アイザック・ニュートンは寛大な精神で知られておらず、ライバルに対する軽蔑は伝説的でした。 しかし、彼のライバルであるゴットフリート・ライプニッツに宛てた手紙の中で、 エピストラ後部、ニュートンはノスタルジックでほとんど友好的だと思います。 その中で、彼は数学を学び始めたばかりの学生時代の話をしています。 彼は、推測とチェックのプロセスによって、曲線下の面積を無限の合計と同一視するという大きな発見をどのように行ったかについて語ります。 手紙の中での彼の推論はとても魅力的で親しみやすく、小さな子供たちがプレイするのが好きなパターン推測ゲームを思い起こさせます.
すべては若いニュートンがジョン・ウォリスの本を読んだときに始まった Arithmetica Infinitorum、 17 世紀の数学の独創的な作品。 ウォリスは pi の値を決定する斬新で帰納的な方法を含め、ニュートンは同様のものを考案したいと考えました。 彼は、調整可能な幅の「円形セグメント」の面積を見つける問題から始めました。 $ラテックスx$. これは、水平軸の 1 から $ラテックスx$。 ここに $ラテックスx$ 0 から 1 までの任意の数値で、1 は円の半径です。 ニュートンがよく知っていたように、単位円の面積は pi です。 $ラテックス x=1$、曲線の下の面積は単位円 $latexfrac{π}{4}$ の XNUMX 分の XNUMX です。 しかし、他の値については $ラテックスx$、何も知られていませんでした。
もしニュートンが、 $ラテックスx$, 円周率を近似する前例のない手段を彼に与えるかもしれません。 それはもともと彼の壮大な計画でした。 しかしその過程で、彼はさらに優れたものを発見しました。それは、複雑な曲線を、次数の累乗で構成される単純なビルディング ブロックの無限和に置き換える方法です。 $ラテックスx$.
ニュートンの最初のステップは、類推によって推論することでした。 円セグメントの面積を直接狙う代わりに、彼は次の曲線で囲まれた類似セグメントの面積を調査しました。
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton は、リスト内の曲線の下の面積が整数のべき乗 ($latex frac{0}{2}=0$ や $latex frac{2}{2} = 1$ など) の場合、計算が簡単であることを知っていました。代数的に単純化するからです。 例えば、
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
同様に、
しかし、円の方程式 — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$ — または半べき乗の他の曲線では、そのような単純化は利用できません。 当時、それらの下の領域を見つける方法を誰も知りませんでした。
幸いなことに、整数乗の曲線の下の領域は簡単でした。 曲線 $latex y_4=1-2x^2+x^4$ を取ります。 そのような関数の当時のよく知られた規則により、ニュートン (および他の誰でも) は面積をすばやく見つけることができました:からの間隔 $ラテックス 0$ 〜へ $ラテックスx$ $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ で与えられます。 (ウォリスは彼の帰納法でこの規則を推測し、ピエール ド フェルマーはそれを決定的に証明しました。) この規則で武装したニュートンは、曲線 $latex y_4$ の下の領域が $latex x- frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
同じ規則により、彼は上記のリストにある他の曲線の下の面積を整数の累乗で見つけることができました。 曲線の下の領域を $latex A_n$ と書きましょう $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, $latex n= 0, 1, 2, …$ . ルールを適用すると、
$ラテックス A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
等々。 ニュートンの狡猾なアイデアは、ギャップを埋めることであり、$latexA_1$ (円セグメントの未知の領域のシリーズ) を、彼が他のシリーズで見たものに基づいて推測することを望んでいました. XNUMX つのことがすぐにわかりました: 各 $latexA_n$ は単純に $latex x$ で始まりました。 それは次のように式を修正することを提案しました：
$ラテックス A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$。
次に、疑問符の次のバッチを置き換えるために、ニュートンは $latex x^3$ 項を調べました。 ちょっとしたライセンスで、$latexA_0 = x-frac{0}{0}x^3$ と書き換えることができるので、$latexA_3$ でさえこれらの 0 次項の 3 つを持っていることがわかります。 ニュートンがライプニッツに説明したように、彼は次のことを観察しました。 3}{1}x^3$ などは等差数列でした」(彼は分子の 3、2、3、3 を指していました)。 ニュートンは、この算術数列がギャップにも及ぶ可能性があると推測し、既知および未知の分子のシーケンス全体が $latex frac{3}{3} (3, frac{0}{1} }, 2, frac{3}{1}, 2, frac{0}{1}, 2 …)$ 「したがって、シリーズの最初の 1 つの項」に興味がありました — まだ不明な $latex A_3$ 、$latex A_2$ および $latex A_2$ — 「$latex x-frac{5}{2}(frac{3}{1}x^3)、x-frac{5}{1} (frac {3}{1}x^2)、x-frac{3}{1}(frac{3}{3}x^2)$ など」
したがって、この段階で、パターンは $latex A_1$ が
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$。
これは良いスタートでしたが、彼にはさらに多くのことが必要でした。 他のパターンを探していたとき、ニュートンは方程式の分母が常に奇数の昇順に含まれていることに気付きました。 たとえば、分母に 6、1、3、5 がある $latex A_7$ を見てください。 同じパターンが $latex A_4$ と $latex A_2$ で機能しました。 十分に単純です。 このパターンは、すべての方程式のすべての分母で明らかに持続していました。
