楕円曲線は新しい数値体系の秘密を明らかにする | クアンタマガジン

研究数学における多くの複雑な進歩は、数字に関する最も単純な疑問のいくつかを理解したいという欲求によって促進されています。 整数の中で素数はどのように分布するのでしょうか? 完璧な立方体はありますか (8 = 2 など)³ または27 = 3³) それは他の XNUMX つの立方体の合計として書くことができますか? より一般的には、数学者は方程式を解きたいと考えるかもしれません。 しかし、方程式自体をいじってそれを行うのは不可能なことがよくあります。 代わりに、数学者は、その複雑さが秘密をコード化する非常に抽象的な構造に解を結び付ける方法を見つけます。

過去数十年にわたり、数学における最もエキサイティングな研究分野の 1994 つはこの形式に従ってきました。 これには、楕円曲線と呼ばれる特定の種類の多項式と、モジュラー形式と呼ばれる難解なオブジェクトとの関係の理解が含まれます。これは、20 年にアンドリュー ワイルズが XNUMX 世紀で最も有名な成果の XNUMX つであるフェルマーの最終定理を証明するためにそれらを使用したときに数学で一気に有名になりました。数学。

今年のXNUMX月、 アナ・カライアーニ インペリアル・カレッジ・ロンドンとボン大学の ジェームズニュートン オックスフォード大学の教授がこの分野で新たな研究の扉を開きました 彼らが証明したとき ワイルズが楕円曲線とモジュラー形式の間に確立した関係は、虚数二次体と呼ばれるいくつかの数学的対象にも当てはまります。

ワイルズは、曲線の定義に含まれる 2001 つの変数と 2013 つの係数がすべて有理数、つまり分数として記述できる値である場合、特定の種類の楕円曲線がモジュラーであること、つまり各曲線に対応する特定のモジュラー形式があることを証明しました。 彼の研究の後、数学者はより幅広い文脈でモジュール性を確立しようと努めました。 XNUMX 年に XNUMX 人の数学者が、すべての楕円曲線が有理数に対してモジュールであることを証明しました (一方、ワイルズは一部の曲線についてのみこれを証明しました)。 XNUMX 年に、以下を含む XNUMX 人の数学者が サミール・シクセク ウォリック大学の教授は、楕円曲線もモジュールであることを証明しました。 実二次体上で  (変数と係数が実二次体と呼ばれる数体系から取得されることを意味します)。

進歩が進むにつれて、楕円曲線が虚数二次体上でモジュラーであることを証明するという XNUMX つの特定の目標が達成できないままでした。

二次体は、有理数と実数の間の数学的な足がかりであり、実数には、小数点の右側に決して繰り返されない無限のパターンを持つものを含む、考えられるすべての小数が含まれます。 (これには、$latex sqrt{2}$ や $latex pi $ などのすべての無理数が含まれます。)

二次フィールドでは、整数 (たとえば、5) を選択し、$latex a + bsqrt{5}$ の形式のすべての数値を含めます。 a および b どちらも有理数です。 問題の整数が正の場合、結果として得られる二次フィールドは実数の部分集合であるため、実数二次フィールドと呼ばれます。

虚数二次体上で定義された楕円曲線、つまり負の数の平方根を取ることによって形成される楕円曲線はどうなるでしょうか?

それがカライアーニとニュートンが取り組んだ問題です。

何百年も前、数学者は負の数の平方根を簡単な方法で定義しました。彼らは、次のような名前を付けました。 i, −1 の平方根になります。 この場合、他の負の数の平方根は次のようになります。 i 対応する正の数の平方根を掛けます。 したがって、$latex sqrt{-5}=isqrt{5}$ となります。 虚数は多くの問題において実数よりも扱いやすいため、数学において重要な役割を果たします。

しかし、楕円曲線が虚数二次体上でモジュラーであることを証明することは、長い間手の届かないままでした。実数の二次体上でモジュラー性を証明する手法が機能しないためです。

カライアーニとニュートンは、ワイルズらによって開拓されたモジュール性を証明するプロセスを虚数二次体上の楕円曲線に適応させる方法を見つけ出すことによって、すべての虚数二次体の約半分にわたるすべての楕円曲線に対するモジュール性を達成しました。

