התיאורטיקן שרואה מתמטיקה באמנות, מוזיקה וכתיבה | מגזין קוונטה

לשרה הארט תמיד הייתה עין לדרכים הסמויות שבהן מתמטיקה מחלחלת לתחומים אחרים. כילדה, היא הופתעה מהנוכחות בכל מקום של המספר 3 בסיפורי האגדות שלה. אמו של הארט, מורה למתמטיקה, עודדה את חיפוש הדפוסים שלה, ונתנה לה חידות מתמטיקה כדי להעביר את הזמן.

הארט המשיך לקבל דוקטורט בתורת קבוצות בשנת 2000 ולאחר מכן הפך לפרופסור בבירקבק, אוניברסיטת לונדון. המחקר של הארט בחן את המבנה של קבוצות קוקסטר, גרסאות כלליות יותר של מבנים המקטלגים את הסימטריות של מצולעים ומנסרות. ב-2023 היא פרסמה Once Upon a Prime, ספר על הדרכים שבהן מתמטיקה מופיעה בסיפורת ובשירה. "מכיוון שאנו בני האדם חלק מהיקום, זה אך טבעי שצורות הביטוי היצירתיות שלנו, ספרות ביניהן, יפגינו גם נטייה לדפוס ולמבנה", כתב הארט. "אם כן, מתמטיקה היא המפתח לפרספקטיבה שונה לחלוטין על ספרות."

מאז 2020, הארט הוא פרופסור לגיאומטריה במכללת Gresham בלונדון. לגרשם אין קורסים מסורתיים; במקום זאת, כל אחד מהפרופסורים שלו מעביר כמה הרצאות פומביות בשנה. הארט היא האישה הראשונה שמחזיקה אי פעם בתפקיד בן 428 השנים, שנכבש במאה ה-17 על ידי אייזק בארו, המפורסם בהוראת אייזק אחר (ניוטון). לאחרונה, הוא הוחזק על ידי רוג'ר פנרוז, מתמטיקאי שזכה בפרס נובל לפיזיקה לשנת 2020. הארט דיבר עם Quanta על האופן שבו מתמטיקה ואמנות משפיעות זו על זו. הראיון תמצה ונערך למען הבהירות.

מדוע בחרת לכתוב את ספרך על הקשרים בין מתמטיקה לספרות?

הקישורים האלה פחות נחקרים ופחות מוכרים מאלה שבין מתמטיקה, למשל, מוזיקה. הקשרים בין מתמטיקה למוזיקה נחגגים לפחות מאז הפיתגוראים. עם זאת, למרות שהיו כתיבה ומחקר אקדמי על ספרים, סופרים או ז'אנרים ספציפיים, לא ראיתי ספר לקהל הרחב על הקשרים הרחבים יותר בין מתמטיקה וספרות.

איך אנשים באמנויות צריכים לחשוב על מתמטיקה?

יש הרבה מכנה משותף בין מתמטיקה ובין שאר האומנויות. בספרות, כמו גם במוזיקה ובאמנות, אתה אף פעם לא מתחיל עם כלום. אם אתה משורר, אתה בוחר: האם יהיה לי הייקו עם אילוצים מספריים מאוד מדויקים שלו, או שאכתוב סונטה שיש בה מספר מסוים של שורות, ערכת חריזה מסוימת, מטר מסוים? גם למשהו שאין לו ערכת חריזה יהיו מעברי שורות, קצב. יהיו אילוצים שמעוררים יצירתיות, שעוזרים למקד אותך.

במתמטיקה יש לנו אותו דבר. יש לנו כמה כללי יסוד. בתוך זה, אנחנו יכולים לחקור, אנחנו יכולים לשחק, ואנחנו יכולים להוכיח משפטים. מה שמתמטיקה יכולה לעשות לאמנויות זה לעזור למצוא מבנים חדשים, להראות מהן האפשרויות. איך תיראה קטע מוזיקלי שאין לו חתימת מפתח? אנחנו יכולים לחשוב על 12 הצלילים ולסדר אותם אחרת, והנה כל הדרכים שבהן אתה יכול לעשות זאת. להלן ערכות צבעים שונות שתוכלו להמציא, הנה צורות שונות של מד פיוטי.

