כמה דקות לתוך הרצאה של 2018 באוניברסיטת מישיגן, איאן טובסקו הרים פיסת נייר גדולה וקמט אותה לכדור שנראה מבולגן של כאוס. הוא הרים אותו כדי שהקהל יראה, סחט אותו מידה טובה, ואז פרש אותו שוב.
"אני מקבל מסה פראית של קפלים שצצים, וזו הפאזל", אמר. "מה בוחר את הדפוס הזה מתוך דפוס אחר ומסודר יותר?"
לאחר מכן הוא הרים פיסת נייר גדולה שניה - זו מקופלת מראש לתבנית אוריגמי מפורסמת של מקביליות הידועה בשם Miura-ori - והצמידה אותה שטוחה. הכוח שבו השתמש על כל גיליון נייר היה בערך אותו דבר, הוא אמר, אבל התוצאות לא יכלו להיות שונות יותר. המיורה-אורי חולק בצורה מסודרת לאזורים גיאומטריים; הכדור המקומט היה בלגן של קווים משוננים.
"אתה מרגיש שזה," הוא אמר, והצביע על סידור הקמטים המפוזר על הסדין המקומט, "זו רק גרסה מופרכת אקראית של זה." הוא ציין את מיורה-אורי המסודרת והמסודרת. "אבל לא שמנו את האצבע אם זה נכון או לא."
יצירת הקשר הזה ידרוש לא פחות מאשר קביעת כללים מתמטיים אוניברסליים של תבניות אלסטיות. טובסקו עבד על זה במשך שנים, בוחן משוואות המתארות חומרים אלסטיים דקים - דברים המגיבים לעיוות בניסיון לחזור לצורתו המקורית. לתקוע בלון מספיק חזק ותיווצר תבנית פרץ כוכבים של קמטים רדיאליים; הסר את האצבע שלך והם יחזרו להחליק. סוחטים כדור נייר מקומט והוא יתרחב כשתשחררו אותו (אם כי הוא לא יתפורר לחלוטין). מהנדסים ופיזיקאים חקרו כיצד דפוסים אלו מופיעים בנסיבות מסוימות, אך למתמטיקאי התוצאות המעשיות הללו מצביעות על שאלה מהותית יותר: האם ניתן להבין, באופן כללי, מה בוחר דפוס אחד ולא אחר?
בינואר 2021 פרסם טובסקו נייר שהשיבה על השאלה הזו בחיוב - לפחות במקרה של יריעה חלקה, מעוקלת ואלסטית שנלחצה לשטיחות (מצב שמציע דרך ברורה לחקור את השאלה). המשוואות שלו מנבאות כיצד קמטים אקראיים לכאורה מכילים תחומים "מסודרים", שיש להם דפוס חוזר וניתן לזיהוי. והוא שותף בכתיבת מאמר, שפורסם בחודש שעבר, שמראה תיאוריה פיזיקלית חדשה, המבוססת על מתמטיקה קפדנית, שיכולה לחזות דפוסים בתרחישים מציאותיים.
ראוי לציין כי עבודתו של טובסקו מעידה על כך שניתן לראות בקמטים, על גווניו הרבים, את הפתרון לבעיה גיאומטרית. "זו חתיכה יפה של ניתוח מתמטי," אמר סטפן מולר של מרכז האוסדורף למתמטיקה של אוניברסיטת בון בגרמניה.
הוא מציג באלגנטיות, לראשונה, את הכללים המתמטיים - והבנה חדשה - מאחורי התופעה הנפוצה הזו. "תפקיד המתמטיקה כאן לא היה להוכיח השערה שהפיזיקאים כבר העלו", אמר רוברט קון, מתמטיקאי במכון Courant של אוניברסיטת ניו יורק, ויועץ בית הספר לתארים מתקדמים של טובסקו, "אלא לספק תיאוריה שבה לא הייתה בעבר הבנה שיטתית".
להתמתח
המטרה של פיתוח תיאוריה של קמטים ודפוסים אלסטיים היא ותיקה. בשנת 1894, בסקירה ב טבע, המתמטיקאי ג'ורג' גרינהיל הצביע על ההבדל בין תיאורטיקנים ("מה עלינו לחשוב?") לבין היישומים השימושיים שהם יכלו להבין ("מה עלינו לעשות?").
במאות ה-19 וה-20, מדענים התקדמו במידה רבה בנושא האחרון, וחקרו בעיות הקשורות לקמטים בחפצים ספציפיים שעוותים. דוגמאות מוקדמות כוללות את הבעיה של חישול לוחות מתכת חלקים ומעוקלים עבור ספינות ים, וניסיון לחבר בין היווצרות הרים לחימום קרום כדור הארץ.
לאחרונה, מתמטיקאים ופיזיקאים הרחיבו את המאמץ לחבר תיאוריה ותצפית למגוון רחב של מצבי קמטים, גיאומטריות וחומרים. "זה נמשך בערך בעשר השנים האחרונות, שם אנחנו עושים תחילה ניסויים ואז מנסים למצוא את התיאוריה כדי להבין אותם", אמר המתמטיקאי דומיניק ולה של אוניברסיטת אוקספורד. "רק לאחרונה התחלנו להבין כמו שצריך."
