SU(N) の登場: 多変量量子ゲートと勾配

【1] M. Cerezo、Andrew Arrasmith、Ryan Babbush、Simon C. Benjamin、Suguru Endo、Keisuke Fujii、Jarrod R. McClean、御手洗浩介、Xiao Yuan、Lukasz Cincio、Patrick J. Coles。 「変分量子アルゴリズム」。 Nature Reviews Physics 3、625–644（2021）。
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

【2] Jules Tilly、Hongxiang Chen、Shuxiang Cao、Dario Picozzi、Kanav Setia、Ying Li、Edward Grant、Leonard Wossnig、Ivan Rungger、George H. Booth、Jonathan Tennyson。 「変分量子固有ソルバー: 手法とベスト プラクティスのレビュー」。 Physics Reports 986、1–128 (2022)。
https：/ / doi.org/ 10.1016 / j.physrep.2022.08.003

【3] Jun Li、Xiaodong Yang、Xinhua Peng、Chang-Pu Sun。 「量子最適制御へのハイブリッド量子古典アプローチ」。 物理学。 レット牧師。 118、150503 (2017)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.150503

【4] 御手洗、根来、北川、藤井。 「量子回路学習」。 物理。 Rev. A 98、032309 (2018)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.032309

【5] Maria Schuld、Ville Bergholm、Christian Gogolin、Josh Izaac、Nathan Killoran。 「量子ハードウェアでの分析勾配の評価」。 物理。 Rev. A 99、032331 (2019)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.99.032331

【6] ギャビン・E・クルックス。 「パラメーター シフト ルールとゲート分解を使用したパラメーター化された量子ゲートの勾配」 (2019) arXiv:1905.13311。
arXiv：1905.13311

【7] アルトゥール・F・イズマイロフ、ロバート・A・ラング、ツィーチン・イェン。 「変分量子アルゴリズムにおける解析勾配: 一般的なユニタリ変換へのパラメータ シフト ルールの代数的拡張」。物理学。 Rev. A 104、062443 (2021)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.062443

【8] デビッド・ウィエリクス、ジョシュ・アイザック、コーディ・ワン、セドリック・イェンユー・リン。 「量子勾配の一般的なパラメータシフト規則」。クォンタム 6、677 (2022)。
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-03-30-677

【9] オレクサンドル・キリエンコとヴィンセント・E・エルフビング。 「一般化された量子回路微分規則」。物理学。 Rev. A 104、052417 (2021)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.052417

【10] ダーク・オリバー・タイス。 「摂動パラメトリック量子進化の微分に対する「適切な」シフト規則」。クォンタム 7、1052 (2023)。
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2023-07-11-1052

【11] ルーカス・スラッテリー、ベンジャミン・ビジャロンガ、ブライアン・K・クラーク。 「変分量子アルゴリズムのためのユニタリーブロック最適化」。物理学。 Rev. Research 4、023072 (2022)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.4.023072

【12] Jin-Guo Liu、Yi-Hong Zhang、Yuan Wan、Lei Wang です。 「より少ない量子ビットを備えた変分量子固有ソルバー」。物理学。 Rev. Research 1、023025 (2019)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.1.023025

【13] Abhinav Kandala、Antonio Mezzacapo、Kristan Temme、Maika Takita、Markus Brink、Jerry M. Chow、Jay M. Gambetta。 「小分子と量子磁石のためのハードウェア効率の高い変分量子固有値ソルバー」。 ネイチャー 549, 242–246 (2017).
https：/ / doi.org/ 10.1038 / nature23879

【14] ナビン・ハネジャとステフェン・J・グレイザー。 「$SU(2^n)$のカルタン分解とスピン系の制御」。化学物理学 267、11–23 (2001)。
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0301-0104(01)00318-4

【15] バーバラ・クラウスとフアン・I・シラク。 「63量子ビットゲートを使用したエンタングルメントの最適な作成」。フィジカル レビュー A 062309、2001 (XNUMX)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.63.062309

【16] ファロック・ヴァタンとコリン・ウィリアムズ。 「一般的な69量子ビットゲートに最適な量子回路」。 物理学。 Rev. A 032315、2004 (XNUMX)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.69.032315

【17] ファロック・ヴァタンとコリン・P・ウィリアムズ。 「一般的な2004量子ビット量子ゲートの実現」（0401178年）。 arXiv:quant-ph/XNUMX。
arXiv：quant-ph / 0401178

