ההסתברות ותורת המספרים מתנגשות - ברגע אחד

השאיפות שלהם תמיד היו גבוהות. כאשר וויל סוין ומלאני מאצ'ט ווד החלו לעבוד יחד לראשונה בקיץ 2020, הם יצאו לחשוב מחדש על מרכיבי המפתח של כמה מההשערות המפתות ביותר בתורת המספרים. נושאי תשומת הלב שלהם, קבוצות כיתות, קשורים קשר הדוק לשאלות בסיסיות לגבי אופן פעולת החשבון כאשר מספרים מורחבים מעבר למספרים השלמים. סוין, באוניברסיטת קולומביה, ו עץ, בהרווארד, רצה לעשות תחזיות לגבי מבנים שהם אפילו יותר כלליים ומאיימים מבחינה מתמטית מקבוצת הכיתה.

עוד לפני שסיימו לגבש את התחזיות שלהם, באוקטובר הם הוכיחו א תוצאה חדשה שמאפשר למתמטיקאים ליישם את אחד הכלים השימושיים ביותר של תורת ההסתברות לא רק על קבוצות כיתות, אלא גם על אוספים של מספרים, רשתות ואובייקטים מתמטיים רבים אחרים.

"זה רק הולך להיות המאמר הבסיסי שכולם פונים אליו כשהם מתחילים לחשוב על הבעיות האלה", אמר דיוויד זוריק-בראון, מתמטיקאי באוניברסיטת אמורי. "זה לא מרגיש שאתה צריך להמציא דברים מאפס יותר."

חוק ייצוגי

קבוצת כיתות היא דוגמה לקבוצה מתמטית מובנית הנקראת קבוצה. קבוצות כוללות קבוצות מוכרות רבות, כמו המספרים השלמים. מה שהופך את המספרים השלמים לקבוצה, ולא רק קבוצה של מספרים, הוא שאתה יכול לחבר את האלמנטים שלה יחד ולקבל מספר שלם נוסף. באופן כללי, קבוצה היא קבוצה אם היא מגיעה עם איזושהי פעולה שכמו הוספה משלבת שני אלמנטים לאלמנט שלישי באופן שעונה על כמה דרישות בסיסיות. לדוגמה, צריכה להיות גרסה של אפס, אלמנט שלא משנה אף אחד מהאחרים.

המספרים השלמים, שמתמטיקאים בדרך כלל קוראים להם $latex mathbb{Z}$, הם אינסופיים. אבל להרבה קבוצות יש מספר סופי של אלמנטים. לדוגמה, כדי ליצור קבוצה שיש לה ארבעה אלמנטים, שקול את הסט {0, 1, 2, 3}. במקום לבצע חיבור רגיל, חלקו את הסכום של שני מספרים כלשהם ב-4 וקחו את השאר. (לפי כללים אלה, 2 + 2 = 0, ו-2 + 3 = 1.) קבוצה זו נקראת $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

באופן כללי, אם אתה רוצה ליצור קבוצה עם אלמנטים של $latex n$, אתה יכול להעביר את המספרים אפס n – 1 ושקול את השאר כאשר מחלקים ב n. הקבוצה המתקבלת נקראת $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, אם כי זו לא תמיד הקבוצה היחידה עם n אלמנטים.

קבוצת הכיתה מופיעה כאשר תורת המספרים חוקרים את מבנה המספרים מעבר למספרים השלמים. לשם כך, הם מוסיפים מספרים חדשים למספרים השלמים, כגון i (השורש הריבועי של −1), $latex sqrt{5}$, או אפילו $latex sqrt{–5}$.

"דברים שהתרגלנו אליהם לגבי מספרים כבר לא נכונים בהקשר הזה. או לפחות, הם לא בהכרח נכונים", אמר ירדן אלנברג, מתמטיקאי באוניברסיטת ויסקונסין, מדיסון.

באופן ספציפי, הפקטורינג עובד אחרת בהרחבות של המספרים השלמים. אם תיצמדו למספרים השלמים בלבד, ניתן לחלק מספרים לראשוניים (מספרים שניתן לחלק רק בעצמם וב-1) בדרך אחת בלבד. לדוגמה, 6 הוא 2 × 3, ולא ניתן להכניס אותו למספרים ראשוניים אחרים. תכונה זו נקראת פירוק ייחודי.

