1850年には、 トーマス・ペニントン・カークマン英国国教会で牧師としての主な責任を果たしていなかった数学者は、彼の「女子高生の問題」について次のように述べています。二人が二度並んで歩かないように。」
現代の数学者にとって、この種の問題はハイパーグラフ、つまり15つ以上のグループに集められたノードのセットとして最もよく想像されます。 XNUMX人の女子学生はノードであり、「XNUMXつ並んだ」の各グループは、XNUMXつのノードを接続するXNUMX本の線またはエッジを持つ三角形と考えることができます。
カークマンの問題は、基本的に、すべての女子学生を互いに接続するこれらの三角形の配置があるかどうかを尋ねますが、XNUMXつの三角形がエッジを共有しないという追加の制限があります。 エッジ共有は、XNUMX人の女子学生がXNUMX回以上一緒に歩かなければならないことを意味します。 この制限は、各女の子がXNUMX週間、毎日XNUMX人の新しい友達と一緒に歩くことを意味します。そのため、すべての可能なペアがXNUMX回だけ集まります。
カークマンが彼の質問を提起して以来、この問題とそれのような他のものは、ほぼ1973世紀の間数学者を惑わしてきました。 XNUMX年、伝説の数学者ポール・エルデシュが同様の提起を行いました。 彼は、一見互換性のないXNUMXつのプロパティを持つハイパーグラフを作成できるかどうか尋ねました。 まず、女子学生の場合と同様に、ノードのすべてのペアをXNUMXつの三角形で接続する必要があります。 このプロパティにより、グラフは三角形で密になります。 XNUMX番目の要件は、三角形を非常に正確な方法で広げることを強制します。 （具体的には、三角形の小さなグループには、三角形よりも少なくともXNUMXつ多くのノードが必要です。）「密な部分がない密なオブジェクト全体がある場合、このわずかに矛盾した動作が発生します」と述べています。 デビッドコンロン、カリフォルニア工科大学の数学者。
今年のXNUMX月、 複雑な50ページの証明、XNUMX人の数学者は、十分なノードがあれば、そのようなハイパーグラフを作成することが常に可能であることを証明しました。 「（彼らが）経験した技術の量は、これを手に入れるためだけに、驚くべきものでした」と述べました。 アラン・ロー、バーミンガム大学の数学者。 コンロンは同意しました：「それは本当に印象的な作品です。」
研究チームは、三角形を選択するためのランダムなプロセスから始めて、ニーズに合わせて細心の注意を払って設計することにより、Erdősの悪魔的な要件を満たすシステムを構築しました。 「証明に入る難しい修正の数は、実際には一種の驚異的です」とコンロンは言いました。
彼らの戦略は、個々の三角形からハイパーグラフを注意深く作成することでした。 たとえば、15人の女子学生を想像してみてください。 各ペアの間に線を引きます。
ここでの目標は、三角形がXNUMXつの要件を満たすように、これらの線の上にある三角形をトレースすることです。まず、XNUMXつの三角形がエッジを共有しないようにします。 （この要件を満たすシステムは、Steinerトリプルシステムと呼ばれます。）次に、三角形のすべての小さなサブセットが十分な数のノードを利用するようにします。
研究者がこれを行った方法は、おそらく類推で最もよく理解されます。
エッジから三角形を作成する代わりに、レゴブロックから家を建てているとしましょう。 あなたが作る最初のいくつかの建物は、構造的な補強と精巧な装飾で贅沢です。 これらを使い終わったら、脇に置いておきます。 それらは「吸収体」、つまり一種の構造化された備蓄として機能します。
次に、残りのレンガで建物を作り始めます。計画を立てずに進めます。 レゴの供給が減少すると、いくつかの漂遊レンガ、または構造的に不健全な家に気付く可能性があります。 しかし、吸収体の建物は非常にやり過ぎで補強されているので、あちこちでレンガを取り出して、大惨事を起こさずにそれらを使用することができます。
シュタイナートリプルシステムの場合、三角形を作成しようとしています。 この場合、アブソーバーは慎重に選択されたエッジのコレクションです。 システムの残りの部分を三角形に分類できない場合は、アブソーバーにつながるエッジの一部を使用できます。 次に、それが完了したら、アブソーバー自体を三角形に分解します。
吸収が常に機能するとは限りません。 しかし、数学者はこのプロセスをいじくり回して、障害物を回避する新しい方法を見つけました。 たとえば、反復吸収と呼ばれる強力なバリアントは、エッジをネストされた一連のセットに分割し、それぞれが次に大きいものの吸収体として機能するようにします。
「過去XNUMX年ほどで、大幅な改善が見られました」とConlon氏は述べています。 「それは芸術の形のようなものですが、彼らはこの時点でそれをハイアートのレベルまで実際に運びました。」
Erdősの問題は、反復吸収を使用しても注意が必要でした。 「この問題が解決されなかった理由はすぐに明らかになりました」と述べています。 メータブ・ソーニー、それを解決したXNUMX人の研究者のXNUMX人と アシュウィンサー、ソーニーと一緒にマサチューセッツ工科大学の大学院生です。 マイケル・シムキン、ハーバード大学数学科学および応用センターの博士研究員。 と マシュー・クワン、オーストリア科学技術研究所の数学者。 「非常に興味深く、非常に難しい技術的タスクがありました。」
たとえば、反復吸収の他のアプリケーションでは、三角形、Steinerトリプルシステム、または他の問題のための他の構造のいずれかでセットをカバーし終えたら、それが処理されたと見なして忘れることができます。 しかし、エルデシュの状態は、XNUMX人の数学者がそれをすることを妨げました。 問題のある三角形のクラスターには、複数のアブソーバーセットのノードが含まれる可能性があります。
「500ステップ前に選択した三角形。どういうわけかそれについて考える方法を覚えておく必要があります」とSawhney氏は述べています。
100人が最終的に理解したのは、三角形を慎重に選択すれば、あらゆる小さなことを追跡する必要性を回避できるということでした。 「XNUMX個の三角形の小さなセットについて考え、三角形のセットが正しい確率で選択されることを保証することをお勧めします」とSawhney氏は述べています。
新しい論文の著者は、彼らの技術がこのXNUMXつの問題を超えて拡張できることを楽観視しています。 彼らは持っている すでに彼らの戦略を適用しました についての問題に ラテン方格、数独パズルを単純化したようなものです。
それを超えて、最終的に吸収方法に帰着するかもしれないいくつかの質問があります、とクワンは言いました。 「組み合わせ論、特にランダムプロセスが非常に強力なツールである設計理論には非常に多くの問題があります。」 そのような問題の1960つであるRyser-Brualdi-Stein予想もラテン方格に関するものであり、XNUMX年代から解決を待っていました。
吸収は、その問題を解決する前にさらなる開発が必要かもしれませんが、30年前の開始以来、長い道のりを歩んできました。 マヤスタイン、チリ大学数学モデリングセンターの副所長。 「それは、これらの方法がどのように進化するかを見るのに本当に素晴らしいことです。」