【18] ユハ・J・ヴァルティアイネン、ミッコ・モットーネン、マルティ・M・サロマー。 「量子ゲートの効率的な分解」。物理学。レット牧師。 92、177902 (2004)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.92.177902

【19] ドメニコ・ダレッサンドロとラファエレ・ロマーノ。 「ユニタリ進化の分解と二部量子システムのもつれダイナミクス」。 Journal of Mathematical Physics 47、082109 (2006)。
https：/ / doi.org/ 10.1063 / 1.2245205

【20] アルウィン・ズーレーナーとロバート・ヴィレ。 「SU(4) 量子回路を IBM QX アーキテクチャにコンパイルする」。第 24 回アジアおよび南太平洋デザインオートメーション会議の議事録。 185 ～ 190 ページ。 ASPDAC '19米国ニューヨーク州ニューヨーク（2019年）。コンピューティング機械協会。
https：/ / doi.org/ 10.1145 / 3287624.3287704

【21] B. フォックスン、C. ニール、A. ダンズワース、P. ルーシャン、B. キアーロ、A. メグラント、J. ケリー、Zijun Chen、K. サッツィンガー、R. バレンズ、F. アルート、K. アリア、R. バブシュ、D. ベーコン、JC バーディン、S. ボイショ、D. ビューエル、B. バーケット、ユー チェン、R. コリンズ、E. ファーヒ、A. ファウラー、C. ギドニー、M. ジュスティナ、R. グラフ、M. ハリガン、T. ファン、SV イサコフ、E. ジェフリー、Z. ジャン、D. カフリ、K. ケチェジ、P. クリモフ、A. コロトコフ、F. コストリツァ、D. ランドハウス、E. ルセロ、J. マクリーン、M.マキューエン、X. ミ、M. モーセニ、J.Y. ムトゥス、O. ナーマン、M. ニーリー、M. ニウ、A. ペトゥホフ、C. キンタナ、N. ルービン、D. サンク、V. スメリャンスキー、A. ヴァインセンチャー、TCホワイト、Z. ヤオ、P. イェー、A. ザルクマン、H. ネブン、JM マルティニス。 「短期量子アルゴリズム用の 125 量子ビット ゲートの連続セットのデモ」。物理学。レット牧師。 120504、2020 (XNUMX)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.120504

【22] E・グルーネフェルト。 「多変量 REML (共) 分散成分推定における数値最適化を改善するための再パラメータ化」。 Genetics Selection Evolution 26、537–545 (1994)。
https:/​/​doi.org/​10.1186/​1297-9686-26-6-537

【23] タパニ・ライコ、ハッリ・ヴァルポラ、ヤン・レクン。 「パーセプトロンの線形変換によりディープラーニングが容易になる」。ニール D. ローレンスとマーク ジロラミ、編集者、人工知能と統計に関する第 22 回国際会議議事録。 『機械学習研究紀要』第 924 巻、932 ～ 2012 ページ。カナリア諸島、ラ・パルマ島（22）。 PMLR。 URL: https://proceedings.mlr.press/v12/raikoXNUMX.html
https:/ / proceedings.mlr.press/ v22/ raiko12.html

【24] セルゲイ・イオッフェとクリスチャン・セゲディ。 「バッチ正規化: 内部共変量シフトを削減することでディープ ネットワーク トレーニングを加速する」。機械学習に関する国際会議にて。 448 ～ 456 ページ。 PMLR (2015)。
https：/ / doi.org/ 10.5555 / 3045118.3045167

【25] ティム・サリマンスとダーク・P・キングマ。 「重みの正規化: ディープ ニューラル ネットワークのトレーニングを加速するためのシンプルな再パラメーター化」。神経情報処理システムの進歩。 29巻（2016年）。
https：/ / doi.org/ 10.48550 / arXiv.1602.07868

【26] ロバート・プライス。 「ガウス入力を持つ非線形デバイスに役立つ定理」。 IRE 情報理論トランザクションズ 4、69–72 (1958)。
https：/ / doi.org/ 10.1109 / TIT.1958.1057444

【27] ダニーロ・ヒメネス・レゼンデ、シャキール・モハメド、ダーン・ウィアストラ。 「深い生成モデルにおける確率的逆伝播と近似推論」。編集者の Eric P. Xing と Tony Jebara による、第 31 回機械学習国際会議議事録。 『機械学習研究紀要』第 32 巻、1278 ～ 1286 ページ。中国、北京（2014）。 PMLR。 URL：https:// / proceedings.mlr.press/ v32/ rezende14.html。
https:/ / proceedings.mlr.press/ v32/ rezende14.html

