紀元前XNUMX世紀、アルキメデス 提起 牧畜に関するなぞなぞは、本当に賢い人だけが解決できると彼は主張しました。 彼の問題は最終的に、次のように書くことができる XNUMX つの二乗項の差を含む方程式に要約されます。 x2 – dy2 = 1. ここで、 d は整数 (正または負のカウント数) であり、アルキメデスは両方の解を探していました。 x & y も整数です。
ペル方程式と呼ばれるこのクラスの方程式は、それ以来数千年にわたって数学者を魅了してきました。
アルキメデスから数世紀後、インドの数学者ブラマグプタ、そして後に数学者バースカーラ 1600 世は、これらの方程式の整数解を求めるアルゴリズムを提供しました。 XNUMX 年代半ばに、フランスの数学者ピエール ド フェルマー (彼はその研究を知らなかった) は、場合によってはそれを再発見しました。 d には比較的小さな値が割り当てられました。 x & y 大規模になる可能性があります。 彼がライバルの数学者に一連の挑戦問題を送ったとき、彼らは方程式を含めました x2 - 61y2 = 1 で、最小の解は 10 桁または XNUMX 桁です。 (アルキメデスに関しては、彼のなぞなぞは本質的に方程式の整数解を求めるものでした。 x2 - 4,729,494y2 = 1. 「最小のソリューションを印刷するには、50 ページかかります」 ピーター・コイマンズ、ミシガン大学の数学者。 「ある意味、アルキメデスの巨大なトロールだ」）
しかし、ペル方程式の解はそれ以上のことができます。 たとえば、無理数 $latex sqrt{2}$ を整数の比率として近似したいとします。 ペル方程式を解くと x2 - 2y2 = 1 はそれを行うのに役立ちます: $latex sqrt{2}$ (または、より一般的には $latex sqrt{d}$) は、解を次の形式の分数として書き直すことによって適切に近似できます。 x/y.
さらに興味深いことに、これらの解は、数学者が環と呼ぶ特定の数体系についても教えてくれます。 このような数体系では、数学者は $latex sqrt{2}$ を整数に隣接させることがあります。 環には特定の特性があり、数学者はそれらの特性を理解したいと考えています。 ペル方程式は、彼らがそうするのに役立つことが判明しました.
そのため、「非常に有名な数学者の多く、ある期間のほぼすべての数学者が、この方程式がいかに単純であるかという理由で実際に研究していました」と述べています。 マーク・シャスターマン、ハーバード大学の数学者。 それらの数学者には、フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ディリクレが含まれていました。 （ジョン・ペル、それほど多くはありません。方程式は誤って彼にちなんで名付けられました。）
現在、コイマンズと カルロ・パガーノモントリオールのコンコーディア大学の数学者は、 何十年も前の予想を証明した これは、特定の形式の方程式が整数解を持つ頻度を定量化するペル方程式に関連しています。 そうするために、彼らは群論という別の分野からアイデアを取り入れながら、同時にその分野の重要だが謎めいた研究対象をよりよく理解するようになりました。 「彼らは本当に深くて美しいアイデアを使っていました。 アンドリュー・グランヴィル、モントリオール大学の数学者。 「彼らは本当にそれを釘付けにしました。」
壊れた算数
初期の1990では、 ピーター・スティーブンハーゲンオランダのライデン大学の数学者は、ペル方程式と群論の間に見たいくつかの関係に触発され、これらの方程式が整数解を持つ頻度について推測しました。 しかし、「すぐに証明されるとは思っていませんでした」と彼は言いました。 利用可能な手法は、問題を攻撃するのに十分強力ではないように思われました。
彼の予想は、リングの特定の機能に依存しています。 たとえば、$latex sqrt{-5}$ が整数に追加された数の環 (数学者は、$latex sqrt{-5}$ のような「虚数」を扱うことがよくあります) には、次の 6 つの異なる方法があります。数をその素因数に分割します。 たとえば、数値 2 は、3 × 1 としてだけでなく、(5 + $latex sqrt{-1}$) × (5 – $latex sqrt{-XNUMX}$) としても記述できます。 その結果、この環では、一意の素因数分解 — 算術の中心的な教義であり、通常の整数では実際に当然と考えられているもの — が崩壊します。 これが発生する範囲は、クラス グループと呼ばれる、そのリングに関連付けられたオブジェクトにエンコードされます。
