数学の有名なフラクタルであるマンデルブロ集合を解読する探求 |クアンタマガジン

1980 年代半ば、ウォークマン カセット プレーヤーや絞り染めのシャツと同様に、マンデルブロ セットの虫のようなシルエットがいたるところにありました。

学生たちはそれを世界中の寮の部屋の壁に貼り付けました。数学者たちは、このセットの印刷物を求める熱心な手紙を何百通も受け取りました。 (これに応じて、価格表を完備したカタログを作成した企業もあれば、その最も印象的な機能を書籍にまとめた企業もあった。) さらにテクノロジーに精通したファンは、雑誌の 1985 年 XNUMX 月号に目を向けるかもしれない。 サイエンティフィック·アメリカン。その表紙では、マンデルブロのセットが燃えるような蔓で展開され、その境界線が燃えていました。中には、読者が自分で象徴的なイメージを生成する方法を詳しく説明した、注意深いプログラミング手順が記載されていました。

その時までに、それらの蔓は数学をはるかに超えて、一見無関係に見える日常生活の隅々までその範囲を広げていました。今後数年以内に、マンデルブロのセットはデイヴィッド・ホックニーの最新の絵画や数人の音楽家の最新の作品、つまりバッハ風のフーガのような作品にインスピレーションを与えることになります。それはジョン・アップダイクの小説のページに登場し、文芸評論家のヒュー・ケナーがエズラ・パウンドの詩をどのように分析したかの指針となった。それはサイケデリックな幻覚の主題となり、SF 界の偉大なアーサー・C・クラークがナレーションを務める人気ドキュメンタリーの題材となった。

マンデルブロ集合は、フラクタルの輪郭を持つ特別な形状です。コンピューターを使用してセットのギザギザの境界を拡大すると、タツノオトシゴの谷や象のパレード、渦巻銀河、ニューロンのようなフィラメントに遭遇するでしょう。どれだけ深く探索しても、元のセットのほぼコピー、つまり無限の目まぐるしい自己相似のカスケードが常に表示されます。

その自己類似性は、ジェームズ・グリックのベストセラー本の核となる要素でした カオス、大衆文化におけるマンデルブロセットの地位を確固たるものにした。 「そこにはアイデアの世界が詰まっていた」とグリック氏は書いている。 「現代の芸術哲学、数学における実験の新しい役割の正当化、複雑なシステムを大勢の前に持ち出す方法。」

マンデルブロ集合は象徴となっていました。それは、私たちの周りの世界のフラクタルな性質を説明するより良い方法である、新しい数学言語の必要性を表していました。それは、人生そのものと同じように、最も単純なルールからいかに奥深い複雑さが生み出されるかを示しました。 (「したがって、これは本当の希望のメッセージです。」 ジョン・ハバード、この集合を研究した最初の数学者の一人は、1989 年のビデオで、「これらの絵を理解できるのと同じ方法で、生物学を実際に理解できるかもしれない」と述べました。) マンデルブロ集合では、秩序とカオスが調和して生きていました。決定論と自由意志は調和する可能性がある。ある数学者は、XNUMX代の頃にこのセットに偶然遭遇し、それが真実と虚偽の間の複雑な境界の比喩であると見たことを思い出した。

マンデルブロ集合は、そうでなくなるまではどこにでもありました。

40年も経たないうちに、それは消えてしまったようです。数学者は他の主題に移り、一般大衆は他の記号に移りました。発見からわずか XNUMX 年が経った今日、フラクタルは決まり文句の境界線のキッチュになりました。

しかし、少数の数学者はそれを手放すことを拒否した。彼らはマンデルブロ集合の秘密を解明することに人生を捧げてきました。今、彼らはついにそれを真に理解できるところまで来ていると考えています。

彼らの物語は、探求と実験の物語であり、テクノロジーが私たちの考え方そのものをどのように形作っているのか、また世界について私たちが尋ねる質問をどのように形作っているのかを物語っています。

賞金稼ぎ

2023 年 20 月、世界中から 1800 人の数学者が、かつてデンマークの軍事研究基地だった場所にあるレンガ造りのしゃがんだ建物に集まりました。この基地は森の真ん中に XNUMX 年代後半に建てられ、デンマークで最も人口の多い島の北西海岸のフィヨルドにひっそりと佇んでいました。古い魚雷が入り口を守っていました。制服を着た海軍士官、埠頭に並ぶボート、進行中の潜水艦試験などを描いた白黒写真が壁を飾った。 XNUMX日間、激しい風が窓の外の水を白波に巻き上げる中、グループは一連の講演を続けた。そのほとんどはニューヨークのストーニーブルック大学のXNUMX人の数学者によるものだった。 ミーシャ・リュービッチ および ディマ・ドゥドコ.