【28] ディーデリク・P・キングマとマックス・ウェリング。 「変分ベイズの自動エンコーディング」。 Yoshua Bengio および Yann LeCun、編集者、第 2 回学習表現に関する国際会議、ICLR 2014、カナダ、アラバマ州バンフ、14 年 16 月 2014 ～ 2014 日、カンファレンス トラック議事録。 （1312.6114年）。 URL: http://arxiv.org/abs/XNUMX。
arXiv：1312.6114

【29] ブライアン・C・ホール。 「リー群、リー代数、および表現」。スプリンガー。 （2013年）。第2版​​。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-319-13467-3

【30] ウィリアム・フルトンとジョー・ハリス。 「表現論：第一講座」。ボリューム 129。シュプリンガー サイエンス & ビジネス メディア。 （2013年）。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4612-0979-9

【31] W.ロスマン。 「リー群: 線形群による入門」。オックスフォード大学院の数学のテキスト。オックスフォード大学出版局。 （2002年）。第5版。
https：/ / doi.org/ 10.1093 / oso / 9780198596837.001.0001

【32] ジャン・ピエール・セール。 「リー代数とリー群: 1964 年にハーバード大学で行われた講義」。スプリンガー。 （2009年）。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-540-70634-2

【33] ノルベルト・シュッフとイェンス・ジーベルト。 「$mathrm{XY}$ 相互作用を使用した量子計算のための自然な 67 量子ビット ゲート」。物理学。 Rev. A 032301、2003 (XNUMX)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.67.032301

【34] TP オーランド、JE ムーイ、リン ティアン、キャスパー H. ファン デル ヴァル、LS レビトフ、セス ロイド、JJ マゾ。 「超伝導永久電流量子ビット」。物理学。 Rev. B 60、15398–15413 (1999)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.60.15398

【35] ケインになってください。 「シリコンベースの核スピン量子コンピュータ」。 Nature 393、133–137 (1998)。
https：/ / doi.org/ 10.1038 / 30156

【36] A. イマモグル、DD アウシャロム、G. バーカード、DP ディヴィンチェンツォ、D. ロス、M. シャーウィン、および A. スモール。 「量子ドットスピンと共振器qedを利用した量子情報処理」。物理学。レット牧師。 83、4204–4207 (1999)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.4204

【37] Jiaqi Leng、Yuxiang Peng、Yi-Ling Qiao、Ming Lin、Xiaodi Wu。 「最適化と制御のための微分可能なアナログ量子コンピューティング」(2022)。 arXiv:2210.15812。
arXiv：2210.15812

【38] RMウィルコックス。 「量子物理学における指数演算子とパラメータ微分」。 Journal of Mathematical Physics 8、962–982 (1967)。 arXiv:https://doi.org/10.1063/1.1705306。
https：/ / doi.org/ 10.1063 / 1.1705306
arXiv：https：//doi.org/10.1063/1.1705306

【39] E.T.ウィテカー。 「XVIII.—補間理論の拡張によって表現される関数について」。エディンバラ王立協会議事録、35、181–194 (1915)。
https：/ / doi.org/ 10.1017 / S0370164600017806

【40] James Bradbury、Roy Frostig、Peter Hawkins、Matthew James Johnson、Chris Leary、Dougal Maclaurin、George Necula、Adam Paszke、Jake VanderPlas、Skye Wanderman-Milne、および Qiao Zhang (2018 年)。 コード: google/ jax.
https:/ / github.com/ google/ jax

【41] アダム・パスケ、サム・グロス、フランシスコ・マッサ、アダム・レーラー、ジェームズ・ブラッドベリ、グレゴリー・チャナン、トレバー・キリーン、ゼミング・リン、ナタリア・ギメルシェイン、ルカ・アンティガ 他「Pytorch: 命令型スタイルの高性能深層学習ライブラリ」。神経情報処理システムの進歩。 32巻（2019年）。
https：/ / doi.org/ 10.48550 / arXiv.1912.01703

