トリッキーな数学的タイリングの簡単な歴史 | クアンタマガジン

私たちは毎日、モチーフが繰り返される例を目にします。 この対称性と規則性は、建物の壁のレンガ積みや蜂の巣の六角形パターンのように、ありふれたものでほとんど目に見えないものに見えることがあります。 あるいは、幸運にもスペインのアルハンブラ宮殿のエレガントなタイル細工や MC エッシャーの独創的な絵のようなものに出会うことができれば、そのパターンは私たちにインスピレーションを与え、驚かせることができます。

何世紀にもわたって、数学者はこれらの繰り返しの形状を遊び、そこから魅力的な洞察と新たな可能性を引き出してきました。 数学の美しさは、デザイン自体の美しさに匹敵します。

最も単純なタイリングは、同じ長さの辺と同じ角度の角度を持つ同一の多角形がエッジからエッジまで結合されたもので構成されます。 しかし、これらの「正」多角形は辺の数ごとに XNUMX つずつ無限に存在しますが、XNUMX つ、XNUMX つ、または XNUMX つの辺を持つ形状、つまり三角形、正方形、六角形で形成された正則タイリングは XNUMX つだけです。

他の形状はそのために作られていません。 正五角形（108つの辺がある）の内角は360度です。 これは XNUMX 度に均等に分割されていないため、正五角形をタイル状に組み立てようとすると、必ず埋めることのできない隙間が生じます。 正五角形は平面をタイル化できないと言います。 また、XNUMX 辺を超える正多角形の内角は XNUMX つが XNUMX 点で交わるには大きすぎるため、どちらも交わることができません。

正多角形によるタイリングに関する別の解釈は、今日では惑星の運動に関する発見で最もよく知られているヨハネス・ケプラーによるものです。 1619 年に、彼は、複数の正多角形を使用した場合でも、各頂点の周囲の構成が同一である新しいタイリング パターンは XNUMX つしか作成できないことを示しました。 (この制限から逸脱することが許可される場合は、さらに多くの可能性があります。)

不規則なポリゴンを許可すると、物事はさらに面白くなります。 驚くべきことに、すべての三角形は平面をタイル化でき、さらに驚くべきことに、すべての四角形もタイル化できます。

一方、XNUMX 辺を超える凸多角形で平面をタイリングすることは不可能です。 内角の合計が大きすぎます。 したがって、残りの可能性としては五角形と六角形だけが残ります。

カール ラインハルトは 1918 年の博士論文で、平面を無限に多くの凸六角形 (くぼみのない六角形) でタイル状に並べることが可能であることを証明し、それらを XNUMX つのグループに分類しました。

平面をタイル状に配置する凸五角形は、分類するのがより困難でした。 ラインハルトは、そのような五角形の 50 つのファミリーを発見しました。 1975年後、リチャード・カーシュナーはさらにXNUMXつを発見した。 そして XNUMX 年に、マーティン ガードナーはこの問題について次のように書きました。 サイエンティフィック·アメリカン、プロとアマチュアの数学者の両方の注目を集めています。 そのようなアマチュアの一人、リチャード・ジェームス三世というコンピュータープログラマーは、ガードナーにXNUMX番目の家族の例を送り、「カーシュナーがこれを見逃したことに同意しますか?」と尋ねた。 彼は持っていた。

主婦のマージョリー・ライスさんもガードナー氏のコラムを読み、台所のテーブルでその問題について頭を悩ませ始めた。 彼女はXNUMX年以上いじくり回し、発見した あとXNUMX家族 五角形をタイル状に並べたもの。

研究者らは 14 年にタイル張りの五角形の 1985 番目のファミリーを発見し、その 15 年後、別のチームがコンピューター検索を使用して 2017 番目のファミリーを発見しました。 この発見でリストが完成したのか、それともまだ隠れている家族がまだいるのか、誰も知りませんでした。 その疑問は XNUMX 年にマイケル・ラオによって答えられました。 証明 すべての凸タイリング五角形、およびすべての凸タイリング多角形が見つかったことを意味します。

これらすべてのタイリングが繰り返されます。 つまり、それらは周期的な対称性を持っています。これは基本的に、紙の上のタイリングをトレースし、その紙を特定の方向にスライドさせると、再びタイリングと正確に並ぶことを意味します。

他の種類の対称も可能です。 たとえば、鏡面対称性は、一定の線を中心にトレーシングペーパーを裏返すとパターンが揃うことを意味します。 回転対称とは、紙を回転させるとそれらが整列することを意味します。 また、アクションを組み合わせてグライド反射対称性を得ることができます。これは、紙を滑らせて裏返すようなものです。

