מבוא
ג'ינה הסטודנטית לגיאומטריה נשארה ערה מאוחר מדי אתמול בלילה והכינה שיעורי בית תוך כדי צפייה הבריטים הגדולים, אז כשהיא סוף סוף הלכה לישון, מוחה המנומנם היה עדיין מלא בקאפקייקס ומצפנים. זה הוביל לחלום יוצא דופן ביותר.
ג'ינה מצאה את עצמה השופטת של ה-Great Brownie Bake Off באוניברסיטת Imaginary, בית ספר שבו תלמידים לומדים הרבה גיאומטריה אבל מעט מאוד חשבון. על צוותים של סטודנטים Imaginary U הוטל להכין את הבראוניז הגדול ביותר שיכלו, וזה היה תלוי בג'ינה לקבוע את המנצח.
צוות אלפא היה הראשון לסיים, והם הציגו בגאווה את הבראוניז המלבני שלהם לשיפוט. ג'ינה שלפה סרגל ומדדה את הבראוניז: אורכו היה 16 אינץ' ורוחב 9 אינצ'ים. צוות בטא הגיע במהירות בעקבות הבראוניז המרובע שלהם, שנמדדו 12 אינץ' מכל צד. אז התחילו הצרות.
"הבראוני שלנו ארוך בהרבה משלך," אמר הקפטן של צוות אלפא. "שלנו בבירור גדול יותר, אז אנחנו המנצחים!"
"אבל הצלע הקצרה של המלבן שלך קצרה בהרבה מהצד של הריבוע שלנו", אמר נציג מ- Team Beta. "הכיכר שלנו בבירור גדולה יותר. ניצחנו!"
לג'ינה היה מוזר להתווכח על זה. "השטח של הבראוניז המלבני הוא 9 כפול 16, שהם 144 אינץ' רבוע", אמרה. "השטח של הבראוני המרובע הוא 12 כפול 12, שזה גם 144 אינץ' רבוע. הבראוניז באותו גודל: זו עניבה".
שתי הקבוצות נראו מבולבלות. "אני לא מבין למה אתה מתכוון ב'זמנים'", אמר תלמיד אחד, שמעולם לא לימדו כפל. "גם אני לא," אמר אחר. שלישי אמר, "שמעתי על סטודנטים בקומפלקס קולג' שמודד שטח באמצעות מספרים פעם אחת, אבל מה זה אומר בכלל?" האוניברסיטה הדמיונית אכן הייתה מקום מוזר, אפילו כשהחלומות הולכים.
מה ג'ינה הייתה צריכה לעשות? איך היא יכלה לשכנע את הצוותים שהבראוניז שלהם באותו גודל אם הם לא הבינו איך למדוד שטח ולהכפיל מספרים? למרבה המזל, לג'ינה היה רעיון גאוני. "תן לי סכין," היא אמרה.
ג'ינה מדדה 12 אינץ' לאורך הצד הארוך של הבראוניז המלבני ועשתה חתך במקביל לצד הקצר. זה הפך את המלבן הגדול לשניים קטנים יותר: אחד בגודל 9 על 12 והשני 9 על 4. עם שלושה חיתוכים מהירים היא הפכה את החלק של 9 על 4 לשלושה חלקים קטנים יותר של 3 על 4. קצת סידור מחדש הביא לאוזות ואאהות נשמעות מהקהל: ג'ינה הפכה את המלבן להעתק מדויק של הריבוע.
שתי הקבוצות נאלצו כעת להסכים שהבראוניז שלהם באותו גודל. על ידי ניתוח אחד וסידורו מחדש ליצירת השני, ג'ינה הראתה ששני הבראוניז תופסים את אותו שטח כולל. ניתוחים כמו זה שימשו בגיאומטריה במשך אלפי שנים כדי להראות שהדמויות הן באותו גודל, ויש הרבה תוצאות יוצאות דופן לגבי ניתוחים ושקילות. גם היום מתמטיקאים עדיין משתמשים בנתיחה ובסידור מחדש כדי להבין באופן מלא מתי צורות מסוימות שוות ערך, מה שמוביל לכמה תוצאות מפתיעות לאחרונה.
סביר להניח שראיתם דיסקציות גיאומטריות בשיעור מתמטיקה בעת פיתוח נוסחאות השטח לצורות בסיסיות. לדוגמה, אולי תזכור ששטח המקבילה שווה לאורך הבסיס שלה כפול גובהה: הסיבה לכך היא שמקבילית ניתן לנתח ולסדר מחדש למלבן.
נתיחה זו מראה ששטח המקבילית שווה לשטח של מלבן בעל אותו בסיס וגובה, שכפי שיודע כל מי שלא למד באוניברסיטה הדמיונית, הוא תוצר של שני המספרים הללו.
