כשדניאל לארסן היה בחטיבת הביניים, הוא התחיל לעצב תשבצים. הוא נאלץ לשכב את התחביב על תחומי העניין האחרים שלו: שחמט, תכנות, פסנתר, כינור. הוא העפיל פעמיים ל-Scripps National Spelling Bee ליד וושינגטון הבירה, לאחר שזכה בתחרות האזורית שלו. "הוא מתמקד במשהו, וזה רק באנג, באנג, באנג, עד שהוא מצליח", אמרה אמו של לארסן, איילת לינדנשטראוס. תשבצי התשבצים הראשונים שלו נדחו על ידי העיתונים הגדולים, אך הוא המשיך בכך ולבסוף פרץ פנימה. עד כה, הוא מחזיקה בשיא לאדם הצעיר ביותר לפרסם בו תשבץ ניו יורק טיימס, בגיל 13. "הוא מאוד מתמיד," אמר לינדנשטראוס.
ובכל זאת, האובססיה האחרונה של לארסן הרגישה אחרת, "ארוכה ואינטנסיבית יותר מרוב הפרויקטים האחרים שלו", אמרה. במשך יותר משנה וחצי, לארסן לא הצליח להפסיק לחשוב על בעיה מסוימת במתמטיקה.
היו לו שורשים בשאלה רחבה יותר, כזו שהמתמטיקאי קרל פרידריך גאוס ראה בה בין החשובות במתמטיקה: כיצד להבחין בין מספר ראשוני (מספר המתחלק רק ב-1 ובעצמו) ממספר מורכב. במשך מאות שנים, מתמטיקאים חיפשו דרך יעילה לעשות זאת. הבעיה הפכה לרלוונטית גם בהקשר של קריפטוגרפיה מודרנית, שכן חלק ממערכות ההצפנה הנפוצות ביותר של ימינו כוללות ביצוע אריתמטיקה עם ראשוניים עצומים.
לפני יותר ממאה שנה, בחיפוש אחר מבחן ראשוניות מהיר ועוצמתי, מתמטיקאים נתקלו בקבוצה של עושי צרות - מספרים שמטעים את המבחנים לחשוב שהם ראשוניים, למרות שהם לא. היה קשה במיוחד לתפוס את הפסבדופריים הללו, הידועים כמספרי קרמייקל. רק באמצע שנות ה-1990, למשל, הוכיחו מתמטיקאים שיש אינסוף רבים מהם. היכולת לומר עוד משהו על האופן שבו הם מופצים לאורך קו המספרים היווה אתגר גדול עוד יותר.
ואז הגיע עם לארסן הוכחה חדשה בדיוק על זה, כזה בהשראת עבודה בתקופה האחרונה בתחום אחר של תורת המספרים. אז הוא היה רק בן 17.
הניצוץ
כשגדל בבלומינגטון, אינדיאנה, לארסן תמיד נמשך למתמטיקה. הוריו, שניהם מתמטיקאים, הציגו לו ואת אחותו הגדולה את הנושא כשהיו צעירים. (היא כעת לומדת לדוקטורט במתמטיקה.) כשלארסן הייתה בת 3, נזכרת לינדנשטראוס, הוא התחיל לשאול אותה שאלות פילוסופיות על טבעו של האינסוף. "חשבתי, לילד הזה יש מוח מתמטי", אמר לינדנשטראוס, פרופסור באוניברסיטת אינדיאנה.
ואז לפני כמה שנים - בערך בזמן שהוא היה שקוע בפרויקטי האיות והתשבצים שלו - הוא נתקל ב תעודה על Yitang Zhang, מתמטיקאי לא ידוע שעלה מהחשיכה ב-2013 לאחר מכן מוכיח תוצאה של ציון דרך שמציבים גבול עליון על הפערים בין מספרים ראשוניים עוקבים. משהו הקיש בלרסן. הוא לא יכול היה להפסיק לחשוב על תורת המספרים, ועל הבעיה הקשורה שג'אנג ומתמטיקאים אחרים עדיין קיוו לפתור: השערת ראשוני התאומים, הקובעת שיש אינסוף זוגות ראשוניים הנבדלים זה מזה ב-2 בלבד.
לאחר עבודתו של ג'אנג, שהראתה שיש אינסוף זוגות ראשוניים הנבדלים זה מזה בפחות מ-70 מיליון, אחרים קפצו פנימה להוריד את הגבול הזה עוד יותר. תוך חודשים, המתמטיקאים ג'יימס מיינרד ו טרנס טאו הוכיח באופן עצמאי אמירה חזקה עוד יותר לגבי הפערים בין ראשוניים. הפער הזה הצטמצם מאז ל-246.
