מישל טלגרנד זוכה בפרס הבל על אקראיות של ריבית עבודה | מגזין קוונטה

תהליכים אקראיים מתרחשים מסביבנו. יורד גשם יום אחד אבל לא למחרת; מניות ואיגרות חוב עולות ומאבדות מערכן; פקקי תנועה מתלכדים ונעלמים. מכיוון שהם נשלטים על ידי גורמים רבים המקיימים אינטראקציה זה עם זה בדרכים מסובכות, אי אפשר לחזות את ההתנהגות המדויקת של מערכות כאלה. במקום זאת, אנו חושבים עליהם במונחים של הסתברויות, מאפיינים את התוצאות כסבירות או נדירות.

היום, תיאורטיקן ההסתברות הצרפתי מישל טלאגרנד זכה בפרס הבל, אחד מהכבודים הגבוהים ביותר במתמטיקה, על פיתוח הבנה עמוקה ומתוחכמת של תהליכים כאלה. הפרס, המוענק על ידי מלך נורבגיה, מעוצב על פי נובל ומגיע עם 7.5 מיליון קרונות נורבגיות (כ-700,000 דולר). כשאמרו לו שהוא זכה, "המוח שלי התרוקן", אמר טלגרנד. "סוג המתמטיקה שאני עושה לא היה אופנתי בכלל כשהתחלתי. זה נחשב למתמטיקה נחותה. העובדה שקיבלתי את הפרס הזה היא הוכחה מוחלטת שזה לא המקרה".

מתמטיקאים אחרים מסכימים. עבודתו של טלגרנד "שינתה את הדרך שבה אני רואה את העולם", אמר אסף נאור מאוניברסיטת פרינסטון. היום, הוסיף הלג הולדן, יו"ר ועדת פרס הבל, "זה הופך להיות פופולרי מאוד לתאר ולדגמן אירועים בעולם האמיתי על ידי תהליכים אקראיים. ארגז הכלים של טלגרנד עולה מיד".

טלגרנד רואה בחייו שלו שרשרת של אירועים בלתי סבירים. הוא בקושי עבר את בית הספר היסודי בליון: למרות שהוא התעניין במדעים, הוא לא אהב ללמוד. כשהיה בן 5, הוא איבד את הראייה בעינו הימנית לאחר ניתוק הרשתית; בגיל 15, הוא סבל משלושה הפרדות רשתית בעינו השנייה, מה שאילץ אותו לבלות חודש בבית החולים, עיניים חבושות, מחשש שיתעוור. אביו, פרופסור למתמטיקה, ביקר אותו מדי יום, והעסיק את מוחו בכך שלימד אותו מתמטיקה. "כך למדתי את כוחה של ההפשטה", טלגאנד כתב 2019 לאחר הזכייה בפרס שו, פרס חשוב נוסף במתמטיקה שמגיע עם פרס של 1.2 מיליון דולר. (טלגרנד משתמש בחלק מהכסף הזה, יחד עם זכיותיו בהבל, כדי לייסד פרס משלו, "הכרה בהישגיהם של חוקרים צעירים בתחומים אליהם הקדשתי את חיי").

הוא החמיץ חצי שנת לימודים בזמן שהחלים, אבל קיבל השראה להתחיל להתמקד בלימודיו. הוא הצטיין במתמטיקה, ולאחר שסיים את לימודיו בקולג' ב-1974, הוא התקבל לעבודה על ידי המרכז הלאומי הצרפתי למחקר מדעי, מכון המחקר הגדול באירופה, שבו עבד עד פרישתו ב-2017. במהלך תקופה זו השיג את הדוקטורט שלו; התאהב במבט ראשון באשתו לעתיד, סטטיסטית (הוא הציע לה נישואין שלושה ימים לאחר שפגש אותה); ופיתח בהדרגה עניין בהסתברות, ופרסם מאות מאמרים בנושא.

זה לא נקבע מראש. טלגרנד החל את הקריירה שלו בחקר חללים גיאומטריים בממדים גבוהים. "במשך 10 שנים לא גיליתי במה אני טוב", אמר. אבל הוא לא מתחרט על המעקף הזה. זה הוביל אותו בסופו של דבר לתורת ההסתברות, שבה "היתה לי נקודת מבט אחרת... שנתנה לי דרך להסתכל על דברים אחרת", אמר. זה אפשר לו לבחון תהליכים אקראיים דרך עדשת הגיאומטריה הממדית הגבוהה.