אם כבר מדברים על Imaginary U, הבראוניז הגדול רק התחמם. צוות גמא ניגש עם בראוני משולש גדול. "הנה המנצח," הם הכריזו באומץ. "שני הצדדים שלנו ארוכים הרבה יותר מהאחרים."
ג'ינה מדדה את הצדדים. "גם לזה יש את אותו אזור!" היא קראה. "זהו משולש ישר זווית, והרגליים הן 18 ו-16, ולכן האזור הוא..." ג'ינה עצרה לרגע, הבחינה במבטים המבולבלים על פניהם של כולם. "הו, לא משנה. רק תן לי את הסכין."
ג'ינה חתכה בזריזות מנקודת האמצע של התחתון עד לנקודת האמצע של הרגל הארוכה, ואז סובבה את המשולש החדש שנוצר כך שיצר מלבן מושלם כאשר הוא שוכן לתוך החלק הגדול יותר.
"זה בדיוק הבראוניז שלנו!" קרא צוות אלפא. אין ספק, המלבן שהתקבל היה 9 על 16: בדיוק אותו גודל כמו שלהם.
לצוות בטא היו ספקות. "אבל איך המשולש הזה משתווה לריבוע שלנו?" שאל ראש הצוות שלהם.
ג'ינה הייתה מוכנה לזה. "אנחנו כבר יודעים שהמלבן והריבוע זהים בגודלם, אז לפי טרנזיטיביות, המשולש והריבוע באותו גודל." טרנזיטיביות היא אחת התכונות החשובות ביותר של שוויון: היא אומרת שאם a = b ו b = c, לאחר מכן a = c. ג'ינה המשיכה, "אם השטח של הבראוניז הראשון שווה לשטח השני, והשטח של הבראוניז השני שווה לשטחו של השלישי, גם לבראוניז הראשון והשלישי יש שטחים שווים".
אבל ג'ינה נהנתה מדי עם ניתוחים מכדי לעצור שם. "או שפשוט נוכל לעשות עוד כמה קיצוצים."
ראשית ג'ינה סובבה את המלבן שהיה בעבר משולש. ואז היא חתכה אותו באמצעות אותה תבנית בדיוק שבה השתמשה במלבן של צוות אלפא.
ואז היא הראתה כיצד ניתן להפוך את הנתיחה החדשה הזו של המשולש של צוות גמא לריבוע של צוות ביתא, בדיוק כפי שעשתה עם המלבן של צוות אלפא.
במצב זה אנו אומרים שהמשולש והריבוע הם "מספריים חופפים": אתה יכול לדמיין שימוש במספריים כדי לחתוך דמות אחת לחתיכות סופיות שניתן לארגן מחדש כדי ליצור את השנייה. במקרה של המשולש והריבוע, הבראוניז מראים בדיוק איך קונגרונציית המספריים הזו עובדת.
שימו לב שהתבנית פועלת בכל כיוון: ניתן להשתמש בה כדי להפוך את המשולש לריבוע או את הריבוע למשולש. במילים אחרות, התאמה של מספריים היא סימטרית: אם צורה A היא מספריים תואמת לצורה B, אז צורה B היא גם מספריים תואמת לצורה A.
למעשה, הטיעון לעיל הכולל את המשולש, המלבן והריבוע מראה שגם קונגרונסיה של מספריים היא טרנזיטיבית. מכיוון שהמשולש הוא מספריים התואם את המלבן והמלבן הוא מספריים התואם את הריבוע, המשולש הוא מספריים התואם את הריבוע. ההוכחה היא בתבניות: רק שכבו אותן על צורת הביניים, כפי שנעשה עם המלבן למעלה.
אם חותכים את המשולש לחתיכות שיוצרות את המלבן, ואז חותכים את המלבן לחתיכות שיוצרות את הריבוע, ניתן להשתמש בחלקים המתקבלים ליצירת כל אחת משלוש הצורות.
העובדה שקונגרונסיה של מספריים היא טרנזיטיבית היא לב ליבה של תוצאה מדהימה: אם לשני מצולעים יש אותו שטח, אז הם חופפים מספריים. זה אומר שבהינתן כל שני מצולעים בעלי אותו שטח, אתה תמיד יכול לחתוך אחד למספר סופי של חתיכות ולסדר אותם מחדש כדי ליצור את השני.
ההוכחה למשפט המדהים הזה היא גם פשוטה להפליא. ראשית, פורסים כל מצולע למשולשים.
שנית, הפכו כל משולש למלבן, בדומה לאופן שבו ג'ינה סידרה מחדש את הבראוני המשולש.
