היסטוריה קצרה של ריצוף מתמטי מסובך | מגזין קוונטה

כל יום אנו רואים דוגמאות של מוטיבים חוזרים. סימטריה וקביעות זו יכולה להיראות ארצית וכמעט בלתי נראית, כמו עם לבנים על קירות בניין או תבנית משושה בחלת דבש. או אם יתמזל מזלנו להיתקל במשהו כמו עבודת האריחים האלגנטית באלהמברה הספרדית או הרישומים היצירתיים של MC Escher, הדפוסים יכולים לעורר ולהדהים אותנו.

במשך מאות שנים, מתמטיקאים שיחקו בצורות החוזרות הללו, שולפים מהן תובנות מרתקות ואפשרויות חדשות. היופי של המתמטיקה מתחרה ביפי העיצובים עצמם.

הריצופים הפשוטים ביותר עשויים ממצולעים זהים עם צלעות באורך שווה וזוויות בגודל שווה המחוברות בין קצה מלא לקצה מלא. אבל למרות שיש אינסוף הרבה מהמצולעים ה"רגילים" האלה - אחד לכל מספר צלעות - יש רק שלושה ריצוף רגילים, שנוצרו מצורות עם שלוש, ארבע או שש צלעות - כלומר, משולשים, ריבועים ומשושים.

הצורות האחרות פשוט לא בנויות לזה. מחומש רגיל (עם חמש צלעות) יש זווית פנימית של 108 מעלות. זה לא מתחלק באופן שווה ל-360 מעלות, כך שכל ניסיון להרכיב מחומשים רגילים לריצוף עלול לייצר פערים שלא ניתן למלא; אנחנו אומרים שהפנטגון הרגיל לא יכול לרצף את המטוס. ולמצולעים רגילים עם יותר משש צלעות יש זוויות פנימיות גדולות מכדי ששלושה יוכלו להיפגש בנקודה אחת, ולכן גם הם לא יכולים.

תפיסה נוספת של ריצוף עם מצולעים רגילים מגיעה מיוהנס קפלר, הידוע היום בעיקר בזכות תגליותיו על תנועה פלנטרית. בשנת 1619, הוא הראה שגם אם אתה משתמש ביותר ממצולע רגיל אחד, אתה יכול ליצור רק שמונה תבניות ריצוף חדשות שבהן התצורה סביב כל קודקוד זהה. (אם יורשה לנו לחרוג מהמגבלה זו, יש עוד אפשרויות.)

כאשר אנו מאפשרים מצולעים לא סדירים, הדברים נעשים מעניינים יותר. באופן מפתיע, כל משולש יכול לרצף את המטוס, ועוד יותר מפתיע, כך גם כל מרובע.

מצד שני, אי אפשר לרצף את המטוס עם כל מצולע קמור של יותר משש צלעות; סכום הזוויות הפנימיות פשוט גדול מדי. אז זה משאיר רק מחומשים ומשושים כאפשרויות שנותרו.

בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1918, קרל ריינהרדט הוכיח שאפשר לרצף את המטוס עם אינסוף משושים קמורים - אלה ללא חריצים - שאותם קיבץ לשלוש משפחות.

מחומשים קמורים שמרצפים את המטוס היו מסובכים יותר לסיווג. ריינהרדט גילה חמש משפחות של מחומשים כאלה; 50 שנה מאוחר יותר, ריצ'רד קרשנר מצא שלושה נוספים. ואז בשנת 1975, מרטין גרדנר כתב על הבעיה עבור סיינטיפיק אמריקן, מביא אותו לידיעת מתמטיקאים מקצועיים וחובבים כאחד. חובב אחד כזה, מתכנת מחשבים בשם ריצ'רד ג'יימס השלישי, שלח לגרדנר דוגמה למשפחה תשיעית, ושאל: "האם אתה מסכים שקרשנר פספס את זה?" היה לו.

גם מרג'ורי רייס, עקרת בית, קראה את הטור של גרדנר והחלה להתלבט בבעיה ליד שולחן המטבח שלה. היא התעסקה יותר משנתיים וגילתה עוד ארבע משפחות של ריצוף מחומשים.

חוקרים מצאו משפחה 14 של מחומשים מרצפים ב-1985, ושלושה עשורים לאחר מכן, צוות אחר מצא משפחה 15 באמצעות חיפוש מחשב. איש לא ידע אם התגלית הזו משלימה את הרשימה, או אם ישנן משפחות נוספות שעדיין מסתתרות. השאלה הזו נענתה בשנת 2017 כאשר מייקל ראו הוכיח שנמצאו כל מחומשי האריחים הקמורים - ואיתם כל מצולעי האריחים הקמורים.

כל הריצוף האלה חוזרים על עצמם. כלומר, יש להם סימטריה מחזורית, שמשמעותה בעצם שאם היינו עוקבים אחר הריצוף על פיסת נייר ומחליקים את הנייר לכיוונים מסוימים, הוא היה מתיישר בדיוק עם הריצוף שוב.

אפשר גם סוגים אחרים של סימטריות. לדוגמה, סימטרית מראה מרמזת שהדפוסים שלנו יסתדרו אם נהפוך את נייר המעקב שלנו הפוך על קו קבוע. סימטריה סיבובית פירושה שהם יעמדו בשורה אם נסובב את הנייר שלנו. ואנחנו יכולים לשלב פעולות כדי להשיג סימטריה של השתקפות גלישה, שהיא כמו החלקה של הנייר ואז הפיכתו.

