המסע לפענח את סט מנדלברוט, הפרקטל המפורסם של מתמטיקה | מגזין קוונטה

באמצע שנות ה-1980, כמו נגני ווקמן וחולצות מעונבות, הצללית דמוית החרק של סט מנדלברוט הייתה בכל מקום.

סטודנטים הטיחו אותו על קירות חדרי המעונות ברחבי העולם. מתמטיקאים קיבלו מאות מכתבים, בקשות נלהבות לתדפיסים של הסט. (בתגובה, חלקם הפיקו קטלוגים, מלאים עם מחירונים; אחרים ריכזו את המאפיינים הבולטים ביותר שלו לספרים.) מעריצים בעלי ידע טכנולוגי יכולים לפנות לגיליון אוגוסט 1985 של סיינטיפיק אמריקן. על כריכתו נפרש ערכת המנדלברוט בקנוקנות לוהטות, גבולו בוער; בפנים היו הוראות תכנות קפדניות, המפרטות כיצד יכולים הקוראים ליצור את התמונה האיקונית לעצמם.

עד אז, הקנוקנות הללו הרחיבו את טווח ההגעה שלהם הרבה מעבר למתמטיקה, לפינות שלכאורה לא קשורות בחיי היומיום. במהלך השנים הבאות, הסט של מנדלברוט יהווה השראה לציורים החדשים ביותר של דיוויד הוקני וליצירות החדשות ביותר של כמה מוזיקאים - יצירות דמויות פוגה בסגנון באך. הוא יופיע בדפי הספרות של ג'ון אפדייק, וינחה כיצד מבקר הספרות יו קנר ניתח את שירתו של עזרא פאונד. זה יהפוך לנושא להזיות פסיכדליות, ולסרט תיעודי פופולרי שסופר על ידי גדול המדע הבדיוני ארתור סי קלארק.

סט מנדלברוט הוא צורה מיוחדת, עם קו מתאר פרקטלי. השתמש במחשב כדי להגדיל את הגבול המשונן של הסט, ותתקל בעמקים של סוסי ים ומצעדים של פילים, גלקסיות ספירליות וחוטים דמויי נוירון. לא משנה כמה עמוק תחקור, תמיד תראה כמעט עותקים של הסט המקורי - מפל אינסופי ומסחרר של דמיון עצמי.

הדמיון העצמי הזה היה מרכיב מרכזי בספרו רב המכר של ג'יימס גלייק תוהו ובוהו, אשר ביסס את מקומו של סט מנדלברוט בתרבות הפופולרית. "זה החזיק יקום של רעיונות", כתב גלייק. "פילוסופיה מודרנית של אמנות, הצדקה לתפקיד החדש של ניסויים במתמטיקה, דרך להביא מערכות מורכבות בפני ציבור גדול."

סט מנדלברוט הפך לסמל. זה ייצג את הצורך בשפה מתמטית חדשה, דרך טובה יותר לתאר את הטבע הפרקטלי של העולם סביבנו. זה המחיש כיצד מורכבות עמוקה יכולה לצוץ מהכללים הפשוטים ביותר - בדומה לחיים עצמם. ("לכן זהו מסר אמיתי של תקווה," ג'ון האברד, אחד המתמטיקאים הראשונים שחקרו את הסט, אמר בסרטון משנת 1989, "שאולי אפשר באמת להבין את הביולוגיה באותה דרך שבה ניתן להבין את התמונות האלה.") בסט מנדלברוט, סדר וכאוס חיו בהרמוניה; ניתן ליישב בין דטרמיניזם ורצון חופשי. מתמטיקאי אחד נזכר כשמעד על הסט כנער וראה בו מטפורה לגבול המסובך בין אמת לשקר.

הסט של מנדלברוט היה בכל מקום, עד שלא היה.

בתוך עשור נראה שהוא נעלם. מתמטיקאים עברו למקצועות אחרים, והציבור עבר לסמלים אחרים. היום, 40 שנה בלבד לאחר גילויו, הפרקטל הפך לקיטש קלישאתי גבולי.