【42] マルティン・アバディ、アシシュ・アガルワル、ポール・バーラム、ユージン・ブレブド、ジフェン・チェン、クレイグ・シトロ、グレッグ・S・コラード、アンディ・デイヴィス、ジェフリー・ディーン、マチュー・デビン、サンジェイ・ゲマワット、イアン・グッドフェロー、アンドリュー・ハープ、ジェフリー・アーヴィング、マイケル・アイサード、ヤンチン・ジア、ラファル・ジョゼフォウィッチ、ルカシュ・カイザー、マンジュナート・クドルル、ジョシュ・レーベンバーグ、ダンデライオン・マネ、ラジャット・モンガ、シェリー・ムーア、デレク・マレー、クリス・オラー、マイク・シュスター、ジョナサン・シュレンズ、ブノワ・シュタイナー、イリヤ・サツケヴァー、クナル・タルワール、ポール・タッカー、ヴィンセント・ヴァンホーク、ビジェイ・ヴァスデヴァン、フェルナンダ・ビエガス、オリオル・ヴィニャルズ、ピート・ウォーデン、マーティン・ワッテンバーグ、マーティン・ヴィッケ、ユアン・ユー、鄭暁強（2015年）。コード: https://www.tensorflow.org/
https：/ / www.tensorflow.org/

【43] 自動微分によって微分できる行列指数の JAX 実装: https:/ / jax.readthedocs.io/ en/ latest/ _autosummary/ jax.scipy.linalg.expm.html。
https:/ / jax.readthedocs.io/ ja/ latest/ _autosummary/ jax.scipy.linalg.expm.html

【44] アワド・H・アルモヒとニコラス・J・ハイアム。 「行列指数の新しいスケーリングおよび二乗アルゴリズム」。マトリックス分析とアプリケーションに関する SIAM ジャーナル 31、970–989 (2010)。
https：/ / doi.org/ 10.1137 / 09074721

【45] レオナルド・バンキとギャビン・E・クルックス。 「確率的パラメータシフト則による一般量子進化の解析勾配の測定」。クォンタム 5、386 (2021)。
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2021-01-25-386

【46] レナルト・ビッテル、イェンス・ワッティ、マルティン・クリーシュ。 「変分量子アルゴリズムの高速勾配推定」(2022)。 arXiv:2210.06484。
arXiv：2210.06484

【47] ローランド・ヴィエルセマ、ディラン・ルイス、デヴィッド・ヴィエリクス、フアン・カラスキーラ、ネイサン・キローラン（2023年）。コード: dwierichs/Here-comes-the-SUN。
https:/ / github.com/ dwierichs/ Here-comes-the-SUN

【48] トーマス シュルテ ヘアブリュッゲン、シュテフェン j.グレイザー、ギュンター・ディル、ウーヴェ・ヘルムケ。 「量子情報と量子力学における最適化のための勾配フロー: 基礎と応用」。数理物理学 22、597–667 (2010) のレビュー。
https：/ / doi.org/ 10.1142 / S0129055X10004053

【49] ローランド・ヴィエルセマとネイサン・キローラン。 「リーマン勾配流による量子回路の最適化」(2023)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.107.062421

【50] ヴィル・ベルグホルム、ジョシュ・アイザック、マリア・シュルド、クリスチャン・ゴゴリン、M・ソハイブ・アラム、シャナワズ・アーメド、フアン・ミゲル・アラソラ、カールステン・ブランク、アラン・デルガド、ソラン・ジャハンギリ 他「ペニーレーン: ハイブリッド量子古典計算の自動微分」 (2018)。 arXiv:1811.04968。
arXiv：1811.04968

【51] ライアン・スウェク、フレデリック・ワイルド、ヨハネス・マイヤー、マリア・シュルド、ポール・K・ファーマン、バルテルミー・メイナール・ピガノー、イェンス・アイザート。 「ハイブリッド量子古典最適化のための確率的勾配降下法」。量子 4、314 (2020)。
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-08-31-314

【52] アラム・W・ハローとジョン・C・ナップ。 「低深度勾配測定により、変分ハイブリッド量子古典アルゴリズムの収束を改善できる」。物理学。レット牧師。 126、140502 (2021)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.126.140502

【53] アンドリュー・アラスミス、ルーカス・シンシオ、ローランド・D・ソンマ、パトリック・J・コールズ。 「変分アルゴリズムにおけるショット節約最適化のためのオペレーター サンプリング」(2020)。 arXiv:2004.06252.
arXiv：2004.06252