数学者が関心のある数体系 (整数に隣接する $latex sqrt{2}$ など) についてより深い洞察を得ようとする XNUMX つの方法は、そのクラス グループを計算して調べることです。 しかし、クラス グループがこれらすべての異なる番号システムでどのように動作するかについて、一般的なルールを特定することはほとんど法外に困難です。
1980 年代、数学者たちは アンリ・コーエン & ヘンドリック・レンストラ これらのルールがどのように見えるべきかについて、一連の広範な推測を提示します。 これらの「Cohen-Lenstra ヒューリスティック」は、クラス グループについて多くのことを教えてくれる可能性があり、それにより、基になる数体系のプロパティが明らかになるはずです。
XNUMXつだけ問題がありました。 多くの計算が Cohen-Lenstra ヒューリスティックをサポートしているように見えますが、それらはまだ推測であり、証明ではありません。 「定理に関する限り、ごく最近まで私たちはほとんど何も知りませんでした。 アレックス・バーテル、グラスゴー大学の数学者。
興味深いことに、クラス グループの典型的な動作は、ペル方程式の動作と密接に絡み合っています。 XNUMX つの問題を理解することは、もう XNUMX つの問題を理解するのに役立ちます。そのため、スティーブンハーゲンの予想は、「Cohen-Lenstra ヒューリスティックスがどのような進歩を遂げたかを示すテスト問題でもありました」と Pagano 氏は述べています。
新しい研究には、負のペル方程式が含まれます。ここで、 x2 – dy2 は 1 ではなく -1 に設定されます。元のペル方程式とは対照的に、元のペル方程式では、任意の整数解が常に無限に存在します。 d、すべての値ではない d 負のペル方程式では、解ける方程式が得られます。 取った x2 - 3y2 = −1: いくら数直線を見ても解は見つからない x2 - 3y2 = 1 には無限に多くの解があります。
実際には、多くの値があります。 d 負のペル方程式を解くことができない: 特定の数値が互いにどのように関係するかについての既知のルールに基づいて、 d 3、7、11、15 などの倍数にすることはできません。
しかし、それらの値を避けたとしても d 残りの負のペル方程式だけを考えても、常に解を見つけることができるとは限りません。 可能な値のその小さなセットでは、 d、どの割合が実際に機能しますか？
1993 年、スティーブンハーゲンは、その質問に正確な答えを与える式を提案しました。 の値の d それが機能する可能性があります (つまり、3、7 などの倍数ではない値)、彼は、約 58% が整数の解を持つ負のペル方程式を引き起こすと予測しました。
スティーブンハーゲンの推測は、特に、負のペル方程式とクラス群に関するコーエン・レンストラのヒューリスティックスとの間のリンクによって動機付けられました — 30 年後、コイマンスとパガーノが最終的に彼の正しさを証明したときにこのリンクを利用しました。
より良い大砲
2010 年、Koymans と Pagano はまだ学部生であり、Stevenhagen の予想にまだ慣れていませんでしたが、論文が発表され、この問題について数年ぶりの進展が見られました。
その作品では、 に発表され 数学の年報、数学者 エティエンヌ・フーヴリー & ユルゲン・クリューナース の値の割合が d これは、負のペル方程式が特定の範囲内にある場合に機能します。 そのために、関連するクラス グループのいくつかの要素の動作を把握しました。 しかし、Stevenhagen の 58% というより正確な見積もりに到達するには、さらに多くの要素を理解する必要があります。 残念ながら、これらの要素は不可解なままでした。それらの構造を理解するには、新しい方法が必要でした。 これ以上の進歩は不可能に思えました。
そして2017年、コイマンスとパガーノが一緒にライデン大学の大学院に通っていたとき、 紙が出た それがすべてを変えました。 「これを見たとき、非常に印象的な結果であることがすぐにわかりました」と Koymans 氏は述べています。 「よし、今はこの問題を撃つことができる大砲を手に入れたし、進歩できることを願っているようなものだった.」 (当時、Stevenhagen と Lenstra は Leiden の教授でもあり、Koymans と Pagano がこの問題に関心を持つようになった.)