מהי דוגמה אחת לאופן שבו מתמטיקה הושפעה מספרות?

לפני אלפי שנים בהודו, משוררים ניסו לחשוב על המטרים האפשריים. בשירת סנסקריט יש לך הברות ארוכות וקצרות. ארוך הוא ארוך פי שניים מקצר. אם אתה רוצה לחשב כמה יש שלוקח זמן של שלושה, אתה יכול לקבל קצר, קצר, קצר, או ארוך, קצר, או קצר, ארוך. יש שלוש דרכים לעשות שלוש. ישנן חמש דרכים ליצור ביטוי באורך ארבע. ויש שמונה דרכים לעשות ביטוי אורך-חמש. הרצף הזה שאתה מקבל הוא אחד שבו כל איבר הוא הסכום של שני הקודמים. אתה משחזר בדיוק את מה שאנו מכנים כיום את רצף פיבונאצ'י. אבל זה היה מאות שנים לפני פיבונאצ'י.

מה דעתך על ההשפעה של מתמטיקה על הספרות?

רצף די פשוט, אבל הוא עובד מאוד מאוד חזק, הוא ספרה של אלינור קטון המאורות, שיצא בשנת 2013. היא השתמשה ברצף שעובר 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. כל פרק בספר הזה הוא במחצית מהאורך של הפרק הקודם. זה יוצר את האפקט המרתק הזה, כי הקצב הולך וגובר, והבחירות של הדמויות מוגבלות יותר. הכל נמהר לקראת סיומו. בסופו של דבר, הפרקים קצרים ביותר.

דוגמה נוספת למבנה מתמטי קצת יותר מסובך היא מה שנקרא ריבועים לטיניים אורתוגונליים. ריבוע לטינית הוא סוג של רשת סודוקו. במקרה זה, זו תהיה רשת של 10 על 10. כל מספר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ובכל עמודה. ריבועים לטיניים אורתוגונליים נוצרים על ידי שכבת-על של שני ריבועים לטיניים כך שיש זוג מספרים בכל רווח. הרשת שנוצרת על ידי המספר הראשון בכל זוג היא ריבוע לטיני, וכך גם הרשת שנוצרת על ידי המספר השני בכל זוג. יתר על כן, ברשת הזוגות, אף זוג לא מופיע יותר מפעם אחת.

אלה מאוד שימושיים בכל מיני דרכים. אתה יכול ליצור מהם קודים לתיקון שגיאות, שהם שימושיים לשליחת הודעות לאורך סוג של ערוצים רועשים. אבל אחד הדברים הגדולים באלה המסוימים, מידה 10, הוא שאחד המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, לאונרד אוילר, חשב שהם לא יכולים להתקיים. זו הייתה אחת הפעמים הבודדות שבהן עשה טעות; בגלל זה זה היה כל כך מרגש. זמן רב אחרי שהוא העלה את ההשערה שהדברים האלה לא יכולים להתקיים בגדלים מסוימים, היא הופרכה, וריבועים בגודל זה נמצאו ב-1959. לכסות of סיינטיפיק אמריקן השנה הזו.

שנים לאחר מכן, סופר צרפתי, ז'ורז' פרק, חיפש מבנה שישמש אותו לספרו חיים: מדריך למשתמש. הוא בחר באחד מהריבועים הלטיניים האורתוגונליים הללו. הוא קבע את ספרו בבלוק דירות בפריז, שהיה בו 100 חדרים, מרובע של 10 על 10. כל פרק היה בחדר אחר, ולכל פרק היה את הטעם הייחודי שלו. היו לו רשימות של 10 דברים - בדים שונים, צבעים, דברים מהסוג הזה. כל פרק ישתמש בשילוב ייחודי. זו דרך ממש מרתקת לבנות את הספר.

ברור שאתה מעריך כתיבה טובה. מה אתה חושב על איכות הכתיבה בעבודות מחקר במתמטיקה?

זה מאוד משתנה! אני יודע שאנחנו מעריכים קיצור, אבל אני חושב שלפעמים זה נלקח רחוק מדי. יש יותר מדי מאמרים שאין להם דוגמאות שימושיות.