לארסן רצה להבין חלק מהמתמטיקה שעומדת בבסיס עבודתם של מיינרד וטאו, "אבל זה היה כמעט בלתי אפשרי עבורי", אמר. המסמכים שלהם היו הרבה יותר מסובכים. לארסן ניסה לקרוא עבודות קשורות, רק כדי למצוא אותה גם בלתי חדירה. הוא המשיך בכך, קפץ מתוצאה אחת לאחרת, עד שלבסוף, בפברואר 2021, הוא נתקל במאמר שנראה לו יפה ומובן כאחד. הנושא שלו: מספרי כרמיכאל, אותם מספרים מרוכבים מוזרים שלעיתים יכולים להתחזות לעצמם כראשוניים.
הכל מלבד פריים
באמצע המאה ה-17, המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה כתב מכתב לחברו ואיש סודו פרניקל דה בסי, בו הוא ציין את מה שייקרא מאוחר יותר כ"משפט הקטן שלו". אם N הוא מספר ראשוני, אם כן bN - b הוא תמיד כפל של N, לא משנה מה b הוא. לדוגמה, 7 הוא מספר ראשוני, וכתוצאה מכך, 27 – 2 (ששווה ל-126) הוא כפולה של 7. באופן דומה, 37 – 3 הוא כפולה של 7, וכן הלאה.
מתמטיקאים ראו את הפוטנציאל למבחן מושלם האם מספר נתון הוא ראשוני או מרוכב. הם ידעו שאם N הוא ראשי, bN - b הוא תמיד כפל של N. מה אם גם ההפך היה נכון? כלומר, אם bN - b הוא מכפיל של N לכל הערכים של b, צריך N להיות ראשי?
אבוי, התברר שבמקרים נדירים מאוד, N יכול לעמוד בתנאי זה ועדיין להיות מורכב. המספר הקטן ביותר כזה הוא 561: עבור כל מספר שלם b, b561 - b הוא תמיד כפולה של 561, למרות ש-561 אינו ראשוני. מספרים כאלה נקראו על שמו של המתמטיקאי רוברט קרמייקל, שלעתים קרובות מיוחס לזכותו בפרסום הדוגמה הראשונה ב-1910 (אם כי המתמטיקאי הצ'כי ואצלב שימרקה גילה דוגמאות באופן עצמאי ב-1885).
מתמטיקאים רצו להבין טוב יותר את המספרים האלה שדומים כל כך לאובייקטים הבסיסיים ביותר בתורת המספרים, הראשוניים. התברר שב-1899 - עשור לפני התוצאה של קרמייקל - מתמטיקאי אחר, אלווין קורסלט, הגה הגדרה מקבילה. הוא פשוט לא ידע אם יש מספרים שמתאימים לחשבון.
לפי הקריטריון של קורסלט, מספר N הוא מספר קרמייקל אם ורק אם הוא עונה על שלושה מאפיינים. ראשית, עליו להיות יותר מגורם ראשוני אחד. שנית, שום גורם ראשוני לא יכול לחזור. ושלישית, על כל פריים p שמחלק N, p – 1 גם מחלק N – 1. שקול שוב את המספר 561. הוא שווה ל-3 × 11 × 17, כך שהוא עונה בבירור על שני המאפיינים הראשונים ברשימה של קורסלט. כדי להראות את התכונה האחרונה, הפחיתו 1 מכל גורם ראשוני כדי לקבל 2, 10 ו-16. בנוסף, הפחיתו 1 מ-561. כל שלושת המספרים הקטנים יותר הם מחלקים של 560. לכן המספר 561 הוא מספר כרמיכאל.
למרות שמתמטיקאים חשדו שיש אינסוף מספרי קרמייקל, יש מעט יחסית למספרים ראשוניים, מה שהקשה על זיהוים. ואז בשנת 1994, רד אלפורד, אנדרו גרנוויל ו קרל פומרנס פרסם פריצת דרך מאמר שבו הם הוכיחו לבסוף שאכן יש אינסוף הרבה מהפסאודופריים האלה.
לרוע המזל, הטכניקות שהם פיתחו לא אפשרו להם לומר דבר על איך נראים המספרים האלה של קרמייקל. האם הם הופיעו באשכולות לאורך קו המספרים, עם פערים גדולים ביניהם? או שתמיד תוכל למצוא מספר של קרמייקל במרווח קצר? "אתה חושב שאם אתה יכול להוכיח שיש אינסוף הרבה מהם," אמר גרנוויל, "בוודאי אתה צריך להוכיח שאין פערים גדולים ביניהם, שהם צריכים להיות מרווחים יחסית טוב".
במיוחד, הוא ושותפיו קיוו להוכיח הצהרה שמשקפת רעיון זה - בהינתן מספר גדול מספיק X, תמיד יהיה מספר קרמייקל בין X ו 2X. "זו דרך נוספת לבטא עד כמה הם נמצאים בכל מקום", אמר ג'ון גרנתם, מתמטיקאי במכון לניתוחי הגנה שעשה עבודה קשורה.
