不可解な対戦の背後にある驚くほど単純な数学 |クアンタマガジン

これはイマジナリー マス リーグのチャンピオンシップ ゲームで、アトランタ アルジェブラスがカロライナ クロス プロダクトと対戦します。今シーズン、両チームは対戦していないが、今年初めにはアトランタがブルックリン・バイセクターズを10対5で破り、ブルックリンがカロライナを7対3で破った。それでどちらがどっちなのかについて何らかの洞察が得られるだろうか。タイトルを取るのか？

さて、ここで一つの考え方があります。アトランタがブルックリンに勝った場合、アトランタはブルックリンより優れており、ブルックリンがカロライナに勝った場合、ブルックリンはカロライナより優れています。したがって、アトランタがブルックリンよりも優れており、ブルックリンがカロライナよりも優れている場合、アトランタはカロライナよりも優れており、チャンピオンシップに勝つ必要があります。

競争力のあるゲームやスポーツをプレイしている場合は、試合の結果を予測するのがこれほど簡単ではないことをご存知でしょう。しかし、純粋に数学的な観点から見ると、この議論にはいくつかの魅力があります。これは、推移性として知られる数学の重要な概念を使用します。これは、関係全体にわたる比較の文字列を構築できるおなじみの特性です。推移性は、非常に基礎的なため、気づかないかもしれない数学的特性の 1 つです。

たとえば、数値の等価性は推移的です。つまり、それが分かれば、 a = b および b = c、次のように結論付けることができます a = c。 「より大きい」関係も推移的です。実数の場合、 a > b および b > cをタップし、その後、 a > c。関係が推移的である場合、それらを比較および結合して、オブジェクトの順序を作成できます。アンナがベンジーより背が高く、ベンジーがカールより背が高い場合、3 人を身長順に並べることができます。 A, B, C。推移性は、次のような素朴な議論の背後にもあります。 A よりも優れている B および B よりも優れている Cをタップし、その後、 A よりも優れている C.

推移性は、等価性、合同性、類似性、さらには並列性にも存在します。これは私たちが行うすべての基本的な数学の一部であるため、それが存在しない場合は特に数学的に興味深いものになります。アナリストがチームをランク付けしたり、経済学者が消費者の好みを調査したり、国民が好みの候補者に投票したりする場合、推移性の欠如が驚くべき結果につながる可能性があります。この種のシステムをより深く理解するために、数学者は 50 年以上にわたって「自動詞サイコロ」を研究してきました。 最近の論文 Polymath プロジェクトとして知られるオンライン数学共同作業により、その理解が前進しました。自動詞がどのようなものでどのようなものであるかを理解するために、独自のリーグを形成して遊んでみましょう。

新しい数学リーグでは、プレイヤーはカスタム コインを投げて結果を比較することで競います。プレイヤーとしましょう A 片面には 10 という数字、もう片面には 6 という数字が描かれたコインがあり、プレイヤーは Bのコインには 8 と 3 という数字があります。コインは公平であると仮定します。つまり、コインを裏返したときに各面が現れる可能性が同じであることを意味し、コイン上の数字を次のように表します。

ゲームでは、プレーヤーはコインを投げ、より高い数字を示したコインが勝者となります。いつ誰が勝つのか A 演劇 B?

もちろん、それは状況によります。時々 A 時々勝つだろう B 勝ちます。しかし、それを見るのは難しいことではありません A ～に勝つことが有利である B。ゲームの展開には 4 つの方法があり、 A そのうちの3つで勝利します。

それで、ゲームでは A 対 B, A 勝つ確率は75%です。

Now C やって来て挑戦する B ゲームに。 Cのコインは片面に 5 があり、もう片面には 4 があります。ここでも XNUMX つの可能性があります。

ここに B および C それぞれが 50 つの対戦のうち XNUMX つで勝利するため、それぞれがゲームの XNUMX% に勝つことになります。 B および C 均等に一致しています。

さて、いつ何が起こると予想しますか A および C 遊ぶ？良い、 A 通常ビート B, B と均等に一致します C、したがって、それを期待するのは合理的だと思われます A おそらく反対されるだろう C.