עכשיו מגיע החלק הטכני המסובך: הפוך כל מלבן למלבן חדש ברוחב יחידה אחת.
כדי לעשות זאת, התחל לקצוץ חלקים מהמלבן ברוחב יחידה אחת.
אם אתה יכול לקצוץ את המלבן למספר אינטגרלי של חלקים ברוחב 1, סיימת: פשוט ערמו אותם אחד על השני. אחרת, הפסיקו לקצוץ כשהחתיכה האחרונה היא ברוחב של בין 1 ל-2 יחידות, וערמו את השאר זה על גבי זה.
אל תדאג אם המלבן עצמו ברוחב פחות מיחידה אחת: פשוט פורסים אותו לשניים והשתמשו בשני החלקים כדי ליצור מלבן חדש שאורכו פי שניים ועוביו בחצי. חזור לפי הצורך עד לקבלת מלבן ברוחב של בין 1 ל-1 יחידות.
עכשיו דמיינו שלמלבן הסופי הזה יש גובה h ורוחב w, עם 1 w < 2. אנחנו הולכים לחתוך את המלבן הזה ולסדר אותו מחדש למלבן עם רוחב 1 וגובה h × w. כדי לעשות זאת, שכבה את ה- h × w מלבן עם הרצוי hw × מלבן אחד כזה.
לאחר מכן חתוך מפינה לפינה לאורך הקו המקווקו, וחתוך את המשולש הקטן בפינה הימנית התחתונה בעקבות הקצה הימני של hw × מלבן אחד.
זה חותך את h × w מלבן לשלושה חלקים שניתן לסדר מחדש ל- an hw × מלבן אחד. (הצדקת הנתיחה הסופית הזו דורשת כמה טיעונים חכמים הכוללים משולשים דומים. ראה את התרגילים למטה לפרטים).
לבסוף, שים את המלבן האחרון הזה על גבי הערימה, והפכת בהצלחה את המצולע הזה - בעצם, כל מצולע - למלבן ברוחב 1.
עכשיו אם השטח של המצולע המקורי היה A, אז הגובה של מלבן זה חייב להיות A, אז כל מצולע עם שטח A הוא מספריים תואמים למלבן עם רוחב 1 וגובה A. זה אומר שאם לשני מצולעים יש שטח A, אז שניהם מספריים חופפים לאותו מלבן, אז לפי טרנזיטיביות הם מספריים חופפים זה לזה. זה מראה שכל מצולע עם שטח A הוא מספריים תואם לכל מצולע אחר עם שטח A.
אבל אפילו התוצאה החזקה הזו לא הספיקה כדי להשלים בהצלחה את השיפוט של הבראוני בייק אוף של אוניברסיטת Imaginary. עדיין נותרה כניסה אחת, ואף אחד לא היה מופתע ממה שצוות פי הופיע איתו.
ברגע שג'ינה ראתה את המעגל הזה מגיע היא התעוררה מחלומה בזיעה קרה. היא ידעה שאי אפשר לחתוך מעגל לחתיכות רבות ולסדר אותם מחדש ליצירת ריבוע, או מלבן, או כל מצולע. בשנת 1964 הוכיחו המתמטיקאים לסטר דובינס, מוריס הירש וג'ק קארוש שמעגל אינו מספריים התואם למצולע כלשהו. החלום של ג'ינה הפך לסיוט גיאומטרי.
אבל כפי שהם עושים תמיד, מתמטיקאים הפכו את המכשול הזה למתמטיקה חדשה. בשנת 1990 הוכיח מיקלוש לצ'קוביץ' שאפשר לפרוס עיגול ולסדר אותו מחדש לריבוע, כל עוד אפשר להשתמש בחתיכות קטנות לאין-סוף, מנותקות לאין-סוף, משוננים לאין-סוף, שאי אפשר היה לייצר עם זוג מספריים.
עד כמה שהתוצאה של לצקוביץ' הייתה מפתיעה ומרגשת, היא רק הוכיחה שפירוק כזה אפשרי תיאורטית. זה לא הסביר איך לבנות את החלקים, רק שהם יכולים להתקיים. שם נכנסו אנדרס מאטה, אולג פיחורקו וג'ונתן נואל: בתחילת 2022 הם פרסם נייר שבו הם התאימו להישג של לצקוביץ', אבל עם יצירות שאפשר לדמיין.