「そこでカライアーニとニュートンの素晴らしい仕事が登場した。彼らはワイルズの第二段階を改善した」と語った。 チャンドラシェカール・カレ カリフォルニア大学ロサンゼルス校の博士号。

この研究はそれ自体が技術的な成果であり、架空の環境で数学の最も重要な問題のいくつかを解決するための扉を開きます。

仲人、仲人

数学者は、少なくとも古代ギリシャ時代から、多項方程式（定数乗された変数の組み合わせ）の解に関心を持ってきました。 方程式には無限の種類があり、変数の量、それらの変数の係数、およびそれらの累乗を調整することによって実現されます。 $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ は一例にすぎません。

楕円曲線は、数学的探究に最適な硬度の多項式方程式です。 きちんとしたものがあります（そして広く教えられている) 最大累乗が 2 である 5 つの変数の 3 次多項式の解を求める公式はありますが、最高累乗が 2 以上である多項式の解を求める公式はありません。 一般に、さらに変数を追加すると、状況もより複雑になります。 しかし、$latex (y^3=x^1+XNUMX)$ のような XNUMX つの変数を持ち、最高累乗が XNUMX である楕円曲線は、絶望的に感じるほど難しいものではなく、発明を刺激するのに十分な挑戦的です。

楕円曲線に関する基本的な疑問の XNUMX つは、それを解く有理ペアが有限または無限に存在するかどうかです。 楕円曲線には、有限数の有理解を持つものもあれば、無限に多くの有理解を持つものもあり、まったく持たないものもあります。

「彼らはこのような面白い中間行動をします」とカライアーニ氏は言う。

ランダムな楕円曲線を渡された場合、それがどのカテゴリに分類されるかはすぐにはわかりません。 しかし、モジュラーフォームと呼ばれる対応するオブジェクトと組み合わせることで解読することが可能で、そのプロパティによって答えが明らかになります。

モジュール形式のキャッチ・ミー

モジュラー形式は、解析で研究される関数であり、微積分の高度な形式です。 彼らです 非常に対称的 そして多くの場合、見た目を失うことなく、左または右に移動して翻訳できます。 このように、sin 関数などの他の高度に対称的な関数と共通の機能がありますが、書き留めたり視覚化したりするのはそれほど簡単ではありません。

すべてのモジュラー形式には係数が付属します。 それらを書き留めて、一連の数字を生成できます。 これらの数値には非常に優れた特性があり、ランダムとは程遠いようです。 それらは 20 世紀初頭から数学者を当惑させました。そのとき、数学の天才シュリニヴァサン ラマヌジャンは、モジュラー形式の係数のパターンは、各モジュラー形式がガロア表現と呼ばれる XNUMX 番目の種類のオブジェクトに関連付けられているという事実によって説明されると認識し始めました。 。 その後の作業でリンクが確認されました。

楕円曲線にもガロア表現があり、ラマヌジャンの研究の後、楕円曲線とモジュラー形式の間でガロア表現を補間できるようになりました。一方から始めて、そのガロア表現を特定し、もう一方を見つけます。

「あなたは次のように考えています。楕円曲線、幾何学からのオブジェクトにはガロア表現があり、モジュラー形式にはガロア表現があります。一致するものはありますか?」 シクセクは言った。

1950 年代後半、谷山豊と志村五郎は、特定のモジュラー形式と楕円曲線の間には完全な 1 対 1 の一致があることを提案しました。 次の XNUMX 年間、ロバート ラングランズはこのアイデアに基づいて彼の作品を構築しました。 広範なラングランズ プログラム、これは数学において最も広範かつ重要な研究プログラムの XNUMX つとなっています。

1 対 1 の対応関係が真であれば、数学者に楕円曲線の解を理解するための強力なツール セットが提供されることになります。 たとえば、各モジュール形式には一種の数値が関連付けられています。 数学の最も重要な未解決問題の XNUMX つ (問題が付属していることを証明する) 百万ドルの賞金) — Birch 予想と Swinnerton-Dyer 予想 — は、その値がゼロの場合、そのモジュラー形式に関連付けられた楕円曲線には無限に多くの有理解があり、ゼロでない場合、楕円曲線には有限の多くの有理解があることを提案しています。