だけど A お気に入り以上のものです。 A 支配する C、100％勝ちます。

これは驚くべきことのように思えるかもしれませんが、なぜそれが起こるのかを数学的に理解するのは難しくありません。 Cの数字はその間にあります Bですので、 C いつでも勝つ B 小さい数字を反転します。しかし Cの数字は両方とも以下です Aですので、 C その対戦には決して勝てないでしょう。この例は推移性の概念に違反するものではありませんが、物事が単なる単純なものではなく、より複雑になる可能性があることを示しています。 A > B > C。ゲームを少し変更すると、ゲームがどれほど複雑になるかがわかります。

両面コイン投げゲームは数学的に完全に理解するのが簡単なため、競合他社はすぐに飽きてしまいました (詳細についてはコラムの最後にある演習を参照してください)。そのため、リーグは 3 面コインにアップグレードすることを決定しました。 (架空の数学リーグでプレイする利点の 1 つは、何でもできるということです。)

ここにあります A および Bさんのコイン:

間の試合でどちらが有利か A および B?さて、結果は3つあります Aのコイントスとスリーフォー B、簡単にグラフ化できる 9 つの可能なゲーム結果につながります。

すべての結果の可能性が等しいと再度仮定すると、 A ビート B 9 つの結果のうち 5 つで。これはつまり A 約 5% の確率で $latex frac{9}{55} を獲得できるはずです。 A に対して有利です B.

彼らの将来の見通しについて少し落ち込んでいますが、 B 課題 C ゲームに。 Cの数値は以下の通りです。好きですか Bチャンスは？

繰り返しになりますが、ゲームでは 9 つの結果が考えられます。 B 対 C, そのため、それらを列挙するだけで済みます。

それがわかります B に対してかなり良いようです C。考えられる 9 つの結果のうち 5 つでは、 B 勝ちます。それで B に対して有利です C.

最低 C 今は遊ばなければなりません A A 反対に有利 B および B 反対に有利 C、チャンスは何ですか C 勝たなければなりませんか？結局のところ、かなり良いものです。

ここで考えられる 9 つの結果のうち 5 つは、 C ビート A。 この意味は C に対して有利です A、 たとえ Aに対して有利です B および B に対して有利です C.

これは自動詞系の例です。より専門的な用語で言えば、このゲームにおける「有利である」という関係は推移的ではありません。 A に対して有利です B, B に対して有利です C、 だけど A 必ずしも有利ではない C.

数学ではあまり見られませんが、この種の行動はスポーツファンにとっては驚くべきことではありません。ジャイアンツがイーグルスに勝ち、イーグルスがカウボーイズに勝ったとしても、カウボーイズがジャイアンツに勝つ可能性は十分にあります。個々のゲームの結果に影響を与える要素はたくさんあります。チームは練習によって向上することもあれば、革新しなければ停滞することもあります。プレイヤーはチームを変更することができます。ホームかアウェーかといった試合の場所やチームの最近の試合状況などの詳細が、誰が勝者で誰が負けたかに影響を与える可能性があります。

しかし、この単純な例は、この種の自動詞の背後にも純粋に数学的な理由があることを示しています。そして、この純粋に数学的な考察は、現実世界の競争、つまり対戦の制約と共通点があります。

の数字は次のとおりです A, B および C.

これらを並べて見ると、なぜこの状況で自動詞が発生するのかがわかりやすくなります。それでも B ～に勝つことが有利である C, Cの 7 つの中程度の数字 (6 と XNUMX) は、 A それ B 持っていない。それでも A に対して有利です B および B に対して有利です C, C と一致する A より良い B そうです。これは、劣勢のスポーツ チームが、そのチームにとってプレー スタイルが扱いにくいため、または選手やコーチが特定の対戦相手に対して優位に立つために、格上の対戦相手とうまく戦うことができるのと似ています。

スポーツが自動詞であるという事実が、スポーツを楽しく魅力的なものにしているのです。結局のところ、もし A ビート B および B ビート C, C と対決したときに推移性だけで負けるわけではない A。競争では何でも起こり得る。番狂わせの後に多くの解説者が言ったように、「だからこそ彼らは試合をするのだ」。

だからこそ私たちは数学で遊ぶのです。何が楽しくて、魅力的で、驚くべきかを見つけること。何でも起れる。

演習

1. XNUMX 人のプレイヤーが両面コイン ゲームをプレイし、XNUMX 枚のコインの XNUMX つの数字がすべて異なるとします。誰がどのくらいの頻度で勝つかについて、基本的に考えられるシナリオは XNUMX つだけです。彼らは何ですか？

2. 上記の XNUMX 面ゲームのシナリオで、別の XNUMX 面コインを見つけます。 C そのため、 B まだ反対されている C および C まだ反対されている A.

3. 両面コイン ゲームでは XNUMX 人のプレーヤーがいるのは不可能であることを証明する A, B, C そのような A に対して有利です B, B に対して有利です C, C に対して有利です A.