ששטח המשולש הוא $latex A=frac{1}{2}bh$, למשולש זה יש שטח $latex A=frac{1}{2} כפול 2 כפול 1 = 1$.

עכשיו, הנה הרעיון החשוב הראשון: אנחנו יכולים לצמצם את השטח של האזור תוך שמירה על הסיבוב של 90 מעלות. האסטרטגיה פשוטה: אנחנו חותכים את המשולש באמצע, ואז דוחפים את שני החצאים יחד.

השטח של דמות חדשה זו חייב להיות קטן מהמקורי מכיוון שחלקים מהמשולש חופפים כעת. למעשה, קל לחשב את שטח הדמות: זה רק שלושה רבעים מהריבוע של צלע 1, כך שהשטח הוא $latex A = frac{3}{4}$, שהוא קטן משטח ה- משולש שהתחלנו איתו.

ואנחנו עדיין יכולים לכוון את המחט לכל אותם הכיוונים כמו קודם. יש רק בעיה אחת: הזווית המקורית פוצלה לשני חלקים, אז הכיוונים האלה מחולקים כעת לשני אזורים נפרדים.

אם המחט נמצאת בצד שמאל של האזור החדש, נוכל לסובב אותה 45 מעלות בין דרום לדרום מזרח, ואם היא בצד ימין נוכל לסובב אותה 45 מעלות בין דרום לדרום מערב, אבל מכיוון ששני החלקים מופרדים , לא נראה שאנחנו יכולים לסובב אותו ב-90 המעלות המלאות כפי שיכולנו קודם.

כאן נכנס הרעיון החשוב השני. יש דרך ערמומית להעביר את המחט מצד אחד לצד השני שאינה דורשת שטח רב. בשחמט אתה עשוי לדעת שהאביר נע בצורת L. ובכן, המחט שלנו הולכת לנוע בצורת N.

הנה איך זה נעשה. ראשית, המחט מחליקה בצד אחד של ה-N. לאחר מכן היא מסתובבת כדי להצביע לאורך האלכסון ומחליקה מטה. ואז הוא מסתובב שוב ומסיים את נסיעתו על ידי החלקה במעלה הצד השני של ה-N.

בהתחלה המהלך הזה בצורת N אולי לא נראה הרבה, אבל הוא עושה משהו מאוד שימושי. זה מאפשר למחט "לקפוץ" מקו מקביל אחד למשנהו, מה שיעזור לנו להעביר את המחט שלנו מאזור אחד למשנהו. חשוב מכך, הוא עושה זאת מבלי לדרוש שטח רב. למעשה, אתה יכול לגרום לזה לדרוש שטח קטן ככל שתרצה. הנה למה.

נזכיר שלמחט שלנו יש רוחב אפס. אז לכל קו שהמחט נעה לאורכו, קדימה או אחורה, יהיה שטח אפס. משמעות הדבר היא שהאזור הנדרש להזזת המחט למעלה, למטה או באלכסון לאורך צורת N יורכב מחתיכות עם שטח אפס.

זה פשוט משאיר את הסיבובים בפינות של צורת N.

מהלכים אלו אכן דורשים שטח. אתה יכול לראות מגזר קטן של עיגול בכל פינה. אבל הנה החלק הערמומי: אתה יכול להקטין את האזורים האלה על ידי הארכת ה-N.

הנוסחה לשטח של מגזר של מעגל היא $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, כאשר $latex theta$ הוא המדד של זווית המגזר במעלות. לא משנה כמה גבוה ה-N, רדיוס המגזר תמיד יהיה 1: זה אורך המחט. אבל ככל שה-N מתגבר, הזווית מתכווצת, מה שיצמצם את שטח הגזרה. לפיכך, אתה יכול להפוך את השטח הנוסף קטן ככל שתרצה על ידי מתיחת ה-N ככל שתצטרך.

זכור שהצלחנו לצמצם את השטח של האזור המשולש שלנו על ידי פיצול זה לשניים והפיכת החלקים לחפיפה. הבעיה הייתה שזה פיצל את הזווית של 90 מעלות לשני חלקים נפרדים, מה שמנע מאיתנו לסובב את המחט כל 90 המעלות. כעת נוכל לפתור את הבעיה על ידי הדבקה בצורת N מתאימה כדי להבטיח שלמחט יש נתיב מצד אחד לצד השני.

באזור המעודכן הזה, המחט עדיין יכולה להסתובב את מלוא 90 המעלות כמו קודם, זה קורה עכשיו בשני שלבים. ראשית, המחט מסתובבת 45 מעלות ומתיישרת עם הקצה האנכי משמאל. לאחר מכן, הוא נע לאורך צורת N כדי להגיע לצד השני. ברגע שהוא שם, הוא חופשי להפוך את שאר 45 המעלות.

זה מזיז את המחט ב-90 מעלות, וכדי להמשיך להסתובב, אתה פשוט מוסיף עותקים מסובבים של האזור.

עם תוספת של צורות N המתאימות, המחט יכולה לקפוץ מחצי אי משולש אחד למשנהו, ולהפוך את עצמה טיפין טיפין עד שהיא מסתובבת עד הסוף, ממש כמו מכונית שמבצעת פנייה של שלוש נקודות.

יש יותר מתמטיקה שטנית בפרטים, אבל שני הרעיונות האלה - שאנחנו יכולים לצמצם ללא הרף את השטח של האזור המקורי על ידי חיתוך והסטה שלו תוך הבטחה שנוכל לעבור מחלק לחתיכה באמצעות צורות N הקטנות באופן שרירותי - עוזרים לנו להזיז את המחט לאזור הולך ומתכווץ שיכול בסופו של דבר להיות קטן ככל שתרצה.

גישה סטנדרטית יותר לבניית אזור מסוג זה מתחילה במשולשים שווי צלעות ומשתמשת ב"עצי פרון", שהם דרכים חכמות לפרוס משולשים למעלה, למתוח ולהחליק את החלקים זה לזה. התוצאה די מהממת.

לאחרונה, מתמטיקאים עשו זאת התקדם על וריאציות חדשות של בעיה ישנה זו, המוגדרות בממדים גבוהים יותר ועם מושגים שונים של גודל. סביר להניח שלעולם לא נראה מכונית מונעת בינה מלאכותית מתחקה אחר פנייה בנקודת מחט של קאקייה, אבל עדיין נוכל להעריך את היופי והפשטות של האין כמעט.

תרגילים

1. מהו השטח של המשולש שווה הצלעות הקטן ביותר שעובד כסט מחטים של Kakeya?

2. אתה יכול לעשות קצת יותר טוב מהמשולש שווה צלעות בתרגיל 1 על ידי שימוש במשולש Reuleaux, אזור שנוצר על ידי שלושה סקטורים מעגליים חופפים. מהו השטח של משולש רולו הקטן ביותר שעובד?