אבל קומץ מתמטיקאים סירבו לשחרר את זה. הם הקדישו את חייהם לחשיפת סודות הסט של מנדלברוט. עכשיו, הם חושבים שהם סוף סוף על סף הבנתו באמת.

הסיפור שלהם הוא סיפור של חקירה, של ניסויים - ושל האופן שבו הטכנולוגיה מעצבת את אופן החשיבה שלנו, ואת השאלות שאנחנו שואלים על העולם.

ציידי ראשים

באוקטובר 2023, 20 מתמטיקאים מרחבי העולם התכנסו בבניין לבנים גוץ במה שהיה פעם בסיס מחקר צבאי דני. הבסיס, שנבנה בסוף המאה ה-1800 באמצע היער, הוחבא על פיורד בחוף הצפון מערבי של האי המאוכלס ביותר בדנמרק. טורפדו ישן שמר על הכניסה. תמונות בשחור-לבן, המתארות קציני חיל הים במדים, סירות מסודרות ברציף וניסויי צוללות בעיצומם, עיטרו את הקירות. במשך שלושה ימים, כשרוח עזה הצליפה את המים מחוץ לחלונות לכיפות לבנות מקציפות, ישבה הקבוצה סדרה של שיחות, רובן של שני מתמטיקאים מאוניברסיטת סטוני ברוק בניו יורק: מישה ליוביץ' ו דימה דודקו.

בקהל הסדנה נכחו כמה מחוקרים הכי נטולי חת של סט מנדלברוט. ליד החזית ישב מיצוהירו שישיקורה מאוניברסיטת קיוטו, שבשנות ה-1990 הוכיחה שהגבול של הסט מורכב ככל שהוא יכול להיות. כמה מושבים מעל היה הירויוקי אינו, שלצד שישיקורה פיתח טכניקות חשובות ללימוד אזור בעל פרופיל גבוה במיוחד של סט מנדלברוט. בשורה האחרונה היה זאב יונג, היוצר של מנדל, תוכנת הבחירה של מתמטיקאים לחקירה אינטראקטיבית של סט מנדלברוט. נכחו גם ארנו צ'ריטאט של אוניברסיטת טולוז, קרסטן פטרסן מאוניברסיטת רוסקילדה (שארגנה את הסדנה), ועוד כמה אחרים שתרמו תרומות חשובות להבנת המתמטיקאים את סט מנדלברוט.

וליד הלוח עמדו ליוביץ', המומחה המוביל בעולם לנושא, ודודקו, אחד ממשתפי הפעולה הקרובים ביותר שלו. ביחד עם המתמטיקאים ג'רמי קאן ו אלכס קאפיאמבה, הם עבדו להוכיח השערה ארוכת שנים לגבי המבנה הגיאומטרי של סט מנדלברוט. ההשערה הזו, המכונה MLC, היא המכשול האחרון במסע הארוך של עשרות שנים לאפיין את הפרקטל, לאלף את השממה הסבוכה שלו.

על ידי בנייה וחידוד של מערכת כלים רבת עוצמה, מתמטיקאים נאבקו בשליטה בגיאומטריה של "כמעט הכל בקבוצת מנדלברוט", אמרו. קרוליין דייוויס מאוניברסיטת אינדיאנה - מלבד כמה מקרים שנותרו. "מישה ודימה וג'רמי ואלכס הם כמו ציידי ראשים, שמנסים לאתר את האחרונים האלה."

ליוביץ' ודודקו היו בדנמרק כדי לעדכן מתמטיקאים אחרים על ההתקדמות האחרונה לקראת הוכחת MLC, והטכניקות שהם פיתחו כדי לעשות זאת. ב-20 השנים האחרונות התכנסו כאן חוקרים לסדנאות המוקדשות לפירוק תוצאות ושיטות בתחום הניתוח המורכב, מחקר מתמטי של סוגי המספרים והפונקציות המשמשים להפקת קבוצת מנדלברוט.