"הוא מביא את האינטואיציה הגאומטרית שלו כדי לפתור שאלות הסתברותיות גרידא", אמרה נאור.

תהליך אקראי הוא אוסף של אירועים שתוצאותיהם משתנות בהתאם למקריות באופן שניתן לעצב - כמו רצף של הטלות מטבעות, או מסלולי אטומים בגז, או סכומי גשמים יומיים. מתמטיקאים רוצים להבין את הקשר בין תוצאות אינדיבידואליות והתנהגות מצטברת. כמה פעמים אתה צריך להפיל מטבע כדי להבין אם זה הוגן? האם נהר יעלה על גדותיו?

טלגרנד התמקד בתהליכים שתוצאותיהם מופצות לפי עקומה בצורת פעמון הנקראת גאוס. התפלגויות כאלה שכיחות בטבען ובעלות מספר תכונות מתמטיות רצויות. הוא רצה לדעת מה ניתן לומר בוודאות על תוצאות קיצוניות במצבים אלו. אז הוא הוכיח קבוצה של אי-שוויון שהציבה גבולות עליון ותחתון הדוקים על תוצאות אפשריות. "להשיג אי שוויון טוב זו יצירת אמנות", אמר הולדן. האמנות הזו שימושית: השיטות של טלאגרנד יכולות לתת אומדן אופטימלי של, נניח, הרמה הגבוהה ביותר אליה עלול נהר לעלות בעשר השנים הבאות, או את עוצמת רעידת האדמה הפוטנציאלית החזקה ביותר.

כאשר אנו מתמודדים עם נתונים מורכבים, בעלי מימדים גבוהים, מציאת ערכים מקסימליים כאלה יכולה להיות קשה.

נניח שאתה רוצה להעריך את הסיכון להצפה בנהר - שתלוי בגורמים כמו גשמים, רוח וטמפרטורה. אתה יכול לדגמן את גובה הנהר כתהליך אקראי. טלגרנד השקיע 15 שנים בפיתוח טכניקה שנקראת שרשור גנרי שאפשרה לו ליצור מרחב גיאומטרי בעל מימד גבוה הקשור לתהליך אקראי שכזה. השיטה שלו "נותנת לך דרך לקרוא את המקסימום מהגיאומטריה", אמרה נאור.

הטכניקה היא מאוד כללית ולכן ישימה באופן נרחב. נניח שברצונך לנתח מערך נתונים מסיבי, בעל מימד גבוה, שתלוי באלפי פרמטרים. כדי להסיק מסקנה משמעותית, אתה רוצה לשמר את המאפיינים החשובים ביותר של מערך הנתונים תוך אפיון שלו במונחים של כמה פרמטרים בלבד. (לדוגמה, זוהי אחת הדרכים לנתח ולהשוות את המבנים המסובכים של חלבונים שונים.) שיטות מתקדמות רבות משיגות פישוט זה על ידי יישום פעולה אקראית הממפה את הנתונים הממדים הגבוהים למרחב בעל מימד נמוך יותר. . מתמטיקאים יכולים להשתמש בשיטת השרשור הגנרית של Talagrand כדי לקבוע את כמות השגיאות המקסימלית שתהליך זה מציג - מה שמאפשר להם לקבוע את הסיכויים שתכונה חשובה כלשהי לא נשמרת במערך הנתונים הפשוט.

עבודתו של טלגרנד לא הייתה מוגבלת רק לניתוח התוצאות הטובות והגרועות ביותר האפשריות של תהליך אקראי. הוא גם למד מה קורה במקרה הממוצע.

בתהליכים רבים, אירועים בודדים אקראיים יכולים, במצטבר, להוביל לתוצאות דטרמיניסטיות ביותר. אם המדידות אינן תלויות, אז הסכומים הופכים להיות מאוד צפויים, גם אם כל אירוע אינדיבידואלי בלתי אפשרי לחזות. למשל, הפיל מטבע הוגן. אתה לא יכול להגיד שום דבר מראש על מה שיקרה. הפוך אותו 10 פעמים, ותקבל ארבעה, חמישה או שישה ראשים - קרוב לערך הצפוי של חמישה ראשים - בערך 66% מהמקרים. אבל תעיפו את המטבע 1,000 פעמים, ותקבלו בין 450 ל-550 ראשים ב-99.7% מהזמן, תוצאה שמרוכזת עוד יותר סביב הערך הצפוי של 500. "זה חד במיוחד סביב הממוצע", ​​אמר הולדן.

