1950 年代初頭、高等研究所の研究者グループがハイテク プロジェクトに着手しました。 で 頼む ジョン・フォン・ノイマンとハーマン・ゴールドスタインの共同研究者である物理学者のヘドヴィグ・セルバーグは、IAS の 1,700 本の真空管コンピューターをプログラムして、18 世紀にまでさかのぼる興味深い数学的和を計算しました。
合計は、有名な数学者カール・フリードリッヒ・ガウスにちなんで名付けられた二次ガウス合計に関連していました。 ガウスはいくつかの素数を選択します p、次に $latex e^{frac{2inπn^2}{p}}$ の形式の数値を合計します。 XNUMX 次ガウス和は、その誕生以来、特定の種類の方程式の解を数えるなどのタスクに非常に役立つことが証明されています。 「ガウス和は魔法のようなものであり、神がその理由を知っているので、素晴らしいことをするだけであることが判明しました」と彼は言いました. ジェフリー・ホフスタイン、ブラウン大学の数学者。
19 世紀半ば、ドイツの数学者エルンスト・エドゥアルト・クマーは、これらの二次ガウス和に近いものをいじっていました。 n2 指数の n3. Kummer は、それらがほぼ特定の値を驚くほど収集する傾向にあることに気付きました。これは、何世紀にもわたる数論の調査につながる鋭い観察でした。
XNUMX 次ガウス和をより単純な式に作り直さないと、その値を推測するのは困難です。 そのような式がないため、Kummer は XNUMX 次ガウス和の計算に着手し、計算を繰り返しました。 「当時、彼らがこの種の英雄的な計算を手作業で行うことは非常に一般的でした」と彼は言いました。 マシュー・ヤング、テキサス A&M 大学の数学者。 最初の 45 個の非自明な素数に対応する 45 個の和を計算した後、Kummer はついにあきらめました。
彼の結果を調査して、Kummer は興味深いことに気付きました。 理論的には、合計は -1 から 1 (「正規化」後 - 適切な定数で割った後) の範囲になる可能性があります。 しかし、彼が計算を行ったとき、彼はそれらが奇妙な方法で分布していることを発見しました. 結果の半分は ½ から 1 の間であり、それらの 1 分の 1 だけが -XNUMX から -½ の間でした。 それらは XNUMX 付近に集まっているように見えました。
Kummer は、彼の観察結果を次のように推測しました。無限に多くの 1 次ガウス和を何とかプロットできた場合、それらのほとんどが ½ から 1 の間にあることがわかります。 −½ から ½ の間で少ない。 -XNUMX から -XNUMX/XNUMX の間ではさらに少ない。
Selberg、von Neumann、および Goldstine は、初期のコンピューターでこれをテストしようと試みました。 セルバーグは、10,000 未満の自明でないすべての素数 (全部で約 600 の合計) の 1 次ガウス和を計算するようにプログラムしました。 (Goldstine と von Neumann は論文の執筆を続けました。彼女の貢献は、最後に承認の行に追いやられました。) 彼らは、素数が大きくなるにつれて、正規化された合計が XNUMX の近くに集まる傾向が少なくなることを発見しました。クマーの予想が間違っていたという説得力のある証拠が得られた後、数学者は、単なる計算を超えたより深い方法で XNUMX 次ガウス和を理解しようとし始めました。
そのプロセスはこれで完了です。 1978 年、数学者 サミュエル・パターソン クマーの数学的謎の解決に挑みましたが、証明できませんでした。 そして昨年の秋、カリフォルニア工科大学の 1846 人の数学者がパターソンの予想を証明し、ついに XNUMX 年からのクマーの考えに終止符を打ちました。
パターソンが最初にこの問題に夢中になったのは、1970 年代にケンブリッジ大学の大学院生だったときです。 彼の予想は、数字が -1 と 1 の間の任意の場所にランダムに配置されたときに何が起こるかによって動機付けられました。 N これらの乱数の合計の典型的なサイズは $latexsqrt{N}$ になります (正または負の可能性があります)。 同様に、ガウスの 1 次和が -1 から XNUMX まで均等に分散されている場合は、 N それらを合計すると、およそ $latexsqrt{N}$ になります。
これを念頭に置いて、パターソンは追加しました N 素数に固執するという要件を (当面は) 無視して、XNUMX 次ガウス和を計算します。 彼は合計が約であることを発見しました N5/6 — $latexsqrt{N}$ よりも大きい (次のように記述できます) N1/2)、ただし未満 N. この値は、合計が乱数のように振る舞うことを暗示していましたが、バイアスと呼ばれる正の値に向かってそれらを圧迫する弱い力がありました。 として N ますます大きくなると、ランダム性がバイアスを圧倒し始めます。そのため、何らかの方法で無限に多くの XNUMX 次ガウス和を一度にすべて見ると、均等に分布しているように見えます。
これですべてが説明されたように見えます: Kummer の計算は偏りを示しており、IAS の計算は偏りを否定しています。
しかし、パターソンは素数について同じ計算を行うことができなかったので、1978 年に公式に 推測: 素数の XNUMX 次ガウス和を合計すると、同じになるはずです。 N5/6 行動。
クマー問題に関する彼の研究について講演した直後、パターソンはロジャー・ヒース＝ブラウンという名の大学院生から連絡を受け、彼は素数理論の手法を取り入れることを提案しました。 二人はすぐに手を組んだ 公表 問題の進歩ですが、パターソンが予測したことをまだ示すことができませんでした N5/6 バイアスは素数に対して正確でした。
その後の数十年間、ほとんど進歩がありませんでした。 最後に、千年紀の変わり目に、ヒース・ブラウンは別のものを作りました 画期的なそこでは、彼が開発したキュービックラージシーブと呼ばれるツールが重要な役割を果たしました.