זה היה מבנה יוצא דופן: המתמטיקאים אכלו את כל הארוחות שלהם ביחד, ודיברו וצחקו על בירות עד השעות הקטנות. כשסוף סוף הם החליטו ללכת לישון, הם פרשו למיטות קומותיים או עריסות בחדרים קטנים שחלקו בקומה השנייה של המתקן. (עם הגעתנו, נאמר לנו לתפוס סדינים וציפיות מערימה ולקחת אותם למעלה כדי לסדר את המיטות שלנו.) בשנים מסוימות, מבאי הכנס אומצים לשחות במים הקרים; לעתים קרובות יותר, הם משוטטים ביער. אבל לרוב, אין מה לעשות מלבד מתמטיקה.

בדרך כלל, אמר לי אחד מהמשתתפים, הסדנה מושכת הרבה מתמטיקאים צעירים יותר. אבל זה לא היה המקרה הפעם - אולי בגלל שזה היה באמצע הסמסטר, או, הוא העלה השערות, בגלל מידת הקושי של הנושא. הוא התוודה שבאותו רגע, הוא חש קצת מאוים מהסיכוי לשאת הרצאה מול כל כך הרבה מגדולי התחום.

אבל בהתחשב בכך שרוב המתמטיקאים בתחום הרחב יותר של ניתוח מורכב כבר לא עובדים על סט מנדלברוט ישירות, למה להקדיש סדנה שלמה ל-MLC?

סט מנדלברוט הוא יותר מפרקטל, ולא רק במובן מטפורי. הוא משמש כמעין קטלוג ראשי של מערכות דינמיות - מכל הדרכים השונות שנקודה עשויה לנוע בחלל לפי כלל פשוט. כדי להבין את הקטלוג הראשי הזה, יש לחצות נופים מתמטיים רבים ושונים. קבוצת מנדלברוט קשורה קשר עמוק לא רק לדינמיקה, אלא גם לתורת המספרים, טופולוגיה, גיאומטריה אלגברית, תורת הקבוצות ואפילו פיזיקה. "זה מתקשר עם שאר המתמטיקה בצורה יפה", אמר סביאסאצ'י מוחרג'י של מכון טאטה למחקר יסודי בהודו.

כדי להתקדם ב-MLC, מתמטיקאים נאלצו לפתח סט מתוחכם של טכניקות - מה שצ'ריטאט מכנה "פילוסופיה רבת עוצמה". כלים אלה זכו לתשומת לב רבה. כיום, הם מהווים נדבך מרכזי בחקר מערכות דינמיות באופן רחב יותר. התברר שהם חיוניים לפתרון שורה של בעיות אחרות - בעיות שאין להן שום קשר לסט מנדלברוט. והם הפכו את MLC משאלת נישה לאחת ההשערות הפתוחות העמוקות והחשובות ביותר בתחום.

ליוביץ', המתמטיקאי האחראי ביותר ליצירת "פילוסופיה" זו לצורתה הנוכחית, עומד גבוה וישר, ומדבר בשקט. כאשר מתמטיקאים אחרים בסדנה ניגשים אליו כדי לדון במושג או לשאול שאלה, הוא עוצם את עיניו ומקשיב בתשומת לב, גבותיו העבות מכווצות. הוא עונה בזהירות, במבטא רוסי.

אבל הוא גם ממהר לפרוץ בצחוק רועש וחם, ולעשות בדיחות מטומטמות. הוא נדיב בזמנו ובעצותיו. הוא "באמת טיפח לא מעט דורות של מתמטיקאים", אמר Mukherjee, אחד מהפוסט-דוקטורנטים לשעבר של ליוביץ' ומשתף פעולה תדיר. כפי שהוא מספר זאת, כל מי שמתעניין בחקר דינמיקה מורכבת מבלה זמן מה בסטוני ברוק ולומד מליוביץ'. "למישה יש את החזון הזה של איך אנחנו צריכים ללכת על פרויקט מסוים, או על מה להסתכל על הבא," אמר Mukherjee. "יש לו בראש התמונה הגדולה הזו. והוא שמח לחלוק את זה עם אנשים".

בפעם הראשונה, ליוביץ' מרגיש שהוא מסוגל לראות את התמונה הגדולה הזו במלואה.

לוחמי הפרס

הסט של מנדלברוט התחיל בפרס.