בשנת 1891, הקריסטלוגרף הרוסי Evgraf Fedorov הוכיח שיש רק 17 דרכים שבהן ניתן לשלב את הסימטריות הללו. מכיוון שהגבלה זו חלה על כל העיטורים התקופתיים של המטוס, אלה מכונים באופן נרחב כ-17 "קבוצות הטפטים".

ברגע שמכירים את הסיווג הזה של דפוסי סימטריה, כמעט בלתי אפשרי לראות עיצוב תקופתי, מורכב ככל שיהיה, ולא לראות בו חידה לפענוח: היכן ואיך, בדיוק, זה חוזר על עצמו? איפה הסימטריות האלה?

כמובן, לא כל עיצוב ריצוף הוא תקופתי. אפשר, ולרוב קל, למקם אריחים במישור כך שהעיצוב המתקבל לעולם לא יחזור על עצמו. בדוגמה שלנו עם משושים, ריבועים ומשולשים, אתה יכול לעשות זאת על ידי סיבוב של משושה בודד והמצולעים המקיפים אותו ב-30 מעלות. לריצוף המתקבל אין עוד סימטריות תרגום.

בשנת 1961, הלוגיקן האו וואנג שיער שאם קבוצה של צורות מרצפת את המטוס, אז הצורות חייבות להיות מסוגלות לרצף את המטוס מעת לעת. רק כמה שנים מאוחר יותר, תלמידו לתואר שני רוברט ברגר הוכיח שהוא טועה בכך שגילה מערך עצום של למעלה מ-20,000 אריחים המרצפים את המטוס, אך רק באופן לא תקופתי. ערכות אריחים כאלה נקראות א-מחזוריות.

למרות שברגר ואחרים הצליחו להקטין את הגודל של קבוצות א-מחזוריות אלה באופן משמעותי, באמצע שנות ה-1970 רוג'ר פנרוז לכד את תשומת הלב של העולם על ידי גילוי קבוצות קטנות מאוד של אריחים א-מחזוריים משלו. הסטים הקטנים ביותר דורשים רק שני אריחים.

צורות ודפוסים אלה ריתקו מתמטיקאים, מדענים והציבור הרחב. אבל הם העלו שאלה הבאה ברורה: האם יש אריח א-מחזורי אחד? המסע האולטימטיבי של תורת הריצוף היה כעת למצוא אריח "איינשטיין" כזה - שנקרא לא על שם הפיזיקאי, אלא על שם הביטוי הגרמני "אבן אחת".

בשנת 2010, ג'ושוע סוקולר וג'ואן טיילור התקרבו מאוד לגילוי איינשטיין. הבעיה בגישה שלהם הייתה ש היה צורך לנתק את האריח שלהם; זה יהיה כמו ריצוף המטוס בצורות כמו מדינת הוואי, ישות אחת המורכבת מאזורים נפרדים, ולא עם צורות מחוברות כמו קליפורניה. יותר ויותר, מתמטיקאים חשדו שאם איינשטיין אכן קיים, זה יצטרך להיות משהו מאוד מסובך מבחינה גיאומטרית.

במרץ 2023, חובבן זעזע את העולם שוב. טכנאי דפוס בדימוס וחובב מתמטי בשם דיוויד סמית' גילה לא רק מונוטיל א-מחזורי אחד, אלא משפחה אינסופית של איינשטיין החמקמקים האלה. הוא חיבב את קרייג קפלן, חיים גודמן-שטראוס וג'וזף סמואל מאיירס - מומחים במדעי המחשב, מתמטיקה ותורת הריצוף - ויחד הם הציגו איינשטיין פשוט גיאומטרי בשם אריח הכובע (שהאינטרנט חשב שנראה כמו חולצת טריקו ).

התגובה הייתה מהירה וחיובית. המגלים דיברו בכנסים ונשאו הרצאות באינטרנט. אמנים מתמטיים זינקו על ההזדמנות למצוא דרכים יצירתיות לייצר עיצובים דמויי Escher המבוססים על האריחים החדשים המעניינים מבחינה גיאומטרית. אריח הכובע אפילו הופיע במונולוג של תוכנית טלוויזיה אחת בשעת לילה מאוחרת.

אבל עדיין היה מקום לשיפור. כדי לרצף את המטוס עם הכובע, עליך להפוך כשביעית מהאריחים על הפוך. בעל בית שרוצה לרצף את חדר האמבטיה שלו באריח הכובע יצטרך לקנות שני סוגי אריחים: אריח סטנדרטי ותמונת המראה שלו. האם זה באמת היה נחוץ?

עוד לפני שההתרגשות של אריח הכובע דעכה, הצוות פרסם הודעה נוספת. סמית' מצא, במשפחה האינסופית של מונוטילים א-מחזוריים, כזה שהוא כינה "ספקטר" שיכול לרצף את המטוס מבלי לדרוש עותקים משתקפים. סוף סוף הופיע איינשטיין אמיתי.

אנו נמצאים כעת בעיצומה של התעוררות מחודשת בחקירה המתמטית של ריצוף ותשלשות. הוא הסתמך על תרומות חשובות של חובבים, העניק השראה ליצירתיות של אמנים מתמטיים, ורתם את כוחם של המחשבים כדי לדחוף את גבולות הידע קדימה. ומתוך כך, השגנו תובנות חדשות לגבי אופי הסימטריה, הגיאומטריה והעיצוב.

תיקון: אוקטובר 30, 2023
הגרסה המקורית של מאמר זה קבעה שאי אפשר לרצף את המטוס עם כל מצולע של יותר משש צלעות. זה נכון רק אם המצולע קמור.

Quanta עורכת סדרה של סקרים כדי לשרת טוב יותר את הקהל שלנו. קח את שלנו סקר קוראי מתמטיקה ותוכלו לזכות בחינם Quanta סחורה.