しかし、そのようなことに取り組む前に、数学者は対応関係が成り立つことを知る必要があります。つまり、楕円曲線を渡してください。そうすれば、それに一致するモジュラー形式を渡すことができます。 これを証明することは、ワイルズからカライアーニ、ニュートンまで、多くの数学者が過去数十年にわたって取り組んできたことです。

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ワイルズの研究以前に、数学者は対応の一方向を証明することに成功していました。場合によっては、モジュラー形式から始めて、それに一致する楕円曲線を見つけることができました。 しかし、別の方向に進むこと（楕円曲線がモジュール化されているという数学者が言うときの意味）はさらに難しく、ワイルズが最初にそれを達成しました。

「以前の人々は、特定の状況下でモジュラー形式から楕円形に移行する方法を知っていましたが、楕円形からモジュラー形式へのこの逆方向がワイルズの動機となったものでした」とケア氏は語った。

ワイルズは、有理数を係数とするある種の楕円曲線のモジュール性を証明しました。 これだけで、フェルマーの最終定理が矛盾していることを証明するには十分でした。 (ワイルズは、フェルマーの最終定理が偽である場合、以前の研究で確立されていた楕円曲線の存在が存在できないことを意味することを証明しました。したがって、フェルマーの最終定理は真でなければなりません。)

数学者たちはワイルズの楕円曲線に関する研究を拡張する際、ワイルズが最初の結果を証明するために使用したのと同じ方法に従いました。

結果を有理数と有理二次体に一般化することに成功した後、明らかに次の拡張は虚数二次体でした。

「起こり得ることはXNUMXつだけです。フィールドは現実のものか、想像上のものです」とカライアーニ氏は語った。 「現実の事件はすでに理解されているのだから、架空の事件に進むのは当然だ。」

虚数二次体は有理数や実数と同じ基本的な算術特性を持っていますが、ワイルズの方法をそこに移植するのはそれほど簡単ではありませんでした。理由はたくさんありますが、特に、虚数二次体上のモジュラー形式は、有理数や実数体上のモジュラー形式よりも対称性がはるかに低くなります。この相対的な対称性の欠如により、楕円曲線との一致を確立するための鍵となるガロア表現の定義が困難になります。

ワイルズのフェルマー証明から何年もの間、「虚数二次体の場合は依然として可能性を超えていた」とカレ氏は語った。 しかし過去 XNUMX 年にわたり、一連の進歩により、カライアーニとニュートンの研究への道が整いました。

指輪を持ってきてください（または、もっと良いのはフィールドです）

ワイルズの方法の最初のステップは、楕円曲線とモジュラー形式の間のおおよその一致を確立することでした。 この XNUMX つは、ペアの両側で一意に発生する一連の数値にエンコードされたガロア表現を介して接続されます。

最終的には、ガロア表現を定義する数値が正確に一致することを示したいと考えていますが、この最初のステップでは、それらが一定の誤差範囲で異なることを示すだけで十分です。 たとえば、3 の倍数を加算または減算して各数値から対応する数値を得ることができれば、一連の数値が一致していることを証明できます。 この観点から見ると、(4, 7, 2) は (1, 4, 5) または (7, 10, 8) と一致しますが、(2, 8, 3) とは一致しません。 また、5 の倍数、11 の倍数、または任意の素数が異なる場合に、それらが一致すると言うこともできます (技術的かつ重要な理由から、誤差の範囲は常に素数である必要があります)。 2019年 紙 by パトリック・アレン、カレと ジャック・ソーン 問題に対するこの種の手がかりを提供した。

「彼らは、出発点を与える定理を証明した」とニュートンは語った。

2019年の論文の執筆とほぼ同時期に、10人の数学者からなるグループがワイルズの手法の追加ステップを仮想の二次体に対して機能させることに取り組んでいた。 この共同作業は、高等研究所で過ごした2019週間の間に始まり、XNUMX年の論文の共著者であるアレン氏とソーン氏、さらにカライアーニ氏とニュートン氏も参加した。

グループの最初の目標は、モジュラー形式から得られるガロア表現が、ある種の内部一貫性を持っていることを確立することでした。 このプロパティは、楕円曲線から得られるガロア表現と一致させるための前提条件であり、と呼ばれます。 ローカルとグローバルの互換性.