"למרות שיש למשהו כל כך הרבה אקראיות, האקראיות מבטלת את עצמה", אמרה נאור. "מה שנראה בהתחלה כמו בלגן נוראי הוא למעשה מאורגן".

תופעה זו, המכונה ריכוז מידה, מתרחשת גם בתהליכים אקראיים הרבה יותר מסובכים. טלגראנד המציא אוסף של אי-שוויון שמאפשר לכמת את הריכוז הזה, והוכיח שהוא מתעורר בהקשרים רבים ושונים. הטכניקות שלו סימנו סטייה מעבודות קודמות באזור. הוכחת אי השוויון הראשון שכזה, כתב במאמרו ב-2019, הייתה "חוויה קסומה". הוא היה "במצב של התרוממות רוח מתמדת".

הוא גאה במיוחד באחד מאי השוויון שלו בריכוז. "זה לא קל להשיג תוצאה שמנסה לחשוב על היקום ובו בזמן יש לה הוכחה של עמוד אחד שקל להסביר", אמר. (הוא נזכר בשמחה שהוא השתמש פעם בשירות מוניות שבעליו זיהה את שמו, לאחר שלמד את אי השוויון במהלך שיעור הסתברות בבית ספר למנהל עסקים. "זה היה יוצא דופן", אמר).

כמו שיטת השרשור הגנרית שלו, אי-השוויון בריכוז של טלגרנד מופיעים בכל רחבי המתמטיקה. "מדהים כמה רחוק זה מגיע", אמרה נאור. "אי השוויון בטלגרנד הם הברגים שמחזיקים דברים ביחד."

שקול בעיית אופטימיזציה שבה אתה צריך למיין פריטים בגדלים שונים לתוך פחים - מודל של הקצאת משאבים. כאשר יש לך הרבה פריטים, קשה מאוד להבין את המספר הקטן ביותר של פחים שתצטרך. אבל אי השוויון של טלגרנד יכול להגיד לך כמה פחים אתה צפוי להזדקק אם הגדלים של הפריטים הם אקראיים.

נעשה שימוש בשיטות דומות להוכחת תופעות ריכוז בקומבינטוריקה, בפיזיקה, במדעי המחשב, בסטטיסטיקה ובמסגרות אחרות.

לאחרונה, טלאגרנד יישם את הבנתו של תהליכים אקראיים כדי להוכיח השערה חשובה לגבי משקפי ספין, חומרים מגנטיים לא מסודרים שנוצרו על ידי אינטראקציות אקראיות, לעתים קרובות סותרות. טלגרנד היה מתוסכל מכך שלמרות שמשקפי ספין מוגדרים היטב מבחינה מתמטית, הפיזיקאים הבינו אותם טוב יותר מאשר מתמטיקאים. "זה היה קוץ ברגל שלנו", אמר. הוא הוכיח תוצאה - על מה שמכונה האנרגיה החופשית של כוסות ספין - שהעניקה בסיס לתיאוריה מתמטית יותר.

לאורך הקריירה שלו, המחקר של טלגרנד סומן על ידי "היכולת הזו פשוט לצעוד אחורה ולמצוא את העקרונות הכלליים הניתנים לשימוש חוזר בכל מקום", אמרה נאור. "הוא חוזר ומבקר וחושב על משהו מכל מיני נקודות מבט. ובסופו של דבר הוא מוציא תובנה שהופכת לסוס עבודה, שכולם משתמשים בה".

"אני אוהב להבין דברים פשוטים היטב, כי המוח שלי איטי מאוד", אמר טלגרנד. "אז אני חושב עליהם הרבה מאוד זמן." הוא מונע, לדבריו, מהרצון "להבין משהו לעומק, בצורה טהורה, מה שמקל בהרבה על התיאוריה. ואז הדור הבא יוכל להתחיל משם ולהתקדם בתנאים שלו".

במהלך העשור האחרון, הוא השיג זאת על ידי כתיבת ספרי לימוד - לא רק על תהליכים אקראיים ומשקפי ספין, אלא גם על תחום שהוא לא עובד בו בכלל, תורת השדות הקוונטיים. הוא רצה ללמוד על זה, אבל הבין שכל ספרי הלימוד שהוא יכול למצוא נכתבו על ידי ועבור פיזיקאים, לא מתמטיקאים. אז הוא כתב אחד בעצמו. "אחרי שאתה כבר לא יכול להמציא דברים, אתה יכול להסביר אותם", אמר.