היו אבני דרך מרגשות. בשנת 2015, פדרו רייס, מהנדס מכונות במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, תיאר חוקים פיזיקליים עבור הדוגמאות הגיאומטריות שנוצרות על כדורי סיליקון מנופחים. עבודתו חיברה את הקמטים הללו לעובי השכבות הפנימיות והחיצוניות של החומר האלסטי. רייס ציין גם כי קמטים, במקום להיחשב לפגמים, עשויים להציע הזדמנויות לעצב התנהגויות מכניות חדשות. ואז ב-2017, ולה הוביל את הניתוח של חוסר היציבות הקמטים של סרט אלסטי דק תחת לחץ, המאפיינת כיצד מספר הקמטים השתנה בהתאם לעומק הדקירה הראשונית ופרטים ספציפיים אחרים.
אבל ההתפתחויות האלה עדיין פתרו רק חלקים מהבעיה. להבנה מתמטית כללית יותר של איך נוצרים קמטים, היה צורך בגישה אחרת. טובסקו יהיה זה שיניע אותו קדימה.
בעקבות קוריוזיטי
כשהיה צעיר יותר, טובסקו חשב שילך להנדסת תעופה וחלל. הוא סיים את לימודיו באוניברסיטת מישיגן ב-2011 עם תואר ראשון בתחום, אבל בשלב זה הוא כבר נמשך לחשוב לעומק על חשיבה מתמטית ומערכות פיזיקליות. הוא קיבל דוקטורט במתמטיקה, אבל הוא מאשים את ג'ואי פאולסן, פיזיקאי כעת באוניברסיטת סירקיוז, על כך שהוא מפנה אותו לנתיב הספציפי של קמטים.
מוקדם יותר בקריירה של פולסן, כאשר חקר את התכונות של חומרים יוצאי דופן, הוא למד לייצר ולנתח סרטים פולימריים דקים במיוחד באמצעות טכניקה הנקראת ציפוי ספין. ראשית הוא היה יוצר חומר נוזלי מיוחד המכיל כמויות עקבות של פולימר מומס; ואז הוא היה מניח את החומר על צלחת מסתובבת. רוב הנוזל היה מתאדה, בעוד הפולימר התפשט לעובי אחיד לפני שהתמצק. ברגע שהייתה לו מעבדה משלו בסירקיוז, פולסן למד כיצד להתאים ציפוי ספין ליצירת סרטים מעוקלים - כמו קונכיות צב דקות במיוחד.
יום אחד, הוא הניח כמה מהסרטים המעוקלים הללו על גבי מים שקטים וצילם כיצד הם מתיישבים על פני השטח. "זה היה מונחה סקרנות בלבד", אמר. התמונות משכו את עינו של טובסקו בפגישה לא רשמית עם פולסן ב-2017.
"הם הראו שאתה יכול לקבל דפוסי קמטים מופרעים אקראיים אלה - כאשר עשית את הניסוי פעמיים, קיבלת שני דפוסים שונים," אמר טובסקו, שכיום עוזר פרופסור באוניברסיטת אילינוי, שיקגו. "רציתי לראות אם אני יכול להמציא איזו דרך ניתנת לגזירה [לחזות את הדפוסים האלה] מגמישות, שתשלב את צורת הקליפה. ושהדגם לא ישתנה מקליפה לקליפה”.
דפוסי קמטים הם תצורות עם מינימום אנרגיה אפשרית. כלומר, כשהסרט הדק מתיישב על משטח ישר, הוא מתהפך עד שהוא מוצא את סידור הקמטים, לא מסודר או לא, שלוקח את הכמות הקטנה ביותר של אנרגיה כדי לשמור עליו. "אתה יכול לארגן דפוסים לפי כמות האנרגיה שנאגרת כאשר [הדפוס] מתבטא", אמר טובסקו.
בהנהגת העיקרון המנחה הזה, הוא בודד כמה מאפיינים של הסרט שהתגלו כאלה שבוחרים את התבנית שלו, כולל מידה של צורתו הנקראת עקמומיות גאוס. משטח עם עקמומיות גאוס חיובית מתכופף מעצמו, כמו החלק החיצוני של כדור. משטחים מעוקלים שליליים, לעומת זאת, הם בצורת אוכף, כמו שבב פרינגלס: אם אתה הולך בכיוון אחד אתה נוסע למעלה, אבל אם אתה הולך לכיוון אחר אתה יורד.
טובסקו מצא שאזורים של עקמומיות גאוס חיובית מייצרים סוג אחד של סידור של תחומים מסודרים ומסודרים, ואזורים עם עקמומיות שלילית מייצרים סוגים אחרים. "הגיאומטריה המפורטת לא כל כך חשובה," אמר וולה. "זה באמת תלוי רק בסימן של העקמומיות הגאוסי."