論文はハーバードの大学院生によるもので、 アレクサンダースミス （現在はスタンフォード大学のクレイフェローです）。 Koymans と Pagano だけがこの研究を突破口として歓迎したわけではありません。 「アイデアは素晴らしかったです」とグランビル氏は言います。 「革命的。」
スミスは、楕円曲線と呼ばれる方程式の解の性質を理解しようとしていました。 そうすることで、彼は Cohen-Lenstra ヒューリスティックスの特定の部分を解決しました。 それは、それらのより広い予想を数学的事実として確固たるものにする最初の主要なステップであっただけでなく、コイマンズとパガーノがスティーブンハーゲンの予想に関する研究で理解する必要があったクラス グループの一部を正確に含んでいました。 (この作品には、Fouvry と Klüners が部分的な結果で研究した要素が含まれていましたが、それらをはるかに超えていました。)
しかし、Koymans と Pagano は、Smith の方法をそのまますぐに使用することはできませんでした。 (もしそれが可能であったなら、スミス自身はおそらくそうしていたでしょう。) スミスの証明は、正しい数環 ($latex sqrt{d}$ が整数に隣接するもの) に関連付けられたクラス群に関するものでしたが、彼はすべてを考慮しました。の整数値 d. 一方、コイマンズとパガーノは、これらの値のごく一部しか考えていませんでした。 d. その結果、彼らはクラス グループのごく一部の平均的な行動を評価する必要がありました。
これらのクラス グループは、本質的にスミスのクラス グループの 0% を構成していました。つまり、スミスは証明を書いているときにそれらを捨てることができました。 それらは、彼が研究していた平均的な行動にはまったく寄与していませんでした。
Koymans と Pagano が自分たちの関心のあるクラス グループだけに彼のテクニックを適用しようとすると、その方法はすぐに破綻しました。 ペアは、それらを機能させるために大幅な変更を加える必要があります. さらに、彼らは XNUMX つのクラス グループを特徴付けるだけでなく、XNUMX つの異なるクラス グループ間に存在する可能性のある不一致を特徴付けていました (そうすることが、スティーブンハーゲンの予想の証明の主要な部分になります)。これには、いくつかの異なるツールも必要です。
そこで、コイマンズとパガーノは、物事が軌道から外れ始めた場所を正確に特定することを期待して、スミスの論文をより注意深く調べ始めました。 材料が非常に複雑だったという理由だけでなく、スミスは当時まだプレプリントを改良し、必要な修正と明確化を行っていたため、困難で骨の折れる作業でした。 (彼が投稿した 彼の論文の新しいバージョン 先月オンラインで。）
Koymans と Pagano は XNUMX 年間、一行一行一緒に証明を学びました。 彼らは毎日集まり、昼食をとりながら特定のセクションについて話し合った後、黒板で数時間を過ごし、関連するアイデアを互いに助け合いました。 そのうちのXNUMX人が自分で進歩した場合、彼はもうXNUMX人にテキストメッセージを送って最新情報を伝えました。 Shusterman は、彼らが夜遅くまで働いているのを時々見たことを思い出します。 課題が伴いましたが (あるいはそのせいで)、「一緒にやるのはとても楽しかったです」と Koymans 氏は言います。
彼らは最終的に、新しいアプローチを試す必要がある場所を特定しました。 最初は、わずかな改善しかできませんでした。 数学者たちと一緒に ステファニーチャン & ジョルジョ・ミロビッチ、彼らはクラスグループ内のいくつかの追加要素を処理する方法を見つけ出し、それにより、Fouvry と Klüners が持っていたよりも優れた境界を得ることができました。 しかし、クラス グループの構造の重要な部分は、依然としてそれらから逃れられていました。
彼らが取り組まなければならなかった大きな問題の XNUMX つは、この新しい状況ではスミスの方法がもはや機能しなかったことであり、クラス グループの「平均的な」行動を真に分析していることを確認することでした。 d どんどん大きくなりました。 ランダム性の適切な程度を確立するために、コイマンズとパガーノは相反則と呼ばれる一連の複雑な規則を証明しました。 最終的に、これにより、XNUMX つのクラス グループ間の違いを制御できるようになりました。
この進歩は、他の研究者と相まって、今年初めにスティーブンハーゲンの予想の証明を最終的に完成させることができました。 「彼らがそれを完全に解決できたことは驚くべきことです」とチャンは言いました。 「以前は、これらすべての問題がありました。」
彼らがしたことは「私を驚かせた」とスミスは言いました。 「コイマンズとパガーノは私の古い言葉を維持し、それを使って、私がもはやほとんど理解できない方向にどんどん押し進めました。」
最も鋭いツール
スミスが XNUMX 年前にそれを紹介したときから、Cohen-Lenstra ヒューリスティックスの一部のスミスの証明は、楕円曲線やその他の関心のある構造に関する問題を含む、他の多くの問題への扉を開く方法と見なされていました。 (彼らの論文では、コイマンズとパガーノは、彼らの方法を使用したいと考えている約 XNUMX の予想を挙げています。その多くは、負のペル方程式やクラス グループとは何の関係もありません。)
「多くのオブジェクトは、この種の代数群と似ていない構造を持っています」とグランビルは言いました。 しかし、コイマンズとパガーノが直面しなければならなかったのと同じ障害の多くは、これらの他の文脈にも存在します。 負のペル方程式に関する新しい研究は、これらの障害を取り除くのに役立ちました。 「アレクサンダー・スミスはこれらの鋸とハンマーの作り方を教えてくれましたが、今はそれらを可能な限り鋭く、可能な限り強く打ち、さまざまな状況に可能な限り適応できるようにする必要があります」とバーテルは言いました. 「この論文が行うことの XNUMX つは、その方向に大いに進むことです。」
一方、これらの研究はすべて、クラス群の XNUMX つの側面だけに対する数学者の理解を深めてきました。 Cohen-Lenstra 予想の残りの部分は、少なくとも現時点では手の届かないままです。 しかし、Koymans と Pagano の論文は、「Cohen-Lenstra の問題に対処するために私たちが持っている技術が、一種の成長段階にあることを示しています」と、Smith 氏は述べています。
Lenstra 自身も同様に楽観的でした。 それは「絶対に壮観だ」と彼は電子メールで書いた. 「これは、数論そのものと同じくらい古い数論の一分野に新しい章を切り開くものです。」
