מבוא
תורת הקשרים החלה כניסיון להבין את המבנה הבסיסי של היקום. בשנת 1867, כאשר מדענים ניסו בשקיקה להבין מה יכול להסביר את כל סוגי החומרים השונים, המתמטיקאי והפיזיקאי הסקוטי פיטר גאת'רי טייט הראה לחברו ובן ארצו סר ויליאם תומסון את המכשיר שלו לייצור טבעות עשן. תומסון - לימים הפך לורד קלווין (שמו של סולם הטמפרטורה) - נשבה בצורות המפתות של הטבעות, ביציבותן ובאינטראקציות ביניהן. השראתו הובילה אותו לכיוון מפתיע: אולי, חשב, כשם שטבעות העשן היו מערבולות באוויר, אטומים היו טבעות מערבולת קשורות באתר הזוהר, תווך בלתי נראה שדרכו, האמינו הפיזיקאים, התפשט האור.
למרות שהרעיון הזה מהתקופה הוויקטוריאנית אולי נשמע מגוחך, זה לא היה חקירה קלת דעת. לתיאוריית המערבולת הזו היו הרבה מה להמליץ עליה: המגוון העצום של קשרים, כל אחד שונה במקצת, נראה ששיקף את התכונות השונות של היסודות הכימיים הרבים. היציבות של טבעות מערבולת עשויה גם לספק את הקביעות שהאטומים דרשו.
תורת הוורטקס זכתה למשיכה בקהילה המדעית והעניקה השראה לטאיט להתחיל לשרטט את כל הקשרים, וליצור את מה שהוא קיווה שיהיה שווה ערך לטבלת אלמנטים. כמובן, אטומים אינם קשרים, ואין אתר. בסוף שנות ה-1880 תומסון זנח בהדרגה את תיאוריית המערבולת שלו, אבל אז טייט נשבה באלגנטיות המתמטית של הקשרים שלו, והוא המשיך בפרויקט הטבלה שלו. תוך כדי כך הוא הקים את התחום המתמטי של תורת הקשרים.
כולנו מכירים קשרים - הם מחזיקים נעליים על הרגליים, סירות מאובטחות לרציפים ומטפסי הרים מהסלעים שמתחת. אבל הקשרים האלה הם לא בדיוק מה שמתמטיקאים (כולל טייט) היו מכנים קשר. למרות שכבל מאריך סבוך עשוי להיראות מסוקס, תמיד אפשר לפרק אותו. כדי לקבל קשר מתמטי, עליך לחבר את הקצוות החופשיים של הכבל ליצירת לולאה סגורה.
מכיוון שהגדילים של קשר גמישים כמו חוט, מתמטיקאים רואים בתורת הקשרים תת-תחום של טופולוגיה, חקר צורות ניתנות לגיבוש. לפעמים אפשר להתיר קשר כך שהוא הופך למעגל פשוט, שאנו קוראים לו "לא הקשר". אבל לעתים קרובות יותר, להתיר קשר הוא בלתי אפשרי.
קשרים יכולים גם לשלב כדי ליצור קשרים חדשים. לדוגמא, שילוב של קשר פשוט המכונה ה-trefoil עם תמונת המראה שלו מייצר קשר מרובע. (ואם אתה מצטרף לשני קשרים זהים, אתה עושה קשר סבתא.)
תוך שימוש בטרמינולוגיה מעולם המספרים, מתמטיקאים אומרים שהגמל הוא קשר ראשוני, הקשר המרובע מורכב וכמו המספר 1, הבלתי-קשר אינו אף אחד מהם. אנלוגיה זו זכתה לתמיכה נוספת בשנת 1949 כאשר הורסט שוברט הוכיח שכל קשר הוא ראשוני או שניתן לפרק אותו באופן ייחודי לקשרים ראשוניים.
דרך נוספת ליצור קשרים חדשים היא לשזור שני קשרים או יותר, וליצור קישור. הטבעות הבורומיאניות, הנקראות כך משום שהן מופיעות על הסמל של בית בורומיאו האיטלקי, הן דוגמה פשוטה.
תומסון וטייט לא היו הראשונים שראו קשרים בצורה מתמטית. כבר בשנת 1794, קארל פרידריך גאוס כתב על וצייר דוגמאות של קשרים במחברתו האישית. ותלמידו של גאוס, יוהאן ליסטינג, כתב על קשרים במונוגרפיה שלו משנת 1847 Vorstudien zur Topologie ("מחקרים ראשוניים של טופולוגיה") - שהוא גם מקור המונח טופולוגיה.
אבל טייט היה החוקר הראשון שעבד על מה שהפך לבעיה הבסיסית בתורת הקשרים: הסיווג והטבלה של כל הקשרים האפשריים. במשך שנים של עבודה קפדנית תוך שימוש באינטואיציה הגאומטרית שלו בלבד, הוא מצא וסיווג את כל הקשרים העיקריים שכאשר מוקרנים על מטוס, יש להם לכל היותר שבעה מעברים.
בסוף המאה ה-19 נודע לטאיט ששני אנשים נוספים - הכומר תומס קירקמן והמתמטיקאי האמריקני צ'רלס ליטל - חוקרים גם הם בעיה זו. עם מאמציהם המשולבים, הם סיווגו את כל הקשרים העיקריים עם עד 10 מעברים ורבים מהם עם 11 מעברים. באופן מדהים, השולחנות שלהם עד 10 היו שלמים: הם לא החמיצו שום קשר.