【54] エドワード・ファーリ、ジェフリー・ゴールドストーン、サム・ガットマン。 「量子近似最適化アルゴリズム」（2014）。 arXiv：1411.4028。
arXiv：1411.4028

【55] ハビエル・ヒル・ビダルとダーク・オリバー・タイス。 「パラメータ化された量子回路の微積分」(2018)。 arXiv:1812.06323。
arXiv：1812.06323

【56] ロバート・M・パリッシュ、ジョセフ・T・イオスエ、アシエ・オザエタ、ピーター・L・マクマホン。 「変分量子アルゴリズムのパラメーター最適化のためのヤコビ対角化とアンダーソン加速アルゴリズム」 (2019)。 arXiv:1904.03206。
arXiv：1904.03206

【57] ケン・エム・ナカニシ、藤井啓介、藤堂シンジ。 「量子古典ハイブリッドアルゴリズムのための逐次最小最適化」。物理学。 Rev. Res. 2、043158 (2020)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.2.043158

【58] マテウス オスタシェフスキー、エドワード グラント、マルチェロ ベネデッティ。 「パラメータ化された量子回路の構造最適化」。 クォンタム 5, 391 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2021-01-28-391

【59] セス・ロイド。 「ユニバーサル量子シミュレーター」。 サイエンス 273, 1073–1078 (1996).
https：/ / doi.org/ 10.1126 / science.273.5278.1073

【60] F.アルベルティーニとD.ダレッサンドロ。 「量子力学システムの制御可能性の概念」。第 40 回 IEEE 会議決定と制御に関する議事録 (カタログ番号 01CH37228)。第 2 巻、1589 ～ 1594 ページ 2 巻。 (2001)。
https：/ / doi.org/ 10.1109 / CDC.2001.981126

【61] ドメニコ・ダレッサンドロ。 「量子制御とダイナミクスの紹介」。チャップマンとホール/CRC。 （2021年）。第2版​​。
https：/ / doi.org/ 10.1201 / 9781003051268

【62] マーティン・ラロッカ、ピョートル・チャルニク、クナル・シャルマ、ゴピクリシュナン・ムラリードハラン、パトリック・J・コールズ、M・セレッソ。 「Quantum Optimal Control のツールを使用した不毛の台地の診断」。 クォンタム 6、824 (2022)。
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-09-29-824

【63] マルティン・ラロッカ、ネイサン・ジュ、ディエゴ・ガルシア＝マルティン、パトリック・J・コールズ、マルコ・セレッソ。 「量子ニューラルネットワークにおけるオーバーパラメータ化の理論」。 Nature Computational Science 3、542–551 (2023)。
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s43588-023-00467-6

【64] SGシルマー、ICHプーレン、AIソロモン。 「有限レベル量子制御システムのための動的リー代数の同定」。 Journal of Physics A: 数学と一般 35、2327 (2002)。
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​35/​9/​319

【65] エフェカン・コックチュ、トーマス・シュテックマン、ヤン・ワン、JK・フリーリックス、ユージン・F・ドゥミトレスク、アレクサンダー・F・ケンパー。 「カルタン分解による固定深さのハミルトニアン シミュレーション」。物理学。レット牧師。 129、070501 (2022)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.129.070501

【66] ローランド・ヴィエルセマ、エフェカン・キョクチュ、アレクサンダー・F・ケンパー、ボイコ・N・バカロフ。 「一次元における並進不変の 2 局所スピン系に対する動的リー代数の分類」 (2023)。 arXiv:2203.05690。
arXiv：2203.05690

【67] ジャン・ピエール・セール。 「複雑半単純リー代数」。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。 （2000年）。第1版。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-56884-8

【68] ユージン・ボリソビッチ・ディンキン。 「アメリカ数学協会翻訳: 代数と群理論に関する 1957 つの論文」。アメリカ数学協会。 （XNUMX年）。
https:/ / doi.org/ 10.1090/ trans2/ 006

【69] IM Georgescu、S. Ashhab、Franco Ori。 「量子シミュレーション」。 Rev.Mod. 物理学。 86、153–185 (2014)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.153

【70] Sepehr Ebadi、Tout T Wang、Harry Levine、Alexander Keesling、Giulia Semeghini、Ahmed Omran、Dolev Bluvstein、Rhine Samajdar、Hannes Pichler、Wen Wei Ho 他「256原子のプログラム可能な量子シミュレーターでの物質の量子相」。 ネイチャー 595, 227–232 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03582-4