立方体の大きなふるいを使用するために、Heath-Brown は一連の計算を使用して、立方体のガウス和の和を別の和に関連付けました。 このツールを使用して、Heath-Brown は、以下の素数の XNUMX 次ガウス和を合計すると、次のことを示すことができました。 N、結果はより大きくすることはできません N5/6. しかし彼は、ふるい自体を改善することができると考えました。 可能であれば、境界を N5/6 正確に、したがってパターソンの予想を証明します。 短いテキストで、彼はふるいの可能な限り最良の式が何であると彼が考えるかをスケッチしました.
この新しいツールを手にしても、数学者はさらに前進することができませんでした。 それから XNUMX 年後、カリフォルニア工科大学のポスドクとの幸運な出会い アレクサンダー・ダン と彼の上司 マクシム・ラジヴィウ 終わりの始まりを告げた。 Dunn が 2020 年 19 月にその職に就く前に、Radziwił は、Patterson の予想に一緒に取り組むことを提案しました。 しかし、Covid-2021 のパンデミックがまだ猛威を振るっている中、研究と教育はリモートで続けられました。 最後に、XNUMX 年 XNUMX 月、XNUMX 人の数学者がパサデナの駐車場で予期せず衝突したとき、偶然または運命が介入しました。 「私たちは心からおしゃべりをし、会って数学について話し始めることに同意しました」と Dunn は電子メールに書いています。 XNUMX 月までに、彼らは熱心にパターソン予想の証明に取り組んでいました。
Dunn 氏は次のように述べています。 「つまり、5、XNUMX か月間、毎朝午前 XNUMX 時にオフィスに来ていたのを覚えています。」
Dunn と Radziwiłł は、以前の Heath-Brown のように、立方体の大きなふるいが証明に不可欠であることを発見しました。 しかし、Heath-Brown が 2000 年の論文に書き留めた式 (彼が考えられる最高のふるいであると信じていた式) を使用したとき、数論コミュニティが真実であると信じるようになった推測である - 彼らは何かが正しくないことに気付きました。 . 「非常に複雑な作業を経て、1 = 2 であることを証明することができました」と Radziwił 氏は述べています。
その時点で、ラジヴィウは間違いは自分たちのものだと確信していました。 「私たちの証明には基本的に誤りがあると確信していました。」 ダンはそうではないことを彼に納得させた。 期待に反して、立方体の大きなふるいは改善できませんでした。
立方体の大きなふるいの正しさを武器に、ダンとラジヴィウはパターソンの予想へのアプローチを再調整しました。 今回、彼らは成功しました。
「それが、誰もこれをしなかった主な理由だと思います。なぜなら、この [ヒース-ブラウン] の推測は皆を誤解させていたからです」とラジヴィウは言いました。 「私がヒース・ブラウンに彼の推測が間違っていると言ったら、彼はおそらくそれを行う方法を理解するだろう.
Dunn と Radziwiłł は、15 年 2021 月 XNUMX 日に論文を投稿しました。最終的に、彼らの証明は、数学で証明されていないことで有名な予想である一般化リーマン予想に依存していました。 しかし、他の数学者は、これを小さな欠点にすぎないと考えています。 「私たちは仮説を取り除きたいと思っています。 しかし、とにかく条件付きの結果が得られたことをうれしく思います」 ヒースブラウン、現在はオックスフォード大学の名誉教授。
Heath-Brown にとって、Dunn と Radziwił の研究は、Patterson の予想を証明するだけではありません。 立方体の大きなふるいに関する予想外の洞察により、彼らの論文は、彼が何十年も関わってきた物語に驚きの結末をもたらしました。 「論文に『これを取り除くことができると確信している』と実際に書かなくてよかった」と彼は言い、ダンとラジヴィウが発見したふるいのかけらが不可欠であることに言及した。 「私はただ、『これを取り除くことができればいいだろう』と言いました。 あなたができるはずの可能性があるようです。 そして、私は間違っていました—初めてではありません。」