למרבה הצער, לא תוכל להשתמש בתוצאה שלהם כדי ליישב את כל נקודות האפייה של בראוניז. מספריים לבד לא יכולות לייצר את ה-10200 חלקים הדרושים לפירוקם. אבל זה עוד צעד קדימה בתשובה לשורה ארוכה של שאלות שהתחילה כאשר ארכימדס המציא, או גילה, את $latex pi$ לראשונה. וזה גורם לנו להתקדם לקראת המצאת, או גילוי, מתמטיקה חדשה שדורות קודמים לא יכלו לחלום עליה.
תרגילים
1. הסבירו כיצד אנו יודעים שבגזירת נוסחת השטח למקבילית, המשולש שחותכים מתאים באופן מושלם לחלל בצד השני של המקבילית.
2. הסבירו מדוע ניתן לנתח כל משולש למלבן.
עבור תרגילים 3 ו-4, שקול את התרשים המשמש כדי להראות כי א h × w מלבן הוא מספריים תואם ל-an hw × מלבן אחד, עם נקודות מסומנות.
3. הסבירו מדוע $משולש לטקס$ XYQ דומה ל$latextriangle$ ABX. מה זה עושה את האורך של QY?
4. הסבירו מדוע $משולש לטקס$ PCX תואם ל-$latex triangle$ AZQ.
לחץ לתשובה 1:
ישנן דרכים רבות להראות ששני המשולשים חופפים. דרך אחת היא לשים לב שהמרחק בין ישרים מקבילים הוא קבוע, כך שלשני המשולשים הישרים הזויים יש זוג רגליים חופפות.
ובמקבילית, צלעות מנוגדות חופפות, מה שהופך את שני המשולשים לחופפים על ידי משפט קוגרונטיות משולש היפוטנוזה-רגל. אתה יכול גם להעלות טיעון באמצעות משפט קונגרואנס משולש זווית-צדדית.
לחץ לתשובה 2:
אחת התוצאות היסודיות הגדולות בגיאומטריית המשולש היא משפט קטע אמצע המשולש: אם מחברים את נקודות האמצע של שתי צלעות של משולש, קטע הישר המתקבל מקביל לצלע השלישית וחצי אורכו.
מכיוון שהקטע מקביל לצלע השלישית, זוויות 1 ו-3 הן זוויות מתאימות חופפות. וזוויות 1 ו-2 הן זוויות פנימיות של אותו צד, ולכן הן משלימות, מה שאומר שהמידות שלהן מסתכמות ב-180 מעלות. מכיוון ש-$latexangle$ 1 תואם ל-$latexangle$ 3, זה אומר שגם זוויות 3 ו-2 משלימות.
לפיכך, כאשר תהפכו את המשולש העליון מסביב וימינה, הצלעות המחוברות יתאימו בצורה מושלמת, וזוויות 2 ו-3 יהוו קו ישר.
זה הופך את המשולש למקבילית, שכפי שאנו כבר יודעים, ניתן להפוך אותה למלבן.
לחץ לתשובה 3:
השאלה היא איך? BXYZ הוא מלבן, שניהם $latexangle$ ZBC ו-$latexangle$ ZYX הן זוויות ישרות. ומכיוון שצלעות נגדיות של מלבן מקבילות, זה הופך $latexangle$ YQX תואם ל-$latexangle$ AXB, שכן הם זוויות פנימיות חלופיות. כך $latextriangle$ XYQ דומה ל$latextriangle$ ABX לפי דמיון זווית-זווית. במשולשים דומים הצלעות נמצאות בפרופורציה, אז $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. לפיכך, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, וכן QY = 1. שים לב, שכן $latexangle$ ADC הוא זווית ישרה וזווית $latex$ DAP ו-$latex angle$ YQX הן זוויות מתאימות חופפות, זה הופך את $משולש לטקס$ DAP תואם ל-$latextriangle$ YQX. זה מוכיח שאתה יכול להחליק $latextriangle$ YQX לתוך המקום שנכבש כעת על ידי $latex triangle$ DAP, כפי שנדרש בטיעון הקונגרואנס המספריים.
לחץ לתשובה 4:
שימו לב ש-$latex angle$ AZQ ו-$latexangle$ PCX שתיהן זוויות ישרות, ובכך חופפות. באמצעות מאפיינים של קווים מקבילים כמו בתרגיל 3, נוכל לראות גם את $זווית לטקס$ AQZ ו-$latex angle$ PXC הן זוויות מתאימות חופפות. גם בתרגיל 3, הראינו את זה QY = 1. זה עושה QZ = w − 1, וזה בדיוק מה CX שווה ל. לפיכך, $משולש לטקס$ PCX תואם ל-$latex triangle$ AZQ על ידי התאמה של משולש זווית-צדדית. זה מצדיק את החלק השני של הטיעון כי א h × w מלבן הוא מספריים תואם ל-an hw × מלבן אחד.