בשנת 1915, מונעת מההתקדמות האחרונה בחקר הפונקציות, הכריזה האקדמיה הצרפתית למדעים על תחרות: בעוד שלוש שנים, היא תציע פרס גדול של 3,000 פרנק עבור עבודה על תהליך האיטרציה - התהליך עצמו מאוחר יותר ליצור את סט מנדלברוט.

איטרציה היא יישום חוזר של כלל. חבר מספר לפונקציה, ולאחר מכן השתמש בפלט כקלט הבא שלך. המשיכו לעשות זאת, ותראו מה קורה לאורך זמן. ככל שאתה ממשיך לחזור על הפונקציה שלך, המספרים שאתה מקבל עשויים לעלות במהירות לעבר אינסוף. או שהם עשויים להימשך לכיוון מספר אחד במיוחד, כמו סיבי ברזל הנעים לעבר מגנט. או בסופו של דבר מקפצים בין אותם שני מספרים, או שלושה, או אלף, במסלול יציב שממנו הם לעולם לא יוכלו לברוח. או לקפוץ ממספר אחד למשנהו בלי חריזה או סיבה, במסלול כאוטי ובלתי צפוי.

לאקדמיה הצרפתית, ולמתמטיקאים באופן רחב יותר, הייתה סיבה נוספת להתעניין באיטרציה. לתהליך היה תפקיד חשוב בחקר מערכות דינמיות - מערכות כמו סיבוב של כוכבי לכת סביב השמש או זרימת זרם סוער, מערכות המשתנות עם הזמן בהתאם למערכת כללים מוגדרת.

הפרס נתן השראה לשני מתמטיקאים לפתח תחום מחקר חדש לגמרי.

ראשון היה פייר פאטו, שבחיים אחרים אולי היה איש חיל הים (מסורת משפחתית), אלמלא בריאותו הירודה. במקום זאת הוא המשיך בקריירה במתמטיקה ובאסטרונומיה, וב-1915 הוא כבר הוכיח כמה תוצאות חשובות בניתוח. ואז היה גסטון ג'וליה, מתמטיקאי צעיר ומבטיח יליד אלג'יריה הכבושה בצרפת, שלימודיו נקטעו בגלל מלחמת העולם הראשונה וגיוסו לצבא הצרפתי. בגיל 22, לאחר שסבל מפציעה קשה זמן קצר לאחר תחילת שירותו - הוא היה עונד רצועת עור על פניו למשך שארית חייו, לאחר שהרופאים לא הצליחו לתקן את הנזק - הוא חזר למתמטיקה, עשה חלק מה העבודה שהוא יגיש לפרס האקדמיה ממיטת בית חולים.

הפרס הניע גם את פאטו וגם את ג'וליה ללמוד מה קורה כשאתה חוזר על פונקציות. הם עבדו באופן עצמאי, אבל בסופו של דבר גילו תגליות דומות מאוד. הייתה כל כך הרבה חפיפה בתוצאות שלהם, שגם עכשיו, לא תמיד ברור איך להקצות קרדיט. (ג'וליה הייתה יוצאת יותר, ולכן זכתה ליותר תשומת לב. בסופו של דבר הוא זכה בפרס; פאטו אפילו לא הגיש מועמדות.) בשל עבודה זו, השניים נחשבים כיום למייסדי תחום הדינמיקה המורכבת.

"מורכב", מכיוון שפאטו וג'וליה חזרו על פונקציות של מספרים מרוכבים - מספרים המשלבים מספר ממשי מוכר עם מה שנקרא מספר דמיוני (כפולה של i, הסמל שבו משתמשים מתמטיקאים לציון השורש הריבועי של −1). בעוד מספרים אמיתיים יכולים להיות מונחים כנקודות על קו, מספרים מרוכבים מוצגים כנקודות על מישור, כך:

פאטו וג'וליה גילו שאיטרציה אפילו של פונקציות מורכבות פשוטות (לא פרדוקס בתחום המתמטיקה!) עשויה להוביל להתנהגות עשירה ומסובכת, בהתאם לנקודת המוצא שלכם. הם החלו לתעד את ההתנהגויות הללו, ולייצג אותן גיאומטרי.