זה מדהים שטייט, קירקמן וליטל השיגו כל כך הרבה בלי המשפטים והטכניקות שיתגלו בשנים הבאות. אבל דבר אחד שעבד לטובתם הייתה העובדה שרוב הקשרים הקטנים הם "מתחלפים", כלומר יש להם השלכה שבה המעברים מציגים תבנית יתר-מתחת-על-מתחת עקבית.
לקשרים מתחלפים יש תכונות שמקלות על סיווגם מאשר קשרים לא מתחלפים. לדוגמה, קשה למצוא את המספר המינימלי של מעברים עבור כל הקרנה של קשר. אבל טייט, שבמשך שנים הניח בטעות שכל הקשרים מתחלפים, שיער דרך לדעת אם מצאת את המספר המינימלי הזה: אם להקרנה מתחלפת אין צלבים שניתן להסיר על ידי היפוך חלק מהקשר, אז זה חייב להיות התחזית עם המספר המינימלי של מעברים.
זה ועוד שתיים מההשערות של Tait לגבי קשרים מתחלפים בסופו של דבר היו נכונים. אולם ההשערות המפורסמות הללו לא הוכחו עד סוף שנות ה-1980 ותחילת שנות ה-90 באמצעות כלי מתמטי שפותח ב-1984 על ידי ווהן ג'ונס, שזכה במדליית פילדס על עבודתו בתורת הקשרים.
למרבה הצער, קשרים מתחלפים רק לוקחים אותך עד כה. ברגע שאנו נכנסים לקשרים עם שמונה או יותר מעברים, מספר הקשרים הלא מתחלפים גדל במהירות, מה שהופך את הטכניקות של Tait לפחות שימושיות.
הטבלה המקורית של כל 10 הקשרים הושלמה, אבל טייט, קירקמן וליטל ספרו פעמיים. רק בשנות ה-1970, קנת פרקו, עורך דין שלמד את תורת הקשרים בפרינסטון, שם לב ששניים מהקשרים הם תמונות מראה זה של זה. הם ידועים כעת כצמד פרקו לכבודו.
במהלך המאה האחרונה, מתמטיקאים מצאו דרכים חכמות רבות לקבוע אם הקשרים באמת שונים. בעיקרו של דבר, הרעיון הוא לעשות לזהות אינווריאנט - תכונה, כמות או ישות אלגברית הקשורה לקשר ולעיתים קרובות ניתן לחשב אותה בפשטות. (למאפיינים אלה יש שמות כמו צבעוניות, מספר גשר או פיתול.) חמושים בתוויות אלה, מתמטיקאים יכולים כעת להשוות בקלות בין שני קשרים: אם הם שונים בתכונה מסוימת, אז הם אינם אותו קשר. עם זאת, אף אחת מהמאפיינים הללו אינה מה שהמתמטיקאים מכנים אינוריאנט מוחלט, כלומר שלשני קשרים שונים עשויה להיות אותה תכונה.
בגלל כל המורכבות הזו, זה אולי לא מפתיע שטבלת הקשרים עדיין נמשכת. לאחרונה, ב-2020, בנג'מין ברטון סיווג את כל קשרי היסוד עד 19 מעברים (מתוכם יש כמעט 300 מיליון).
תורת הקשרים המסורתית הגיונית רק בתלת מימד: בדו מימד רק הבלתי-קשר אפשרי, ובארבעה מימדים החדר הנוסף מאפשר לקשרים להתיר את עצמם, כך שכל קשר זהה לבלתי-קשר.
עם זאת, במרחב הארבע-ממדי אנו יכולים לקשור כדורים. כדי להבין מה זה אומר, דמיינו לחתוך כדור רגיל במרווחי זמן קבועים. פעולה זו מניבה עיגולים, כמו קווי רוחב. עם זאת, אם היה לנו ממד נוסף, נוכל לקשור את הכדור כך שהפרוסות, כעת תלת מימדיות ולא שתיים, יכולות להיות קשרים.
רעיון זה עמד מאחורי אחת התוצאות הגדולות ביותר לאחרונה בתורת הקשרים. בשנת 2018, סטודנטית לתואר שני, ליסה פיצירילו הכריע שאלה בת 50 שנה על קשר של 11 חוצים שהתגלה לראשונה על ידי ג'ון קונווי. השאלה הייתה קשורה למאפיין שנקרא פרוסות. כפי שראינו, כאשר אנו פורסים כדור מסוקס בארבעה מימדים, אנו מקבלים קשר או חוליה בתלת מימד. לפעמים אנחנו יכולים להשיג קשר נתון מכדור מסוקס בצורה חלקה, אבל עבור קשרים אחרים יש לקשר את הכדור ולקמט אותו כמו פיסת נייר פסולת. פיקירילו הוכיח, בעצם, שהקשר של קונווי היה מהסוג האחרון. בשפה טכנית, היא הוכיחה שזה לא "נתח חלק".
תורת הקשרים חצתה את הנוף המתמטי במשך מאות שנים. זה התחיל כתחום יישומי של מתמטיקה, כאשר תומסון ניסה להשתמש בקשרים כדי להבין את מבנה החומר. כשהרעיון הזה דעך, הוא הפך לתחום של מתמטיקה טהורה, ענף של התחום המסקרן ועדיין לא מעשי של הטופולוגיה. אבל בשנים האחרונות תורת הקשרים הפכה שוב לתחום יישומי במתמטיקה, שכן מדענים משתמשים ברעיונות מתורת הקשרים כדי לחקור דינמיקה נוזלית, אלקטרודינמיקה, מולקולות מסוקסות כגון DNA וכולי. למרבה המזל, בזמן שמדענים היו עסוקים בלימוד דברים אחרים, מתמטיקאים בנו קטלוגים של קשרים וכלים להתיר את הסודות שלהם.