【71] P. ショール、H.J. ウィリアムズ、G. ボルネット、F. ウォールナー、D. バレド、L. ヘンリエット、A. シニョール、C. エノー、T. フランツ、S. ガイヤー、A. テベン、A. ザルツィンガー、G. ツルン、T. ラヘイ、M. ワイドミュラー、および A. ブロウェイズ。 「リュードベリ原子配列におけるプログラム可能な $XXZ$ ハミルトニアンのマイクロ波工学」。 PRX クアンタム 3、020303 (2022)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.3.020303

【72] モハナド・イブラヒム、ハメド・モハマドバガープール、シンシア・リオス、ニコラス・T・ブロン、グレゴリー・T・バード。 「変分量子アルゴリズムのためのパラメータ化された量子回路のパルスレベルの最適化」(2022)。 arXiv:2211.00350。 10.1109/TQE.2022.3231124。
https：/ / doi.org/ 10.1109 / TQE.2022.3231124
arXiv：2211.00350

【73] オイナム・ロメッシュ・メイテイ、ブライアン・T・ガード、ジョージ・S・バロン、デイビッド・P・パパス、ソフィア・E・エコノモウ、エドウィン・バーンズ、ニコラス・J・メイホール。 「高速変分量子固有ソルバー シミュレーションのためのゲートフリー状態の準備」。 npj 量子情報 7, 155 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41534-021-00493-0

【74] ジャロッド・R・マクリーン、セルジオ・ボイショ、ヴァディム・N・スメリャンスキー、ライアン・バブシュ、ハルトムート・ネヴェン。 「量子ニューラルネットワークのトレーニング風景における不毛の台地」。ネイチャーコミュニケーションズ 9、1–6 (2018)。
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

【75] エドワード・グラント、レナード・ウォスニッヒ、マテウシュ・オスタシェフスキー、マルチェロ・ベネデッティ。 「パラメータ化された量子回路の不毛のプラトーに対処するための初期化戦略」。 量子 3、214 (2019)。
https：/ / doi.org/ 10.48550 / arXiv.1903.05076

【76] アンドレア・スコリク、ジャロッド・R・マクリーン、マスード・モーセニ、パトリック・ファン・デル・スマグト、マーティン・リーブ。 「量子ニューラルネットワークの層別学習」。 量子マシンインテリジェンス 3、1–11 (2021)。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s42484-020-00036-4

【77] リュディガー・アキレスとアンドレア・ボンフィリオーリ。 「キャンベル、ベイカー、ハウスドルフ、ディンキンの定理の初期の証明」。精密科学史アーカイブ 66、295–358 (2012)。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00407-012-0095-8

【78] マリオ・レズカノ＝カサドとダビド・マルティネス＝ルビオ。 「ニューラル ネットワークにおける安価な直交制約: 直交およびユニタリ グループの単純なパラメータ化」。機械学習に関する国際会議にて。 3794 ～ 3803 ページ。 PMLR (2019)。
https：/ / doi.org/ 10.48550 / arXiv.1901.08428

【79] アンドレア・マリ、トーマス・R・ブロムリー、ネイサン・キローラン。 「量子ハードウェアでの勾配と高次導関数の推定」。物理学。 Rev. A 103、012405 (2021)。
https：/ / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.103.012405

【80] ベンジャミン・ラッセルとスーザン・ステップニー。 「量子速度制限を解析するための幾何学的手法: 制約された制御関数を備えた時間依存制御量子システム」。 Giancarlo Mauri、Alberto Dennunzio、Luca Manzoni、Antonio E. Porreca の編集者、「型破りな計算」と「自然な計算」。 198 ～ 208 ページ。コンピューター サイエンスの講義ノートベルリン、ハイデルベルク (2013)。スプリンガー。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-39074-6_19

【81] アンドレアス・アルヴァニトゲオルゴス。 「リー群と均一空間の幾何学の紹介」。第 22 巻。米国数学学会。 （2003年）。
https:/ / doi.org/ 10.1090/ stml/ 022

【82] S・ヘルガソン。 「微分幾何学、ライ群、対称空間」。アメリカ数学学会。 （1978年）。
https：/ / doi.org/ 10.1090 / chel / 341

【83] ジェームス・E・ハンフリーズ。 「リー代数と表現理論の紹介」。第 9 巻。シュプリンガー サイエンス & ビジネス メディア。 （2012年）。
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4612-6398-2