マーベルの大ヒット作の終わりに アベンジャーズ：エンドゲーム、 録音済みのトニー・スタークのホログラムは、「私はあなたを3,000愛している」と言って、幼い娘に別れを告げます。 感動的な瞬間は、XNUMX人がお互いへの愛を定量化するという遊び心のある就寝時の儀式に従事している以前のシーンを反映しています. スタークを演じる俳優のロバート・ダウニー・Jr.によると、このセリフは自分の子供たちとの同様のやり取りから着想を得たものだという。
このゲームは、多数を探索する楽しい方法です。
「私はあなたを10愛しています。」
「でも私はあなたを100愛しています。」
「まあ、101が好きです！」
これがまさに「googolplex」が私の家で流行語になった理由です。 しかし、この議論が最終的にどこにつながるかは誰もが知っています。
「無限に愛してる！」
"そうそう？ 私はあなたを無限にプラス1愛しています！
遊び場でも就寝時でも、子供たちは数学の授業のずっと前に無限の概念に出会い、当然のことながら、この神秘的で複雑で重要な概念に魅了されます. それらの子供たちの何人かは成長して無限に魅了される数学者になり、何人かの数学者は無限について新しく驚くべきことを発見しています.
いくつかの数のセットが無限に大きいことは知っているかもしれませんが、いくつかの無限大が他のものよりも大きいことを知っていましたか? そして、私たちが最もよく知っているXNUMXつの間に他の無限が挟まれているかどうかはわかりませんか? 数学者はこの XNUMX 番目の疑問を少なくとも XNUMX 世紀にわたって熟考してきましたが、最近のいくつかの研究により、この問題に対する人々の考え方が変わりました。
無限集合のサイズに関する問題に取り組むために、数えやすい集合から始めましょう。 セットはオブジェクトまたは要素のコレクションであり、有限セットは有限数のオブジェクトを含むセットです。
有限集合のサイズを決定するのは簡単です。含まれる要素の数を数えるだけです。 セットは有限であるため、最終的にカウントを停止することはわかっています。完了したら、セットのサイズがわかります。
この戦略は、無限セットでは機能しません。 これがℕで表される自然数の集合です。 (ゼロは自然数ではないと主張する人もいるかもしれませんが、その議論は無限に対する私たちの調査には影響しません。)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$
このセットのサイズは？ 最大の自然数はないため、要素の数を数えようとしてもうまくいきません。 解決策の XNUMX つは、この無限集合のサイズを単に「無限大」と宣言することです。これは間違いではありませんが、他の無限集合を調べ始めると、それも正しくないことがわかります。
7、3.2、−8.015 などの 2 進展開、または $latexsqrt{1.414213} = XNUMX…$ などの無限展開で表現できるすべての数値である実数のセットを考えてみましょう。 すべての自然数も実数であるため、実数の集合は少なくとも自然数の集合と同じ大きさであり、無限でなければなりません。
しかし、実数のセットのサイズを、自然数のサイズを記述するために使用されるのと同じ「無限大」であると宣言することには、何か不満があります。 その理由を理解するために、3 と 7 のような任意の 4 つの数字を選んでください。これら 5 つの数字の間には常に有限個の自然数があります。ここでは数字 6、3.001、3.01 です。しかし、それらの間には常に無限個の実数があります。 4.01023、5.666、π、XNUMX、XNUMX… などです。
驚くべきことに、XNUMX つの異なる実数がどれだけ接近していても、その間には無限に多くの実数が存在します。 これ自体は、実数と自然数の集合のサイズが異なることを意味するものではありませんが、これら XNUMX つの無限集合には根本的に異なる何かがあることを示唆しており、さらなる調査が必要です。
数学者のゲオルグ・カントールは、19 世紀後半にこれを調査しました。 彼は、これら XNUMX つの無限集合が実際には異なるサイズであることを示しました。 彼がどのようにそれを行ったかを理解し、評価するには、まず無限集合を比較する方法を理解する必要があります。 その秘密は、どこにでもある数学クラスの定番です: 関数です。
関数について考えるには、さまざまな方法があります — $latex f(x) = x^2 +1$ のような関数表記法、デカルト平面の放物線のグラフ、「入力を取り、それに 3 を加える」などの規則 —しかしここでは、関数をあるセットの要素を別のセットの要素と一致させる方法と考えます。
これらの集合の XNUMX つを自然数の集合 ℕ としましょう。 もう一方のセットについては、これを呼び出します S、偶数の自然数をすべて取ります。 これが私たちのXNUMXつのセットです：
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$
ℕ の要素を の要素に変換する単純な関数があります。 S: $latex f(x) = 2x$. この関数は単純に入力を XNUMX 倍にするため、ℕ の要素を $latex f(x)$ の入力と考えると (関数の入力のセットを「ドメイン」と呼びます)、出力は常に次の要素になります。 S. たとえば、$latex f(0)=0$、$latex f(1) = 2$、$latex f(2) = 4$、$latex f(3) = 6$ などです。
これを視覚化するには、XNUMX つのセットの要素を並べて並べ、矢印を使用して、関数 $latex f$ が ℕ からの入力を出力に変換する方法を示します。 S.