מה שאנו מעריכים למעשה הוא טיעון גאוני שמכיוון שהוא מכסה את כל המקרים בבת אחת בצורה כל כך חכמה, הוא גם קצר ואלגנטי. זה לא אותו דבר כמו למעוך את הטיעון הארוך שלך לחלל קטן יותר ממה שהוא צריך על ידי כיסוי הדף בסימנים מסתוריים שיצרת כדי להפוך את הסימון לקצר יותר, אבל שלא רק הקורא אלא כנראה אתה בעצמך תצטרך לפרוק בעמל רב. שוב כדי להבין מה קורה.

אנחנו לא מקדישים מספיק מחשבה לסימון מועיל שמזכיר לקורא למה הכוונה. הסימון הנכון יכול לשנות באופן מוחלט קטע של מתמטיקה, ויכול לפנות מקום גם להכללות. חשבו על המעבר, היסטורית, מכתיבת לא ידוע, הריבוע שלו והקוביה שלו עם שלוש אותיות שונות, וכמה יותר סביר, ואפילו אפשרי, זה להתחיל לחשוב על  מתי התחלת לכתוב  ובמקום זאת.

האם אתה רואה אבולוציה בקשרים בין מתמטיקה לאמנות?

יש דברים חדשים כל הזמן. פרקטלים היו בכל מקום בשנות התשעים. על כל קיר מעונות סטודנטים הייתה תמונה של סט מנדלברוט או משהו כזה. כולם היו כמו, "הו, זה מרגש, פרקטלים." אתה מקבל, למשל, מוזיקאים, מלחינים, שמשתמשים ברצפים פרקטליים ביצירות שלהם.

כשהייתי בערך בן 16, היו דברים חדשים שנקראים מחשבונים גרפיים. מאוד מרגש. וחברה של אמי נתנה לי את התוכנית הזו שיכולה לצייר סט מנדלברוט על אחד מהמחשבונים הגרפיים הקטנים האלה. היו לו בערך, אני לא יודע, 200 פיקסלים. אתה מתכנת את הדבר הזה ואז הייתי צריך להשאיר אותו ל-12 שעות. זה יתכנן את 200 הנקודות האלה בסוף זה. אז אפילו תלמידי בית ספר סתם יכלו לעסוק בזה בסוף שנות ה-80 ותחילת שנות ה-90, ולהפיק את התמונות הללו לעצמם.

אפילו כשהיית בבית הספר, כבר התעניינת מאוד במתמטיקה הארדקור, זה נשמע כמו.

 אני חושב שהתעניינתי עוד לפני שידעתי שזה אומר שאני מתמטי. כאילו, פשוט תמיד הכנתי דפוסים מאז שהייתי ילד קטן וקטנטן.

כשהייתי די קטן, הצעצוע האהוב עליי היה כמה אריחי עץ פשוטים מאוד צבועים. הם הגיעו בכל הצבעים השונים. הייתי עושה מהם דפוסים, ואז הייתי מסתכל על זה בגאווה במשך יום בערך, ואז הייתי מכין עוד אחד.

כשהתבגרתי קצת, הייתי משחק עם מספרים ומסתכל על דפוסים. אמא תהיה זו שאלך אליה ואגיד, "משעמם לי." ואז היא הייתה אומרת, "ובכן, אתה יכול לחשב מה התבנית של מספר הנקודות שאתה צריך כדי ליצור משולש?" או מה שזה לא היה. היא תבקש ממני לגלות מחדש את המספרים המשולשים או משהו, ואני אתרגש מאוד.

אמא שלי המסכנה, מספר ההמצאות המדהימות שהייתי הולך איתן לאמא שלי. "פיתחתי דרך חדשה לגמרי לעשות משהו!" והיא הייתה אומרת, "בסדר, זה מאוד נחמד. אבל, אתה יודע, דקארט חשב על זה לפני מאות שנים." ואז הייתי יוצא; העליתי רעיון מדהים אחר כמה ימים לאחר מכן. "זה מקסים, יקירי. אבל ליוונים הקדמונים היה כזה."