残ったのは、分子のパターンを見つけることでした。 ニュートンは再び $latex A_2$、$latex A_4$、$latex A_6$ を調べ、何かを見つけました。 $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ で、彼は $latex x$ に 1 を掛けたものと、項 $latexfrac {1}{1}x^3$ に別の 3 を見た (彼はその当分の間マイナス記号）。 $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ では、1、2、1 の分子が見られました。そして $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ 、彼は分子 1、3、3、1 を見ました。パスカルの三角形を研究したことがある人はいますか?これは数字の三角形の配置であり、最も単純な場合、上にある数字を 1 から始めて足し合わせることによって作成されます。
パスカルを呼び出す代わりに、ニュートンはこれらの分子を「11 の累乗」と呼びました。 たとえば、112 = 121 (三角形の 11 行目) と XNUMX3 = 1331 で、3 番目です。 現在、これらの数値は二項係数とも呼ばれています。 これらは、$latex (a+b)^1 = 3a^3 + 2a^3b+2ab^1 +3b^2$ のように、($latex a +b$) のように二項式のベキを展開すると発生します。 このパターンを手にすると、ニュートンは $latex A_4、A_6、A_XNUMX$、およびその他すべての偶数番号を簡単に書き出す方法を手に入れました。 A's。
次に、彼の結果を半べき乗と奇数の添え字に外挿する (そして最終的に彼が望んでいた数列 $latex A_1$ に到達する) ために、ニュートンはパスカルの三角形を素晴らしい新しい体制に拡張する必要がありました: 行の中間です。 外挿を実行するために、彼はパスカルの三角形の任意の行 (行 $latex m$) の二項係数の一般式を導出し、大胆にも $latex m= frac{1}{2}$ を組み込みました。 そして驚くべきことに、それはうまくいきました。 これにより、単位円 $latexA_1$ を求めていた級数の分子が得られました。
ここに、ニュートン自身の言葉によると、議論のこの段階までに彼が帰納的に気づいたパターンのライプニッツへの彼の要約があります:
分母の 1、3、5、7 などは等差数列にあるので、分子の数値係数だけを調べる必要があると考え始めました。 しかし、交互に与えられた領域では、これらは数 11 の累乗の数字でした…つまり、最初の「1」です。 次に「1、1」。 1 番目に、'2, 1, 1'; 3 番目に '3, 1, 1, 4'; 6 番目に '4, 1, XNUMX, XNUMX, XNUMX' などなので、最初の XNUMX つの数字からどのようにシリーズの残りの数字を導出できるかを調べ始めました。図では、残りはこの級数の項を連続的に乗算することによって生成されます。
$latex frac{m-0}{1} 回 frac{m-1}{2} 回 frac{m-2}{3} 回 frac{m-3}{4} 回 frac{m-4}{5 }$など
…したがって、私はこのルールをシリーズの間にシリーズを挿入するために適用しました。円の場合、第 1 項は $latex frac{3}{1}(frac{2}{3}x^1)$ だったので、$latex を置きます。 m=frac{2}{XNUMX}$ であり、発生する項は
$latex frac {1}{2} 回 frac{frac{1}{2}-1}{2}$ または $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} 回 frac{frac{1}{2}-2}{3}$ または $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} 回 frac{frac{1}{2}-3}{4}$ または $latex – frac {5}{128}$,だから無限に。 私が求めていた円の面積は
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
最後に、$latex x=1$ を差し込むことで、ニュートンは $latexfrac{π}{4}$ の無限和を得ることができました。 これは重要な発見でしたが、ニュートン自身がこの種の無限和 (現在ではべき級数と呼ばれる) への最初の進出の直後に発見したように、無限和を使用して pi を近似するより良い方法があることが判明しました。 最終的に、彼は円周率の最初の 15 桁を計算しました。
円セグメントの問題に戻ると、ニュートンは円自体 (円の下の領域だけでなく) の方程式もベキ級数で表すことができることに気付きました。 彼がする必要があったのは、分母を省略し、上に表示されたベキ級数で $latex x$ のベキを 1 減らすことだけでした。 したがって、彼はそれを推測するように導かれました
この結果が意味をなすかどうかをテストするために、ニュートンはそれを自分自身で掛けました。
詳細から少し離れて、ここで問題解決に関するいくつかの教訓を学びます。 問題が難しすぎる場合は、変更します。 具体的すぎると思われる場合は、一般化してください。 ニュートンはその両方を行い、当初求めていたものよりも重要で強力な結果を得ました。
ニュートンは円の 1 分の 0 に固執しませんでした。 彼は、幅 $latex x$ の任意の円形セグメントである、より一般的な形状に注目しました。 $latex x=1$ に固執するのではなく、彼は $latex x$ が XNUMX から XNUMX まで自由に実行できるようにしました。これにより、彼の級数の係数の二項特性が明らかになりました — パスカルの三角形における数の予想外の出現とその一般化 —ウォリスや他の人たちが見落としていたパターンをニュートンに見せてください。 これらのパターンを見て、ニュートンはべき級数の理論をより広く一般的に展開するために必要な洞察を得ました。
ニュートンの後の研究では、累乗級数が彼に微積分用のスイス アーミー ナイフを与えました。 それらを使用して、彼は積分を行い、代数方程式の根を見つけ、サイン、コサイン、および対数の値を計算できました。 彼が言うように、「彼らの助けによって、分析はほぼすべての問題に到達します。」
教訓: 問題を変えることは不正行為ではありません。 それは創造的です。 そしてそれは、より大きな何かへの鍵となるかもしれません。