הם חשדו שעקמומיות גאוס חשובה לקמטים, אבל וולה אמרה שזו הפתעה שהתחומים תלויים כל כך בשלט. מה שכן, התיאוריה של טובסקו חלה גם על קשת רחבה של חומרים אלסטיים, לא רק על הצורות של פאולסן. "זו בנייה גיאומטרית נחמדה שמראה היכן יופיעו קמטים," אמר וולה. "אבל ההבנה מאיפה זה מגיע היא ממש עמוקה והיא די מפתיעה."
פולסן הסכים. "מה שהתיאוריה של איאן עושה בצורה יפה מאוד זה לתת לך את כל הדפוס, בבת אחת."
קמטים מהחיים האמיתיים
בתחילת 2018, התיאוריה של טובסקו התיישבה בעיקר - אבל למרות שהיא עבדה על הנייר, הוא לא יכול היה להיות בטוח שהיא תהיה מדויקת בעולם האמיתי. טובסקו יצר קשר עם פולסן ושאל אם הוא יהיה מעוניין לשתף פעולה. "משהו פשוט עבד מיד", אמר פולסן. "עם כמה מהתחזיות של איאן, שהונחו על גבי תמונות ניסיוניות, יכולנו לראות מיד שהן מסתדרות".
בכנס החברה למתמטיקה תעשייתית ויישומית של אותה שנה בנושא היבטים מתמטיים של מדעי החומרים, הוצגה בפני טובסקו אלני קטיפורי, פיזיקאי מאוניברסיטת פנסילבניה שחקר את הבעיה של דפוסי קמטים בקליפות מוגבלות ובנה מאגר תוצאות. זה היה רגע של שלווה. "יכולנו לראות את התחומים [בהדמיות] שהעבודה של איאן הסבירה", אמרה. המשחק היה מוזר. כבר במהלך הדיונים הראשונים שלהם, היה ברור שהתיאוריה של טובסקו, התמונות הניסיוניות של פאולסן והסימולציות של קטיפורי, כולם מתארים את אותן תופעות. "אפילו בשלבים הראשונים, כשלא היה לנו משהו קונקרטי, יכולנו לראות את הקשר".
ההתרגשות המוקדמת הזו עוררה במהירות ספקנות. זה נראה כמעט טוב מכדי להיות אמיתי. "הוא מתמטיקאי והופך את כל הדברים האלה ללא-ממדיים," אמר פולסן, בהתייחסו לאופן שבו ניתן להרחיב את הרעיונות של טובסקו לגבי עקמומיות הרבה מעבר לחומרים שטוחים דו-ממדיים. "האם אנחנו באמת מסתכלים על אותה מערכת? זה מסכים, אבל זה היה צריך להסכים?"
במשך השנתיים הבאות, שלושת החוקרים פירסמו את הפרטים, והראו כי התיאוריה של טובסקו אכן ניבאה - בדיוק - את סידור הקמטים שראה פולסן בניסויים שלו וקטיפורי מצאה במודלים הממוחשבים שלה. ב-25 באוגוסט הם פרסמו מאמר ב פיזיקת טבע הצגה כיצד שלושת הגישות מתכנסות כולן לאותו סידור גיאומטרי פשוט של קמטים. יש לציין כי הם גילו שהדפוסים מתחלקים למשפחות מסודרות של משולשים שווה שוקיים שתחמו תחומים של סדר ואי-סדר. בנוסף, התוצאות אינן מוגבלות להפשטות מתמטיות של חומרים דקים בצורה בלתי אפשרית, אלא מתייחסות למספר סדרי גודל של עובי.
עבודתם מציעה גם הזדמנויות להרחיב את התיאוריה ויישומיה. קטיפורי אמרה שכפיזיקאית, היא מעוניינת לרתום את התחזיות לעיצוב חומרים חדשים. "אני רוצה להבין איך אתה יכול לעצב משטחים כך שהם למעשה מארגנים בעצמם את דפוסי הקמטים למשהו שאתה רוצה."
שאלה פתוחה נוספת היא כיצד ניתן ליישם את התיאוריה באופן כללי על סוגים שונים של משטחים מעוקלים. "זה מאוד ממוקד במצבים שבהם [עקמומיות גאוס] היא חיובית או שלילית, אבל יש הרבה מצבים עם אזורים מסוימים שהם חיוביים וחלקם שליליים," אמר וולה.
פולסן הסכים שזו אפשרות מרגשת, וטובסקו אמר שהוא פועל באופן פעיל בתחום הזה ושקול צורות אחרות של קונכיות - כמו אלה עם חורים.
אבל פולסן אמר שהתיאוריה, אפילו כפי שהיא כרגע, יפה ומפתיעה. "אם אתן לך קליפה וצורת גבול ואת מערכת הכללים הפשוטה הזו שהתיאוריה של איאן חזתה, אז אתה יכול לקחת מצפן וסרגל ובעצם לצייר את הקמטים", אמר. "זה לא היה צריך לקרות ככה. זה היה יכול להיות נורא לגמרי".
