הקשר הנסתר ששינה את תורת המספרים | מגזין קוונטה

ישנם שלושה סוגים של מספרים ראשוניים. הראשון הוא חריג בודד: 2, הפריים הזוגי היחיד. לאחר מכן, חצי מהראשונים משאירים שארית של 1 כאשר מחלקים אותם ב-4. החצי השני משאירים שארית של 3. (5 ו-13 נופלים במחנה הראשון, 7 ו-11 במחנה השני.) אין סיבה ברורה לכך. -1 ראשוני והשאר-3 ראשוניים צריכים להתנהג בדרכים שונות מהותית. אבל הם כן.

הבדל מרכזי אחד נובע ממאפיין שנקרא הדדיות ריבועית, שהוכח לראשונה על ידי קרל גאוס, ללא ספק המתמטיקאי המשפיע ביותר במאה ה-19. "זו אמירה פשוטה למדי שיש לה יישומים בכל מקום, בכל מיני מתמטיקה, לא רק בתורת המספרים," אמר ג'יימס ריקרדס, מתמטיקאי באוניברסיטת קולורדו, בולדר. "אבל זה גם לא מספיק ברור כדי להיות מעניין באמת."

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק במספרים שלמים (בניגוד, למשל, צורות או כמויות רציפות). המספרים הראשוניים - אלה המתחלקים רק ב-1 ובעצמם - נמצאים בליבתם, בדיוק כמו שה-DNA הוא ליבת הביולוגיה. הדדיות ריבועית שינתה את תפיסת המתמטיקאים לגבי כמה אפשר להוכיח עליהם. אם אתה חושב על מספרים ראשוניים כעל רכס הרים, הדדיות היא כמו שביל צר המאפשר למתמטיקאים לטפס לפסגות שלא ניתן היה להגיע אליהן בעבר, ומן הפסגות הללו לראות אמיתות שהוסתרו.

למרות שזהו משפט ישן, יש לו יישומים חדשים. הקיץ הזה, ריקארדס ועמיתו קתרין סטאנגהיחד עם שני תלמידים, הפריך השערה מקובלת על איך ניתן לארוז עיגולים קטנים בתוך עיגול גדול יותר. התוצאה זעזעה את המתמטיקאים. פיטר סרנק, תיאורטיקנית מספרים במכון למחקר מתקדם ובאוניברסיטת פרינסטון, שוחחה עם סטאנג' בכנס זמן קצר לאחר הצוות שלה פורסם הנייר שלהם. "היא אמרה לי שיש לה דוגמה נגדית", נזכר סרנק. "מיד שאלתי אותה, 'האם את משתמשת בהדדיות איפשהו?' וזה אכן מה שהיא השתמשה'”.

דפוסים בזוגות ראשוניים

כדי להבין הדדיות, תחילה עליך להבין חשבון מודולרי. פעולות מודולריות מסתמכות על חישוב שאריות כאשר אתה מחלק במספר שנקרא מודולוס. לדוגמה, 9 מודולו 7 הוא 2, כי אם מחלקים 9 ב-7, נשארת עם שארית של 2. במערכת המספרים מודולו 7, ישנם 7 מספרים: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. ניתן להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק את המספרים הללו.

בדיוק כמו במספרים השלמים, למערכות המספרים הללו יכולות להיות ריבועים מושלמים - מספרים שהם מכפלה של מספר אחר כפול עצמו. לדוגמה, 0, 1, 2 ו-4 הם הריבועים המושלמים מודולו 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, ו-3 × 3 = 2 mod 7). כל ריבוע רגיל יהיה שווה ל-0, 1, 2 או 4 מודולו 7. (לדוגמה, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) מכיוון שמערכות מספרים מודולריות הן סופיות, ריבועים מושלמים נפוצים יותר.

הדדיות ריבועית נובעת משאלה פשוטה יחסית. נתון שני ראשוניים p ו q, אם אתה יודע את זה p הוא מודולו מרובע מושלם q, אתה יכול להגיד אם או לא q הוא מודולו מרובע מושלם p?

מסתבר שכל עוד או p or q משאיר שארית של 1 כאשר מחלקים ב-4, אם p הוא מודולו מרובע מושלם q, לאחר מכן q הוא גם מודולו מרובע מושלם p. אומרים ששני ראשי התיבות גומלים.

מצד שני, אם שניהם משאירים שארית של 3 (כמו, למשל, 7 ו-11) אז הם לא חוזרים: אם p הוא מודולו מרובע q, זה אומר ש q לא יהיה מודולו מרובע p. בדוגמה זו, 11 הוא מודולו ריבוע 7, שכן 11 = 4 mod 7 וכבר יודעים ש-4 הוא אחד מהריבועים המושלמים מודולו 7. מכאן נובע ש-7 אינו מודולו מרובע 11. אם לוקחים את רשימת הרגילים ריבועים (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) והסתכל על השאריות שלהם modulo 11, ואז 7 לעולם לא יופיע.

זה, אם להשתמש במונח טכני, ממש מוזר!

כוחה של הכללה

כמו רעיונות מתמטיים רבים, ההדדיות הייתה משפיעה מכיוון שניתן להכליל אותה.

זמן קצר לאחר שגאוס פרסם את ההוכחה הראשונה להדדיות ריבועית ב-1801, מתמטיקאים ניסו להרחיב את הרעיון מעבר לריבועים. "למה לא חזקה שלישית או חזקה רביעית? הם דמיינו שאולי יש חוק הדדיות קוביות או חוק הדדיות קוורטית", אמרו. קית' קונרד, תיאורטיקן מספרים באוניברסיטת קונטיקט.