אבל במשך עשרות שנים אף אחד לא הצליח להוכיח זאת. הטכניקות שפיתחו אלפורד, גרנוויל ופומרנס "אפשרו לנו להראות שיהיו מספרים רבים של קרמייקל", אמר פומרנס, "אבל לא באמת אפשרו לנו הרבה שליטה על היכן הם יהיו. ”
ואז, בנובמבר 2021, גרנוויל פתח מייל מלרסן, אז בן 17 ובשנה האחרונה שלו בתיכון. א מאמר היה מצורף - ולהפתעתו של גרנוויל, זה נראה נכון. "זה לא היה הקריאה הכי קלה אי פעם," הוא אמר. "אבל כשקראתי את זה, היה די ברור שהוא לא מתעסק. היו לו רעיונות מבריקים".
פומרנס, שקרא גרסה מאוחרת יותר של העבודה, הסכים. "ההוכחה שלו באמת מתקדמת למדי", אמר. "זה יהיה מאמר שכל מתמטיקאי יהיה ממש גאה שכתב. והנה ילד תיכון כותב את זה."
המפתח להוכחה של לארסן היה העבודה שמשכה אותו למספרי קרמייקל מלכתחילה: התוצאות של מיינרד וטאו על פערים ראשוניים.
לא סביר - לא בלתי אפשרי
כשלארסן יצא להראות שתמיד אפשר למצוא מספר של קרמייקל במרווח קצר, "נראה היה שזה כל כך ברור שזה נכון, כמה קשה זה יכול להיות להוכיח?" הוא אמר. הוא הבין מהר מאוד שזה יכול להיות מאוד קשה. "זו בעיה שבודקת את הטכנולוגיה של זמננו", אמר.
במאמרם משנת 1994, אלפורד, גרנוויל ופומרנס הראו כיצד ליצור אינסוף מספרי קרמייקל. אבל הם לא היו מסוגלים לשלוט בגודלם של ראשוניים שבהם השתמשו לבנייתם. זה מה שלארסן יצטרך לעשות כדי לבנות מספרי קרמייקל שהיו קרובים יחסית בגודלם. הקושי של הבעיה הדאיג את אביו, מייקל לארסן. "לא חשבתי שזה בלתי אפשרי, אבל חשבתי שזה לא סביר שהוא יצליח", אמר. "ראיתי כמה זמן הוא מבלה על זה... והרגשתי שזה יהיה הרסני עבורו לתת כל כך הרבה מעצמו לזה ולא לקבל את זה."
ובכל זאת, הוא ידע טוב יותר מאשר לנסות להניא את בנו. "כשדניאל מתחייב למשהו שבאמת מעניין אותו, הוא ממשיך עם זה בעובי ובדק", אמר.
אז לארסן חזר למאמרים של מיינארד - בפרט, כדי להראות שאם אתה לוקח רצפים מסוימים של מספיק מספרים, תת-קבוצה כלשהי של המספרים האלה חייבת להיות ראשונית. לארסן שינה את הטכניקות של מיינרד כדי לשלב אותן עם השיטות בהן השתמשו אלפורד, גרנוויל ופומרנס. זה איפשר לו להבטיח שהראשונים שהוא סיים איתם ישתנו בגודלם - מספיק כדי לייצר מספרי קרמייקל שייכנסו למרווחים שהוא רצה.
"יש לו יותר שליטה על דברים ממה שהייתה לנו אי פעם," אמר גרנוויל. והוא השיג זאת באמצעות שימוש חכם במיוחד בעבודתו של מיינרד. "זה לא קל... להשתמש בהתקדמות הזו על פערים קצרים בין ראשוניים", אמר קאיסה מטומקי, מתמטיקאי באוניברסיטת טורקו בפינלנד. "זה די נחמד שהוא מסוגל לשלב את זה עם השאלה הזו על המספרים של קרמייקל".
למעשה, הטיעון של לארסן לא רק אפשר לו להראות שמספר קרמייקל חייב להופיע תמיד ביניהם X ו 2X. ההוכחה שלו עובדת גם במרווחים קטנים בהרבה. כעת מקווים מתמטיקאים שזה יעזור לחשוף היבטים אחרים של התנהגותם של המספרים המוזרים הללו. "זה רעיון אחר," אמר תומאס רייט, מתמטיקאי ב-Wofford College בדרום קרוליינה שעובד על פסאודו-פריים. "זה משנה הרבה דברים לגבי האופן שבו נוכל להוכיח דברים על מספרי קרמייקל."
גרנתם הסכים. "עכשיו אתה יכול לעשות דברים שלא חשבת עליהם", אמר.
לארסן, בינתיים, רק התחיל את שנת הלימודים הראשונה שלו במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס. הוא לא בטוח באיזו בעיה הוא עשוי לעבוד בשלב הבא, אבל הוא להוט ללמוד מה יש שם בחוץ. "אני רק לוקח קורסים... ומנסה להיות עם ראש פתוח", אמר.
"הוא עשה את כל זה ללא השכלה לתואר ראשון", אמר גרנתם. "אני רק יכול לדמיין מה הוא הולך להמציא בבית הספר לתואר שני."