ワークショップの聴衆には、マンデルブロ集合の最も勇敢な探検家の何人かがいました。前の席の近くに 獅子倉光博 彼は 1990 年代に、集合の境界が可能な限り複雑であることを証明しました。数席オーバーでした 稲生裕之彼らは獅子倉とともに、マンデルブロ集合の特に注目度の高い領域を研究するための重要な技術を開発しました。最後の行にあったのは、 ウルフ・ユング、マンデルブロ集合を対話的に調べるための数学者頼りのソフトウェア、マンデルの作成者です。また、出席したのは、 アルノー・シェリタ トゥールーズ大学の、 カールステン・ピーターセン ロスキレ大学の教授 (ワークショップを企画した)、および数学者のマンデルブロ集合の理解に多大な貢献をした他の数名。

そしてホワイトボードには、このテーマの世界第一人者であるリュビッチ氏と、彼の最も近い協力者の一人であるドゥドコ氏が立っていた。数学者たちと一緒に ジェレミー・カーン および アレックス・カピアンバ、彼らはマンデルブロ集合の幾何学的構造についての長年の予想を証明するために取り組んできました。 MLC として知られるこの予想は、フラクタルを特徴づけ、その絡み合った荒野を飼いならすという数十年にわたる探求における最後の障害です。

強力なツールセットを構築し、洗練させることによって、数学者は「マンデルブロ集合のほぼすべて」の幾何学を制御することに取り組んできたという。 キャロラインデイビス インディアナ大学の教授 — 残りの少数のケースを除いて。 「ミーシャとディマ、ジェレミーとアレックスは、最後の者たちを追跡しようとする賞金稼ぎのようなものです。」

Lyubich と Dudko は、MLC の証明に向けた最近の進歩と、そのために開発した技術について他の数学者に最新情報を伝えるためにデンマークに来ていました。過去 20 年間、研究者たちがここに集まり、マンデルブロ集合を生成するために使用される数値や関数の種類の数学的研究である複素解析の分野における結果と手法を解明することに専念するワークショップが開催されてきました。

それは珍しい設定でした。数学者たちはすべての食事を一緒に食べ、ビールを飲みながら明け方まで話したり笑ったりしました。ようやく寝ようと決心すると、彼らは施設の2階にある共同の小さな部屋の二段ベッドや簡易ベッドに寝た。 （私たちが到着すると、山からシーツと枕カバーを取り出し、2階に持って行き、ベッドを整えるように言われました。） 年によっては、カンファレンス参加者が極寒の海で泳ぐ勇気を出していることもあります。より頻繁に、彼らは森の中を歩き回ります。しかし、ほとんどの場合、数学以外にやることはありません。

参加者の一人が私に語ったところによると、通常、ワークショップには多くの若い数学者が集まるそうです。しかし、今回はそうではなかった。おそらく学期の途中だったからか、あるいは主題が非常に難しかったためだと彼は推測した。彼はその瞬間、この分野の多くの偉人たちの前で講演するという見通しに少し怯えていたと告白した。

しかし、複素解析のより広範な分野のほとんどの数学者がもはやマンデルブロ集合に直接取り組んでいないことを考えると、なぜワークショップ全体を MLC に捧げるのでしょうか?