1891 年、ロシアの結晶学者エフグラフ フェドロフは、これらの対称性を組み合わせる方法は 17 通りしかないことを証明しました。 この制限は飛行機のすべての定期的な装飾に適用されるため、これらは 17 の「壁紙グループ」と呼ばれます。

対称パターンのこの分類に慣れると、たとえ複雑であっても、周期的なデザインを見て、それを解読するためのパズルとして見ずにいることはほぼ不可能になります。つまり、正確にどこでどのように繰り返されるのか? その対称性はどこにあるのでしょうか？

もちろん、すべてのタイル デザインが周期的であるわけではありません。 結果として得られるデザインが繰り返されないように、タイルを平面内に配置することは可能であり、多くの場合簡単です。 六角形、正方形、三角形を使用した例では、単一の六角形とその周囲の多角形を 30 度回転するだけでこれを行うことができます。 結果として得られるタイリングには並進対称性がなくなりました。

1961 年、論理学者の Hao Wang は、一連の形状が平面をタイル状に配置する場合、その形状は定期的に平面をタイル状に配置できるに違いないと推測しました。 わずか数年後、彼の大学院生ロバート・バーガーは、飛行機をタイル状に並べているが、それが不定期に存在する 20,000 枚を超える大量のタイルを発見し、彼の間違いを証明しました。 このようなタイル セットは非周期的と呼ばれます。

バーガーらはこれらの非周期セットのサイズを大幅に縮小することに成功しましたが、1970 年代半ばにロジャー ペンローズが独自の非周期タイルの非常に小さなセットを発見して世界の注目を集めました。 最小のセットには XNUMX つのタイルだけが必要です。

これらの形やパターンは、数学者、科学者、そして一般の人々を魅了しました。 しかし、彼らは明白な次の疑問を提起しました: 単一の非周期タイルは存在するのでしょうか? タイル理論の究極の探求は、そのような「アインシュタイン」タイルを見つけることでした。このタイルは、物理学者にちなんでではなく、ドイツ語のフレーズ「one stone」にちなんで名付けられました。

2010 年、ジョシュア ソコラーとジョアン テイラーはアインシュタインの発見に非常に近づきました。 彼らのアプローチの問題点は、 彼らのタイルを切断する必要がありました; これは、カリフォルニアのような接続された形状ではなく、別々の領域で構成される単一のエンティティであるハワイ州のような形状で平面をタイリングするようなものです。 数学者たちは、アインシュタインが存在するとしたら、それは幾何学的に非常に複雑なものに違いないと疑うようになった。

2023年XNUMX月、一人のアマチュアが再び世界に衝撃を与えた。 デイビッド・スミスという名前の元印刷技術者で数学愛好家が発見したのは、非周期的なモノタイルを XNUMX つだけではなく、 無限の家族 これらのとらえどころのないアインシュタインについて。 彼は、コンピューターサイエンス、数学、タイル理論の専門家であるクレイグ・カプラン、チャイム・グッドマン＝ストラウス、ジョゼフ・サミュエル・マイヤーズをループさせ、彼らは一緒にハットタイルと呼ばれる幾何学的に単純なアインシュタインを提示した（インターネットではこれがTシャツに見えると思われていた） ）。

反応は迅速かつ肯定的でした。 発見者らはカンファレンスで講演したり、オンラインで講演したりした。 数学アーティストたちは、これらの新しい幾何学的に興味深いタイルに基づいてエッシャーのようなデザインを生み出す創造的な方法を見つけるチャンスに飛びつきました。 この帽子タイルは、ある深夜テレビ番組のモノローグにも登場しました。

しかし、まだ改善の余地がありました。 飛行機に帽子をタイル状に配置するには、タイルの約 XNUMX 分の XNUMX を上下逆さまにする必要があります。 バスルームをハットタイルでタイル張りしたい住宅所有者は、標準タイルとその鏡像タイルの XNUMX 種類のタイルを購入する必要があります。 これは本当に必要でしたか?

ハットタイルの興奮が冷めやらぬうちに、チームは新たな発表を行った。 スミスは、その無限の非周期モノタイル群の中で、反射されたコピーを必要とせずに平面をタイリングできる「スペクトル」と呼ぶものを発見しました。 ついに本物のアインシュタインが現れた。

私たちは現在、タイリングとテッセレーションの数学的探求が復活している真っ最中です。 それはアマチュアからの重要な貢献に依存し、数学芸術家の創造性を刺激し、コンピューターの力を利用して知識の限界を押し広げてきました。 そしてそこから、私たちは対称性、幾何学、デザインの性質について新たな洞察を獲得しました。

訂正： 2023 年 10 月 30 日
この記事の元のバージョンでは、XNUMX 辺を超えるポリゴンで平面をタイリングすることは不可能であると述べられていました。 これは、ポリゴンが凸面の場合にのみ当てはまります。

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