10人でのコラボ なんとかこれを行うことができました 一部の特殊なケースではありますが、ほとんどの場合はそうではありません。 コラボレーションが終了するにつれて、カライアーニとニュートンは、もっとできることがないかどうかを確認するために協力し続けることにしました。

「私たちは同時にロンドンにいて、10人の著者によるプロジェクトに現れた事柄についてお互いに楽しく話し合った」とカライアーニ氏は語った。 「私たちは何が問題点であり、さらに前進するための障害は何かを知っていました。」

暗闇の中で夜な夜な 

カライアーニとニュートンは、自分たちで活動を始めてすぐに、大規模なグループで始めた活動を超えた戦略を立てました。 明らかに間違っているわけではないようですが、それが本当にうまくいくかどうかもわかりませんでした。

「私たちは、物事はうまくいくだろう、この 10 人の著者の論文よりももう少し強力なものを証明できるだろうという楽観的な考えから始めましたが、最終的にはそれができました」とニュートン氏は語った。

Caraiani と Newton はこのアイデアに 2021 年間取り組み、10 年末までに彼らの楽観的な見方が功を奏し、100 人の著者チームによって作成されたローカルとグローバルの互換性の結果が改善されました。 彼らは、XNUMX ページを超える最終論文の前半を構成する長い技術的なセクションでその方法を説明しています。

「この技術的な部分を整えれば、モジュール化が機能することはわかっていました」と Caraiani 氏は言います。

ワイルズの方法の最初のステップは、一種の近似モジュール性を確立することでした。 XNUMX 番目のステップは、ローカルとグローバルの互換性の結果です。 XNUMX 番目のステップは、少なくとも少数の曲線がモジュール化されているという知識を活用し、それを活用して多くの曲線がモジュール化されていることを証明することでした。 この動きは、いわゆるモジュール性リフティング定理によって可能になりました。

「これにより、モジュール化を広めることができます」とニュートン氏は言います。 「何かのモジュール性を知っていれば、このように物事を持ち上げることで、他の多くのもののモジュール性を救うことができます。 このモジュール性の特性を、ある意味、良い方法で広めているんですね。」

比類のない試合

リフティング定理を適用することで、カライアーニとニュートンは無限に多くの楕円曲線のモジュール性を証明することができましたが、それでも理解できない例外ケースがいくつかありました。 これらは、リフティング定理を利用できない固有の特性を持つ少数の楕円曲線族でした。

しかし、それらの数が非常に少なかったため、カライアーニとニュートンはそれらを手動で攻撃することができ、ガロア表現を XNUMX つずつ計算して一致を確立しようとしました。

「そこでは、いくつかのカーブ上のたくさんの点を計算するのが楽しかったです」と Caraiani 氏は言いました。

この取り組みはある程度のところまでは成功した。 カライアーニとニュートンは最終的に、すべての楕円曲線が、有理数と -1、-2、-3、または -5 の平方根を組み合わせて形成される体を含む、虚数二次体の約半分にわたってモジュールであることを証明することに成功しました。 他の虚数二次体については、すべてではないが多くの楕円曲線のモジュール性を証明できました。 (ホールドアウトのモジュール性は未解決の問題のままです。)

彼らの結果は、数学者が有理数と実数について追求する、虚数二次体上の楕円曲線に関する同じ基本的な質問のいくつかを調査するための基盤を提供します。 これには、フェルマーの最終定理の想像上のバージョン (ただし、それに近づく前に追加の基礎を築く必要がある) と、バーチ予想とスウィナートン・ダイアー予想の想像上のバージョンが含まれます。

しかし、どちらの分野でも数学者が進歩したとしても、少なくとも今のところは、カライアーニ氏はその一員にはならないだろう。 楕円曲線のモジュール性に関する長年の研究を経て、彼女は別のことに挑戦する準備ができています。

「ある方向で結果が得られたとしても、その方向にだけ働き続けることは必ずしも好きではありません」と彼女は言いました。 「それで今は、もう少し幾何学的な風味のあるものに興味を移しました。」

訂正： ２０２２年７月１１日
この記事は当初、最大指数が 4 以上である多項方程式の解の一般式は存在しないと述べていました。 正しい数字は5です。記事を修正しました。