$latex f(x)$ が正確に XNUMX つの要素を割り当てる方法に注意してください S ℕの各要素に。 それは関数が行うことですが、$latex f(x)$ は特別な方法でそれを行います。 まず、 $latex f$ はすべてを代入します S ℕの何かに。 関数用語を使用すると、 S 関数 $latex f$ の下の ℕ の要素の「画像」です。 たとえば、偶数 3,472 は S、そして我々は見つけることができます x ℕ で $latex f(x) = 3,472$ (つまり 1,736) となります。 この状況では、関数 $latex f(x)$ が ℕ にマッピングされると言います S. $latex f(x)$ 関数は「全射的」であると、より凝った言い方をします。 どのように説明しても、重要なことは次のとおりです。関数 $latex f(x)$ は ℕ からの入力を出力に変換するため、 S、何も S その過程で見逃されます。
$latex f(x)$ が出力を入力に割り当てる方法に関する XNUMX つ目の特別な点は、ℕ の XNUMX つの要素が同じ要素に変換されないことです。 S. 5 つの数値が異なる場合、それらの double は異なります。 11 と XNUMX は ℕ の異なる自然数であり、その出力は S 10 と 22 も異なります。この場合、$latex f(x)$ は「1 対 1」(「1-1」とも書きます) であると言い、$latex f(x)$ を次のように記述します。 「注射」 ここで重要なのは、 S XNUMX 回使用されます: すべての要素 S は、ℕ の XNUMX つの要素のみとペアになっています。
$latex f(x)$ のこれら XNUMX つの機能は、強力な方法で組み合わされています。 関数 $latex f(x)$ は、ℕ の要素と の要素の間の完全な一致を作成します。 S. $latex f(x)$ が「上に」あるという事実は、 S ℕ にパートナーがいて、$latex f(x)$ が 1 対 1 であるという事実は、 S ℕ には XNUMX つのパートナーがいます。 要するに、関数 $latex f(x)$ は ℕ のすべての要素を正確に XNUMX つの要素とペアにします。 S.
単射と全射の両方である関数は全単射と呼ばれ、全単射は 1 つのセット間に 1 対 XNUMX の対応を作成します。 これは、一方のセットのすべての要素が他方のセットに正確に XNUMX つのパートナーを持つことを意味し、これは XNUMX つの無限セットが同じサイズであることを示す XNUMX つの方法です。
関数 $latex f(x)$ は全単射であるため、これは XNUMX つの無限集合 ℕ と S は同じサイズです。 これは意外に思えるかもしれません: 偶数の自然数はそれ自体が自然数であるため、ℕ にはすべてが含まれます。 S もっと。 それはℕをより大きくするべきではありません S? 有限集合を扱っていれば、答えはイエスです。 しかし、1 つの無限セットは別のセットを完全に含むことができ、それらは同じサイズである可能性があります。つまり、「無限プラス XNUMX」は実際には昔ながらの「無限」よりも大きな量の愛ではありません。 これは、無限集合の多くの驚くべき特性の XNUMX つにすぎません。
さらに大きな驚きは、さまざまなサイズのセットが無限に存在することです。 以前に、実数と自然数の無限集合のさまざまな性質を調べましたが、カントールは、これら XNUMX つの無限集合が異なるサイズを持つことを証明しました。 彼は、見事で有名な斜めの議論でそうしました。
任意の 1 つの異なる実数の間には無限に多くの実数があるため、ここでは、XNUMX と XNUMX の間の無限に多くの実数に注目してみましょう。これらの数のそれぞれは、次のように (おそらく無限の) XNUMX 進展開と考えることができます。
ここで、$latex a_1、a_2、a_3$ などは数字の数字にすぎませんが、すべての数字がゼロであるとは限らないため、数字のゼロ自体はセットに含めません。
対角線の議論は本質的に次の質問から始まります: 自然数とこれらの実数の間に全単射が存在するとどうなるでしょうか? そのような関数が存在する場合、1 つのセットは同じサイズになり、関数を使用して XNUMX から XNUMX までの間の実数を自然数と一致させることができます。 このように、一致の順序付きリストを想像できます。
対角引数の優れた点は、このリストを使用して、リストにない実数を作成できることです。 次の方法で、1 桁ずつ実数を作成していきます: 小数点以下の 2 桁目を $latex a_3$ とは異なるものにし、XNUMX 桁目を $latex b_XNUMX$ とは異なるものにし、XNUMX 桁目を $latex とは異なるものにします。 c_XNUMX $ など。
この実数は、リストの対角線との関係によって定義されます。 それはリストに載っていますか？ 最初の桁が異なるため、リストの最初の番号にすることはできません。 また、XNUMX 番目の数字が異なるため、リストの XNUMX 番目の番号にすることもできません。 実際、それはあり得ません nこのリストの th 番号。 n桁目。 そして、これはすべての人に当てはまります nであるため、この新しい番号は 1 から XNUMX の間であり、リストに含めることはできません。