האם אתה זוכר רגעים מספקים במיוחד מקריירת המחקר שלך במתמטיקה?

הרגעים שבהם אתה סוף סוף מבין מה הדפוס שאתה רואה הם תמיד מספקים, כמו גם כשאתה חושב איך להשלים הוכחה שאיתה נאבקת. הזיכרונות הכי חזקים שלי מרגשות העונג האלה, כנראה בגלל שהם היו הפעמים הראשונות שהרגשתי אותם, הם מתחילת הקריירה המחקרית שלי. אבל זו עדיין הרגשה מקסימה לקבל את ה"אהה" הזה, כשאתה סוף סוף מבין מה קורה.

בשלב מוקדם מאוד ניסיתי להוכיח משהו על קבוצות קוקסטר אינסופיות. פתרתי כמה מהמקרים, ובהסתכלתי על השאר הגעתי לטכניקה שתעבוד אם קריטריון מסוים יעמוד בסיפוק. אפשר לכתוב את הקשרים האלה בגרף, אז התחלתי להרכיב אוסף של הגרפים שעבורם אפשר ליישם את הטכניקה שלי. זה היה במהלך חג המולד שנה אחת.

לאחר זמן מה, סט התמונות שלי התחיל להיראות כמו סט מסוים של גרפים שהיו רשומים בספר על קבוצות Coxeter שהיה במשרד שלי, והתחלתי לקוות שזוהי סט הגרפים המדויק הזה. אם כן, אז זה ישלים את החור בהוכחה שלי, והמשפט שלי יסתיים. אבל לא יכולתי לבדוק בוודאות עד שחזרתי לאוניברסיטה אחרי חג המולד - זה היה לפני שיכולת פשוט לחפש הכל בגוגל. אני חושב שהציפייה להמתין כדי לאשר את התחושה שלי עשתה את זה אפילו טוב יותר כשהגעתי לספר והשוויתי את סט התרשימים בכתב היד שלי לאלה שבספר, והם אכן התאימו.

מה דעתך על השאלה אם מתמטיקה נוצרת או מתגלה? כמעט אף אחד לא יטען שמישהו מהסופרים שאתה כותב עליהם בספר שלך "גילה" את הרומנים שלהם. האם זה הבדל מהותי בין מתמטיקה לספרות או לא?

כנראה שכן, למרות שעדיין יש כמה תהודות.

לעשות מתמטיקה מרגיש כמו גילוי. אם היינו ממציאים את המתמטיקה, זה בוודאי לא היה כל כך קשה להוכיח דברים! לפעמים אנחנו מאוד רוצים שמשהו יהיה נכון, וזה לא. אנחנו לא יכולים להימנע מההשלכות של ההיגיון, אני מניח.

כל זה מרגיש כמו גילוי כשאתה עושה את זה. בחירות מסוימות משקפות את מה שאנו חווים בעולם האמיתי, כמו האקסיומות של הגיאומטריה שאנו עובדים איתן, שנבחרות כי זה נראה בערך כמו המציאות - למרות שגם שם, אין דבר כזה "נקודה" או "נקודה" קו” (כי אנחנו לא יכולים לצייר משהו שלא תופס מקום, ולקו בגיאומטריה אין רוחב והוא משתרע למרחקים לאין שיעור).

במידה מסוימת, יש הקבלות לרצף הזה בספרות. ברגע שתגדיר את הכללים של סונטה, יהיה לך קשה לכתוב אחת שהשורה הראשונה שלה מסתיימת ב"כתום" או "ארובה".

אבל אני לא יכול להתאפק מלחלוק משהו J.R.R. טולקין אמר על כתיבה The Hobbit: "הכל התחיל כשקראתי עבודות בחינות כדי להרוויח קצת כסף נוסף. ... ובכן, יום אחד הגעתי לדף ריק בספר בחינות ושרבטתי עליו. 'בחור באדמה חי הוביט'. לא ידעתי יותר מזה על היצורים, ועברו שנים עד שהסיפור שלו צמח. אני לא יודע מאיפה באה המילה".

הוביטים - האם הוא יצר אותם או גילה אותם?