אבל אם אתה מוסיף $latex sqrt{–5}$ למערכת המספרים שלך, אין לך יותר פירוק ייחודי לגורמים. אתה יכול לחלק 6 לראשוניים בשתי דרכים שונות. זה עדיין 2 × 3, אבל זה גם $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

קבוצות כיתה נוצרות מהרחבות כאלה למספרים השלמים. "קבוצות כיתתיות חשובות להפליא," אמר ווד. "ולכן זה טבעי לתהות: איך הם בדרך כלל?"

גודלה של קבוצת הכיתה הקשורה לכל הרחבה של המספרים השלמים הוא ברומטר למידת הפירוק של הפירוק הייחודי לגורמים. למרות שמתמטיקאים הוכיחו שקבוצות כיתה הן תמיד סופיות, להבין את המבנה והגודל שלהן זה מסובך. זו הסיבה שב-1984, אנרי כהן והנדריק לנסטרה העז בכמה ניחושים. ההשערות שלהם, הנקראות כיום היוריסטיקה של כהן-לנסטרה, התייחסו לכל קבוצות הכיתה שצצות כשמוסיפים שורשים מרובעים חדשים למספרים השלמים. אם כל קבוצות הכיתה הללו נאספו יחד, כהן ולנסטרה הציעו תשובות לשאלות כמו: איזה חלק מהן מכילות את הקבוצה $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? או $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? או סוג אחר של קבוצה סופית מוכרת?

כהן ולנסטרה דחפו את תיאורטיקני המספרים לשקול לא רק דוגמאות בודדות של קבוצות מעמדות, אלא סטטיסטיקה העומדת בבסיס קבוצות הכיתה בכללותן. התחזיות שלהם התחברו לחזון של מתמטיקה כיקום עם דפוסים שיש לחשוף בכל רמה.

כמעט 40 שנה מאוחר יותר, ההיוריסטיקות של כהן-לנסטרה נחשבות נכונות, אם כי אף אחד לא התקרב להוכיח אותן. ההשפעה שלהם על המתמטיקה הייתה מוחשית, אמר נייג'ל בוסטון, פרופסור אמריטוס באוניברסיטת ויסקונסין, מדיסון. "מה שהתגלה זה הרשת המדהימה הזו", אמר. "יש תשתית ענקית של הדרך שבה אנחנו חושבים שהעולם מורכב ביחד."

המשחק היחיד בעיר

מתמטיקאים לא יכלו להתמודד ישירות עם ההיוריסטיקה, והגיעו לבעיות פתירות יותר שהם קיוו שיאירו את המצב. מתוך עבודה זו, נוצרה מערכת שימושית של כמויות שמתמטיקאים החלו לקרוא לה רגעים, על שם מונח המשמש בתורת ההסתברות.

בהסתברות, רגעים יכולים לעזור לך לחשב את ההתפלגות מאחורי מספרים אקראיים. לדוגמה, קחו בחשבון את התפלגות הטמפרטורה היומית הגבוהה ב-1 בינואר בניו יורק - הסיכויים שב-1 בינואר של השנה הבאה היא תהיה 10 מעלות פרנהייט, או 40 מעלות, או 70 או 120. כל מה שצריך לעבוד עם נתוני העבר: היסטוריה של השיא היומי ב-1 בינואר בכל שנה מאז תחילת ההיסטוריה המתועדת.

אם תחשב את הממוצע של הטמפרטורות האלה, תלמד קצת, אבל לא הכל. טמפרטורה גבוהה ממוצעת של 40 מעלות לא אומרת לך את הסיכוי שהטמפרטורה תהיה מעל 50 מעלות או מתחת ל-20.

אבל זה משתנה אם נותנים לך מידע נוסף. באופן ספציפי, תוכל ללמוד את הממוצע של ריבוע הטמפרטורה, כמות המכונה הרגע השני של ההתפלגות. (הממוצע הוא הרגע הראשון.) או שאתה יכול ללמוד את הממוצע של הקוביות, הידוע בתור הרגע השלישי, או הממוצע של החזקות הרביעיות - הרגע הרביעי.

עד שנות ה-1920, מתמטיקאים הבינו שאם הרגעים בסדרה הזו גדלים לאט מספיק, אז הכרת כל הרגעים מאפשרת לך להסיק שרק התפלגות אפשרית אחת כוללת את הרגעים האלה. (אם כי זה לא בהכרח מאפשר לך לחשב ישירות את ההתפלגות.)