マンデルブロ集合は単なる比喩的な意味ではなく、フラクタル以上のものです。これは、力学システム、つまり点が単純なルールに従って空間を移動するさまざまな方法のマスター カタログのようなものとして機能します。このマスターカタログを理解するには、多くの異なる数学的状況を横断する必要があります。マンデルブロ集合は力学だけでなく、数論、トポロジー、代数幾何学、群理論、さらには物理学にも深く関係しています。 「それは美しい方法で数学の他の部分と相互作用します」と彼は言いました サビャサチ・ムカルジー インドのタタ基礎研究所の博士。

MLC を進歩させるために、数学者は洗練された一連のテクニック、つまりシェリタの言うところの「強力な哲学」を開発する必要がありました。これらのツールは大きな注目を集めています。今日、それらはより広範な力学システムの研究における中心的な柱を構成しています。これらは、他の多くの問題、つまりマンデルブロ集合とは何の関係もない問題を解決するために重要であることが判明しました。そして彼らは、MLC をニッチな質問から、この分野で最も深く最も重要な未解決の推測の 1 つに変えました。

おそらくこの「哲学」を現在の形に形作った最も責任のある数学者であるリュービッチは、背筋を伸ばしてまっすぐに立ち、静かに話します。ワークショップに参加している他の数学者が概念について議論したり、質問したりするために彼に近づくと、彼は目を閉じて、太い眉をひそめながら注意深く耳を傾けます。彼はロシアなまりで慎重に答えた。

しかし、彼はすぐに大声で温かい笑いを起こしたり、皮肉なジョークを言ったりすることもあります。彼は時間とアドバイスを惜しみなく与えてくれます。リュービッチ氏の元ポスドクの一人で、頻繁に共同研究を行っているムカルジー氏は、彼は「かなりの世代の数学者を本当に育ててきた」と語った。彼が語るように、複雑な力学の研究に興味がある人は誰でも、ストーニー ブルックで時間をかけてリュービッチから学びます。 「ミーシャは、私たちが特定のプロジェクトにどのように取り組むべきか、あるいは次に何に注目すべきかについてのビジョンを持っています」とムカルジー氏は語った。 「彼は心の中にこの壮大なイメージを持っています。そして彼は喜んでそれを人々と共有します。」

リュービッチは初めて、その壮大な全体像を見ることができたと感じている。

プライズファイターズ

マンデルブロ集合は賞から始まりました。

1915 年、最近の関数研究の進歩に動機づけられて、フランス科学アカデミーはコンテストを発表しました。3,000 年後、反復プロセスの研究に XNUMX フランの大賞が与えられることになりました。まさにそのプロセスが、後でマンデルブロ集合を生成します。

反復とは、ルールを繰り返し適用することです。数値を関数に代入し、その出力を次の入力として使用します。それを続けて、時間の経過とともに何が起こるかを観察してください。関数の反復を続けると、取得される数値が無限に向かって急速に増加する可能性があります。あるいは、鉄やすりが磁石に向かって移動するように、特定の数字に引き寄せられる可能性もあります。あるいは、決して逃れることのできない安定した軌道で、同じ 2 つの数字、または 3 つの数字、または 1,000 の数字の間を行き来することになります。または、韻も理由もなく、ある番号から別の番号に飛び移り、混沌とした予測不可能な道をたどることもできます。

フランスのアカデミー、そしてより広範な数学者が反復に興味を持つ別の理由がありました。このプロセスは、力学系、つまり太陽の周りの惑星の回転や乱流の流れなど、特定の一連の規則に従って時間の経過とともに変化する系の研究において重要な役割を果たしました。

この賞は 2 人の数学者にまったく新しい研究分野を開発するよう促しました。

一人目はピエール・ファトゥで、健康状態が悪かったら、別の人生では（家族の伝統により）海軍士官になっていたかもしれない。彼は代わりに数学と天文学のキャリアを追求し、1915 年までにすでに分析でいくつかの主要な結果を証明していました。そしてガストン・ジュリアは、フランス占領下のアルジェリアで生まれた将来有望な若い数学者でしたが、第一次世界大戦とフランス軍への徴兵によって研究が中断されました。 22 歳のとき、勤務開始直後に重傷を負った後、医師が損傷を修復できなかった後、生涯顔に革製のストラップを着用することになりました。彼は数学に戻り、次のことを行いました。彼は病院のベッドからアカデミー賞に応募する作品を撮った。

この賞をきっかけに、Fatou と Julia は関数を反復すると何が起こるかを研究するようになりました。彼らは独立して研究しましたが、最終的には非常に似た発見をしました。彼らの結果には重複する部分が多かったので、現在でも、どのように功績を認めるべきか必ずしも明確ではありません。 (ジュリアはより社交的だったので、より多くの注目を集めました。結局彼は賞を受賞しましたが、ファトゥは応募すらしませんでした。) この研究のおかげで、二人は現在、複雑力学の分野の創始者とみなされています。