しかし、1 と 1 の間の実数はすべてリストにあるはずでした! この矛盾は、自然数と 1 と XNUMX の間の実数との間に全単射が存在し、そのような全単射が存在しないという仮定から生じます。 これは、これらの無限集合のサイズが異なることを意味します。 関数をもう少し操作すると (演習を参照)、すべての実数の集合が XNUMX と XNUMX の間のすべての実数の集合と同じサイズであることを示すことができます。したがって、自然数を含む実数は、より大きな無限セット。
無限集合のサイズを表す専門用語は、その「カーディナリティ」です。 対角引数は、実数の濃度が自然数の濃度よりも大きいことを示しています。 自然数の基数は $latex aleph_0$ と書かれ、「アレフ ノート」と発音されます。 数学の標準的な見方では、これは最小の無限基数です。
次の無限基数は $latex aleph_1$ (「アレフ 1」) であり、簡潔に述べられた質問が XNUMX 世紀以上にわたって数学者を当惑させてきました: $latex aleph_XNUMX$ は実数の基数ですか? 言い換えれば、自然数と実数の間に他の無限大はありますか? カントールは、答えはノーだと考えた — これは後に、 連続仮説 —しかし、彼はそれを証明できませんでした。 1900 年代初頭、この問題は非常に重要であると考えられていたので、David Hilbert が数学における 23 の重要な未解決問題の有名なリストをまとめたとき、連続体仮説が第 XNUMX 位でした。
百年後、多くの進歩がありましたが、その進歩は新たな謎につながりました. 1940年、有名な論理学者 クルト・ゲーデルが証明した 一般に受け入れられている集合論の規則では、自然数と実数の間に無限が存在することを証明することは不可能です。 これは、連続体仮説が正しいことを証明するための大きな一歩のように思えるかもしれませんが、XNUMX 年後、数学者のポール コーエンは 証明 そのような無限が存在しないことを証明することは不可能です! 連続体仮説は、どちらの方法でも証明できないことがわかりました。
これらの結果を合わせて、連続体仮説の「独立性」が確立されました。 これは、一般に受け入れられているセットの規則では、自然数と実数の間に無限大が存在するかどうかを判断するのに十分ではないことを意味します。 しかし、無限を理解しようとする数学者の意欲をくじくのではなく、新しい方向へと導きました。 数学者は現在、無限についてすでに知られていることを説明し、ギャップを埋めるのに役立つ、無限集合の新しい基本ルールを探しています。
「あなたへの私の愛は公理とは無関係です」と言うのは、「私はあなたの無限大プラス1を愛しています」と言うほど楽しいものではないかもしれませんが、無限を愛する次世代の数学者がぐっすり眠るのに役立つかもしれません.
演習
1. $latex T = {1,3,5,7,…}$、正の奇数の自然数の集合とする。 は T 自然数の集合 ℕ より大きい、小さい、または同じサイズ?
2. 自然数の集合 ℕ と整数の集合の間の 1 対 1 の対応を見つけます $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.
3. 1 と XNUMX の間の実数の集合と XNUMX より大きい実数の集合の間の全単射である関数 $latex f(x)$ を見つけます。
4. 1 と XNUMX の間の実数の集合とすべての実数の集合の間の全単射である関数を見つけます。
回答1をクリックしてください：
回答2をクリックしてください：
要素を一致させる関数を定義することもできます。 この機能、
$latexf(n) =begin{ケース}
frac{n+1}{2} &text{$n$ が奇数の場合}
-frac{n}{2} &text{$n$ が偶数の場合}
終了{ケース}$
ℕ を $latexmathbb{Z}$ にマップし、1-1 です。 したがって、自然数と同じ数の整数があり、無限のもう XNUMX つの奇妙な偉業です。
回答3をクリックしてください：
多くの可能性がありますが、単純なものは $latex f(x) = frac{x}{1-x}$ です。 すべての正の実数は、1 から 102 の間の実数の $latex f(x)$ の下のイメージです。たとえば、102 とペアになっている数を見つけるには、$latex 1 = frac{x}{ と設定します。 XNUMX-x}$ と x について解く:
$latex 102 = frac{x}{1-x}$
$ラテックス 102(1-x) = x$
$ラテックス 102=103x$
$latex x=frac{102}{103}$
必要に応じて、見つかった x が 1 から 102 の間であることに注意してください。 したがって、1 などの任意の数値に対して、それにマッピングされる入力を見つけることができます。これは、$latex f(x)$ が全射であることを示唆しています。 $latex f(x)$ も単射 (1-XNUMX) であることを確認する XNUMX つの方法は、それをグラフ化し、水平線テストに合格することを観察することです。デカルト平面のすべての水平線は $latex f( のグラフを通過します。 x)$ は最大で XNUMX 回です。これは、出力が XNUMX 回使用されないことを意味します。
回答4をクリックしてください：
演習 3 と同様に、機能する関数は複数ありますが、標準的なアプローチは正接関数の変換を使用することです。 ドメイン $latex -frac{π}{2} の場合
この関数のドメインは、変換によって変更できます。 たとえば、$latex -frac{π}{2} < x からドメインを縮小できます。