"זה ממש לא אינטואיטיבי," אמר ווד. "אם אתה חושב על הפצה מתמשכת, יש לזה צורה כלשהי. זה קצת מרגיש כאילו יש בו יותר ממה שאפשר לתפוס רק ברצף של מספרים."

מתמטיקאים המתעניינים בהיוריסטיקה של כהן-לנסטרה הבינו שבדיוק כפי שניתן להפעיל רגעים בתורת ההסתברות כדי להגיע להתפלגות הסתברות, רגעים המוגדרים בצורה מסוימת עבור קבוצות כיתה יכולים להיות עדשה שדרכה אנו יכולים לראות את הגודל והמבנה שלהם. . ג'ייקוב צימרמן, מתמטיקאי מאוניברסיטת טורונטו, אמר שהוא לא יכול לדמיין כיצד ניתן לחשב ישירות את התפלגות גדלי קבוצות הכיתה. השימוש ברגעים, הוא אמר, הוא "יותר מקל יותר. זה המשחק היחיד בעיר".

רגע הקסם הזה

בעוד שכל רגע בהסתברות קשור למספר שלם - החזקה השלישית, החזקה הרביעית וכן הלאה - הכמויות החדשות שהוצגו על ידי תורת המספרים תואמות כל אחת לקבוצה. הרגעים החדשים האלה תלויים בעובדה שאתה יכול לעתים קרובות לצמצם קבוצה לקבוצה קטנה יותר על ידי כיווץ אלמנטים שונים יחד.

כדי לחשב את הרגע המשויך לקבוצה G, קח את כל קבוצות הכיתה האפשריות - אחת עבור כל שורש ריבועי חדש שאתה מוסיף למספרים השלמים. עבור כל קבוצת כיתה, ספור את מספר הדרכים השונות בהן תוכל לכווץ אותה G. לאחר מכן, קח את הממוצע של המספרים הללו. התהליך הזה אולי נראה מפותל, אבל הרבה יותר קל לעבוד איתו מאשר ההפצה בפועל מאחורי התחזיות של כהן ולנסטרה. למרות שהיוריסטיקות כהן-לנסטרה עצמן מסובכות להגדרה, רגעי ההתפלגות שהם חוזים הם כולם 1.

"זה גורם לך לחשוב, וואו, אולי הרגעים הם הדרך הטבעית לגשת לזה", אמר אלנברג. "נראה יותר אמין להיות מסוגל להוכיח שמשהו שווה ל-1 מאשר להוכיח שהוא שווה לאיזה מוצר אינסופי מטורף."

כאשר מתמטיקאים לומדים התפלגות על קבוצות, (קבוצות כיתות או אחרות) הם בסופו של דבר מקבלים משוואה עבור כל קבוצה G, כשההסתברויות כעת מייצגות, למשל, את השיעור של קבוצות כיתות שנראות כמו $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. עם אינסוף משוואות, ואינספור קבוצות מחלקות אפשריות, קשה לפתור את ההסתברויות. זה לא מובן מאליו שזה אפילו הגיוני לעשות זאת.

"כשיש לך סכומים אינסופיים, דברים יכולים להשתבש", אמר ווד.

עם זאת, מתמטיקאים, שעדיין לא הצליחו למצוא דרכים אחרות לחקר ההתפלגויות, המשיכו לחזור לבעיית הרגע. בעבודה שפורסמה ב- תולדות המתמטיקה בשנת 2016, אלנברג, יחד עם אקשי ונקטש וקרייג וסטרלנד, רגעים משומשים ללמוד את הסטטיסטיקה של קבוצות כיתות בסביבה מעט שונה ממה שכהן ולנסטרה שקלו. הרעיון הזה היה שימוש חוזר כמה פִּי. אבל בכל פעם שחוקרים השתמשו ברגעים, הם היו נשענים על המוזרויות של הבעיה הספציפית שלהם כדי להוכיח שלקבוצת המשוואות האינסופית יש פתרון. זה אומר שהטכניקות שלהם לא ניתנות להעברה. המתמטיקאי הבא שהיה צריך להשתמש ברגעים יצטרך לפתור את בעיית הרגעים מחדש.

בתחילת שיתוף הפעולה ביניהם, גם סוין וווד תכננו ללכת בדרך זו. הם היו מנצלים רגעים כדי לחזות כיצד הופצו גרסאות מסובכות יותר של קבוצות כיתות. אבל כשנה לתוך הפרויקט שלהם, הם הפנו את המיקוד שלהם לבעיה הרגעית עצמה.