ファトウとジュリアが複素数の関数を反復したため、「複素数」、つまり、よく知られた実数といわゆる虚数 (の倍数) を組み合わせた数です。 i、数学者が -1 の平方根を示すために使用する記号)。実数は直線上の点として配置できますが、複素数は次のように平面上の点として視覚化されます。

Fatou と Julia は、単純な複雑な関数 (数学の分野ではパラドックスではありません!) を反復することでも、出発点によっては豊かで複雑な動作を引き起こす可能性があることを発見しました。彼らはこれらの行動を文書化し、幾何学的に表現し始めました。

しかしその後、彼らの研究は半世紀にわたって忘れ去られました。 「人々は何を調べればよいのかさえ知りませんでした。彼らは尋ねるべき質問さえ限られていた」と語った。 Artur Avila、チューリッヒ大学教授。

1970 年代にコンピューター グラフィックスが普及すると、状況は変わりました。

その時までに、数学者のブノワ・マンデルブロは学術的好事家としての評判を獲得していました。彼はニューヨーク市北部にある IBM の研究センターで働きながら、経済学から天文学までさまざまな分野に手を出してきました。 1974 年に IBM フェローに任命されたとき、独立したプロジェクトを追求する自由がさらに広がりました。彼は、センターのかなりのコンピューティング能力を、複雑なダイナミクスを冬眠から復帰させるために適用することに決めました。

最初、マンデルブロはコンピューターを使用して、ファトゥーとジュリアが研究したような形状を生成しました。画像には、開始点が反復されたときにいつ無限に逃げてしまうのか、またいつ他のパターンに閉じ込められるのかについての情報がエンコードされていました。 60 年前にファトーとジュリアが描いた素描は、円や三角形の集合体のように見えましたが、マンデルブロが作成したコンピュータ生成画像は、ドラゴンや蝶、ウサギや大聖堂やカリフラワーの頭のように見え、時には途切れた塵の雲のようにも見えました。その時までに、マンデルブロはすでに、異なるスケールで同様に見える形状を表す「フラクタル」という言葉を作り出していました。この言葉は、新しい種類の幾何学、つまり断片的、部分的、または壊れたものという概念を呼び起こしました。

彼のコンピューター画面に表示される画像 (今日ではジュリア集合として知られています) は、マンデルブロがこれまで見たフラクタルの最も美しく複雑な例の一部でした。

Fatou と Julia の研究は、これらの各セット (および対応する機能) の形状とダイナミクスに個別に焦点を当てていました。しかし、コンピュータはマンデルブロに関数群全体を一度に考える方法を与えました。彼はそれらすべてを、後に自分の名前を冠する画像にエンコードすることができたが、彼が実際にそれを最初に発見したのかどうかについては議論の余地がある。

マンデルブロ集合は、反復すると興味深い結果をもたらす最も単純な方程式を扱います。これらは次の形式の二次関数です。 f(z）= z² + c。の値を修正します c — 任意の複素数を指定できます。から始まる方程式を繰り返すと、 z = 0 で、生成される数値が小さいまま (数学者が言うように、限界がある) ことがわかります。 c はマンデルブロ集合の中にあります。一方、繰り返しを行って、最終的に数値が無限に向かって増加し始めることがわかった場合は、 c はマンデルブロ集合には含まれていません。

の値を示すのは簡単です。 c ゼロに近いものがセットに含まれています。そして、 の大きな値を示すことも同様に簡単です。 c そうではありません。しかし、複素数はその名の通り、集合の境界は素晴らしく複雑です。変更する明確な理由はありません c ほんのわずかな量で境界を越え続けることになるはずですが、境界をズームインすると、無限の量の詳細が表示されます。

さらに、以下のインタラクティブな図に見られるように、マンデルブロ集合はジュリア集合のマップのように機能します。の値を選択してください c マンデルブロ集合の中で。対応する Julia セットが接続されます。しかし、マンデルブロ集合をそのままにしておくと、対応するジュリア集合は切断されてしまいます。