אבל הם נתקעו, אמר קונרד, "כי אין דפוס קל". זה השתנה ברגע שגאוס הביא את ההדדיות לתחום המספרים המרוכבים, שמוסיפים את השורש הריבועי של מינוס 1, המיוצג על ידי i, למספרים רגילים. הוא הציג את הרעיון שתיאורטיקני המספרים יכולים לנתח לא רק מספרים שלמים רגילים אלא מערכות מתמטיות אחרות דמויות מספרים שלמים, כמו מה שנקרא מספרים שלמים גאוסים, שהם מספרים מרוכבים שהחלק הממשי והדמיוני שלהם הם שניהם מספרים שלמים.

עם מספרים שלמים גאוסים, כל הרעיון של מה שנחשב ראשוני השתנה. לדוגמה, 5 כבר לא ראשוני, כי 5 = (2 + i) × (2 - i). "אתה צריך להתחיל מחדש כאילו אתה שוב בבית ספר יסודי," אמר קונרד. בשנת 1832, גאוס הוכיח חוק הדדיות רביעיית עבור המספרים השלמים המורכבים הנושאים את שמו.

לפתע, מתמטיקאים למדו ליישם כלים כמו חשבון מודולרי ופירוק לגורמים למערכות המספרים החדשות הללו. הדדיות ריבועית הייתה ההשראה, לפי קונרד.

דפוסים שהיו חמקמקים ללא מספרים מרוכבים החלו כעת לצוץ. באמצע שנות ה-1840 גוטהולד אייזנשטיין וקרל יעקובי הוכיחו את חוקי ההדדיות הקוביים הראשונים.

ואז, בשנות ה-1920, גילה אמיל ארטין, ממייסדי האלגברה המודרנית, את מה שקונרד מכנה "חוק ההדדיות האולטימטיבי". ניתן לראות את כל שאר חוקי ההדדיות כמקרים מיוחדים של חוק ההדדיות של ארטין.

מאה שנה מאוחר יותר, מתמטיקאים עדיין ממציאים הוכחות חדשות לחוק ההדדיות הריבועי הראשון של גאוס ומכלילים אותו להקשרים מתמטיים חדשים. הוכחות רבות ומובחנות יכולות להיות שימושיות. "אם אתה רוצה להרחיב את התוצאה לסביבה חדשה, אולי אחד הטיעונים יעבור בקלות, בעוד שהשאר לא יצליחו," אמר קונרד.

מדוע הדדיות כל כך שימושית

הדדיות ריבועית משמשת בתחומי מחקר מגוונים כמו תורת הגרפים, טופולוגיה אלגברית והצפנה. באחרון, אלגוריתם הצפנת מפתח ציבורי רב השפעה פותח ב-1982 על ידי שאפי גולדווסר ו סילביו מיכאלי תלוי בכפל שני ראשוניים גדולים p ו q ביחד והפקת התוצאה, N, יחד עם מספר, x, שאינו מודולו מרובע N. האלגוריתם משתמש N ו x להצפין הודעות דיגיטליות למחרוזות של מספרים גדולים יותר. הדרך היחידה לפענח מחרוזת זו היא להחליט אם כל מספר במחרוזת המוצפנת הוא מודולו מרובע או לא N - כמעט בלתי אפשרי בלי לדעת את ערכי הראשוניים p ו q.

וכמובן, הדדיות ריבועית צצה שוב ושוב בתוך תורת המספרים. לדוגמה, ניתן להשתמש בו כדי להוכיח שכל מספר ראשוני השווה ל-1 מודולו 4 יכול להיכתב כסכום של שני ריבועים (לדוגמה, 13 שווה ל-1 מודולו 4, ו-13 = 4 + 9 = 2² + 3²). לעומת זאת, ראשוניים השווים ל-3 מודולו 4 לעולם אינם יכולים להיכתב כסכום של שני ריבועים.

סרנק ציין כי ניתן להשתמש בהדדיות כדי לפתור שאלות פתוחות, כמו להבין אילו מספרים ניתן לכתוב כסכום של שלוש קוביות. זה ידוע שמספרים ששווים ל-4 או 5 מודולו 9 אינם שווים לסכום של שלוש קוביות, אבל אחרים נשארים בגדר תעלומה. (בשנת 2019, אנדרו בוקר יצרו כותרות כאשר הוא גילה ש-(8,866,128,975,287,528)³ + (-8,778,405,442,862,239)³ + (-2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

למרות כל היישומים הרבים שלה, והוכחות רבות ושונות, יש משהו בהדדיות שנשאר בגדר תעלומה, אמר סטנג'.

"מה שקורה לעתים קרובות עם הוכחה מתמטית הוא שאתה יכול לעקוב אחר כל שלב; אתה יכול להאמין שזה נכון," היא אמרה. "ואתה עדיין יכול לצאת מהצד השני בתחושה של 'אבל למה?'"

הבנה, ברמה הקרבית, מה שמבדיל בין 7 ו-11 מ-5 ו-13 עשוי להיות בלתי מושג לנצח. "אנחנו יכולים רק ללהטט בכל כך הרבה רמות של הפשטה", אמרה. "זה מופיע בכל מקום בתורת המספרים... ובכל זאת זה רק צעד מעבר למה שמרגיש כאילו אתה באמת יכול פשוט לדעת."

Quanta עורכת סדרה של סקרים כדי לשרת טוב יותר את הקהל שלנו. קח את שלנו סקר קוראי מתמטיקה ותוכלו לזכות בחינם Quanta סחורה.