נעשים פסי צד

עמיתים מתארים את סוין וווד כבעלי תשוקה יוצאת דופן לגבי עבודתם. "שניהם מאוד חכמים. אבל יש הרבה אנשים חכמים", אמרה זוריק-בראון. "פשוט יש להם את הגישה החיובית הזאת כלפי מתמטיקה."

בתחילה, סאווין וווד רצו להשתמש ברגעים כדי להרחיב את התחזיות של כהן-לנסטרה להגדרות חדשות. אבל עד מהרה הם לא היו מרוצים מהטיעון של הבעיה הרגעית שלהם. "היה לנו צורך לכתוב טיעונים דומים שוב ושוב", נזכר סוין. יתרה מכך, הוא הוסיף, השפה המתמטית שבה הם השתמשו "נראה כי לא נכנסה ללב מה שהוויכוח עושה... הרעיונות היו שם, אבל פשוט לא מצאנו את הדרך הנכונה לבטא אותם".

סוין וווד התעמקו בהוכחה שלהם, בניסיון להבין מה באמת נמצא מתחת לכל זה. בסופו של דבר הם קיבלו הוכחה שפתרה את בעיית הרגע לא רק עבור היישום הספציפי שלהם, אלא עבור כל התפלגות של קבוצות - ולכל מיני מבנים מתמטיים אחרים.

הם מחלקים את הבעיה לצעדים קטנים וניתנים לניהול. במקום לנסות לפתור את כל התפלגות ההסתברות במכה אחת, הם התמקדו רק בחלק קטן מהרגעים.

לדוגמה, כדי לפתור את בעיית הרגעים עבור התפלגות הסתברות על קבוצות, כל רגע ישויך לקבוצה G. בהתחלה, סוין וווד היו מסתכלים על מערכת משוואות שכללה רק את הרגעים עבור רשימה מוגבלת של קבוצות. לאחר מכן הם היו מוסיפים לאט קבוצות לרשימה, מסתכלים על עוד ועוד רגעים בכל פעם. על ידי הפיכת הבעיה למורכבת יותר, הם הפכו כל צעד לבעיה ניתנת לפתרון. טיפין טיפין, הם בנו לפתרון מלא של בעיית הרגע.

"הרשימה הקבועה הזו היא בערך כמו המשקפיים שאתה מרכיב, וככל שאתה מוכן לשקול יותר קבוצות, כך המשקפיים שלך טובים יותר," הסביר ווד.

כשהם סוף סוף הוציאו את האבק מעל אחרוני הפרטים הזרים, הם מצאו את עצמם עם ויכוח שקנוקנותיו הגיעו על פני המתמטיקה. התוצאה שלהם עבדה עבור קבוצות כיתות, עבור קבוצות הקשורות לצורות גיאומטריות, עבור רשתות של נקודות וקווים, כמו גם עבור קבוצות אחרות עם מורכבות מתמטית יותר. בכל המצבים הללו, סאווין ו-ווד מצאו נוסחה שלוקחת סט של רגעים ויורקת את ההפצה שיש לה את הרגעים האלה (כל עוד הרגעים לא יגדלו מהר מדי, בין היתר).

"זה מאוד בסגנון של מלאני," אמר אלנברג. "כדי להיות כמו, 'בואו נוכיח משפט כללי מאוד שמטפל בהרבה מקרים שונים בצורה אחידה ואלגנטית'".

סוין וווד עושים כעת את דרכם חזרה אל המטרה המקורית שלהם. בתחילת ינואר הם שיתפו נייר חדש שמתקן תחזיות שגויות של כהן-לנסטרה שנעשה בסוף שנות ה-1980 על ידי כהן ועמיתו ז'אק מרטינט. מעבר לכך, יש להם עוד יותר תוצאות בתור, עם תוכניות להרחיב את ההיוריסטיקה למצבים חדשים עוד יותר. "אני לא יודע אם הפרויקט הזה יסתיים אי פעם", אמר סוין.

בעיית הרגע שסוין וווד פתרו הייתה "מעין קוץ בחלק האחורי של הראש שלך להרבה שאלות שונות", אמר צימרמן. "אני חושב שהרבה מתמטיקאים הולכים לנשום לרווחה."