אבל אז עבודתם דעכה לאפלולית במשך חצי מאה. "אנשים אפילו לא ידעו מה לחפש. הם היו מוגבלים באילו שאלות אפילו לשאול", אמר ארתור אווילה, פרופסור באוניברסיטת ציריך.

זה השתנה כשהגרפיקה הממוחשבת התבגרה בשנות ה-1970.

עד אז, המתמטיקאי בנואה מנדלברוט צבר מוניטין של דילטנט אקדמי. הוא התעסק בתחומים רבים ושונים, מכלכלה ועד אסטרונומיה, והכל בזמן שעבד במרכז המחקר של יבמ מצפון לעיר ניו יורק. כאשר מונה לעמית IBM ב-1974, היה לו אפילו יותר חופש להמשיך בפרויקטים עצמאיים. הוא החליט ליישם את כוח המחשוב הניכר של המרכז כדי להוציא דינמיקה מורכבת מתרדמת החורף.

בהתחלה, מנדלברוט השתמש במחשבים כדי ליצור את סוגי הצורות שפאטו וג'וליה למדו. התמונות קודדו מידע על מתי נקודת התחלה, כאשר היא חוזרת, תברח עד אינסוף, ומתי היא תיכנס לתבנית אחרת כלשהי. הרישומים של פאטו וג'וליה מ-60 שנה קודם לכן נראו כמו אשכולות של עיגולים ומשולשים - אבל התמונות שנוצרו על ידי מחשב שמנדלברוט יצר נראו כמו דרקונים ופרפרים, ארנבות וקתדרלות וראשי כרובית, לפעמים אפילו ענני אבק מנותקים. אז, מנדלברוט כבר טבע את המילה "פרקטל" לצורות שנראו דומות בקנה מידה שונה; המילה עוררה את הרעיון של סוג חדש של גיאומטריה - משהו מקוטע, שבר או שבור.

התמונות שהופיעו על מסך המחשב שלו - המכונה היום סטים של ג'וליה - היו כמה מהדוגמאות היפות והמסובכות ביותר של פרקטלים שמנדלברוט ראה אי פעם.

עבודתם של פאטו וג'וליה התמקדה בגיאומטריה ובדינמיקה של כל אחת מהקבוצות הללו (והפונקציות המתאימות שלהן) בנפרד. אבל המחשבים נתנו למנדלברוט דרך לחשוב על משפחה שלמה של פונקציות בבת אחת. הוא יכול היה לקודד את כולם בתמונה שתתחיל לשאת את שמו, אם כי נותר עניין של ויכוח אם הוא היה הראשון שגילה זאת.

סט מנדלברוט עוסק במשוואות הפשוטות ביותר שעדיין עושות משהו מעניין כשהן חוזרות עליהן. אלו הן פונקציות ריבועיות של הצורה f(z) = z² + c. תקן ערך של c - זה יכול להיות כל מספר מרוכב. אם אתה חוזר על המשוואה שמתחילה ב z = 0 ומצא שהמספרים שאתה יוצר נשארים קטנים (או מוגבלים, כפי שאומרים מתמטיקאים), ואז c נמצא בסט מנדלברוט. אם, לעומת זאת, אתה חוזר על עצמו ומגלה שבסופו של דבר המספרים שלך מתחילים לצמוח לקראת אינסוף, אז c אינו בסט מנדלברוט.

זה פשוט להראות שערכים של c קרוב לאפס נמצאים בסט. ובדומה לכך פשוט להראות את הערכים הגדולים של c אינם. אבל מספרים מרוכבים עומדים בשמם: הגבול של הסט מורכב להפליא. אין סיבה ברורה לשינוי c בכמויות זעירות אמור לגרום לך להמשיך לחצות את הגבול, אבל כשאתה מתקרב אליו, מופיעות כמויות אינסופיות של פרטים.

יתרה מכך, סט מנדלברוט פועל כמו מפה של סטים של יוליה, כפי שניתן לראות באיור האינטראקטיבי למטה. בחר ערך של c בסט מנדלברוט. סט ג'וליה המקביל יחובר. אבל אם אתה עוזב את סט מנדלברוט, אז סט ג'וליה המקביל יהיה אבק מנותק.