XNUMX 人の学生が広く信じられている数学の予想を解明する | クアンタマガジン

サマー・ハーグとクライド・ケルツァーは、夏の研究プロジェクトに大きな期待を寄せていました。 数学の下位分野全体を盲目にすることはその中にはありませんでした。

XNUMX月、ハーグさんはケルツァーさんが学部に在籍していたコロラド大学ボルダー校の大学院のXNUMX年目を終えるところであった。 二人とも授業が休みになるのを楽しみにしていた。 ハーグさんは新たなハイキングや登山ルートを模索する計画を立てていた。 ボルダー出身のケルツァーさんは、サッカーをしながら大学院への入学願書を準備したいと考えていました。 しかし、意欲的な研究数学者として、彼らは数学者のグループのハーフタイムの夏季研究プログラムにも応募していました。 キャサリン・スタンジ.

スタンゲは数論者であり、自分自身を数学的「カエル」 — 別の問題に飛びつく前に、ある問題の複雑さを深く掘り下げる人。 彼女は「豊かな構造につながる、単純に見える質問」に興味があると語った。 彼女のプロジェクトでは、コンピューターを使用して大規模なデータ セットを生成することで、数論のとらえどころのない未解決の問題を突きつけることがよくあります。

ハーグとケルツァーは、ハーグの 23 歳の誕生日にプログラムを開始し、アポロニアン円パッキング (円がどのようにして XNUMX つの大きな円に調和して押し込めるかについての古代の研究) に関する XNUMX 週間の入門書を学びました。

XNUMX 枚のコインが他のコインと接するように配置することを想像してください。 いつでも、外側から XNUMX つすべてに接する円をその周りに描くことができます。 次に、その大きな円のサイズが XNUMX つのコインのサイズとどのように関係するのか、という質問を始めることができます。 XNUMX枚のコインの隙間に入る大きさの円はどれくらいでしょうか？ そして、円の間の隙間を徐々に小さくして埋める円を描き始めると、つまりパッキングとして知られるフラクタル パターンが作成される場合、それらの円のサイズは互いにどのように関係するのでしょうか?

数学者はこれらの円の直径について考えるのではなく、曲率 (半径の逆数) と呼ばれる尺度を使用します。 したがって、半径 2 の円の曲率は 1/2、半径 1/3 の円の曲率は 3 になります。円が小さいほど、曲率は大きくなります。

ルネッサンスの数学者は、最初の XNUMX つの円の曲率が整数であれば、パッキング内の後続のすべての円の曲率が整数であることが保証されることを証明しました。 それ自体は注目に値します。 しかし、数学者はこの問題をさらに一歩進めて、円がどんどん小さくなり、曲率がどんどん大きくなるときにどの整数が現れるかという質問をしました。

2010年には、 エレナ・フックス、現在カリフォルニア大学デイビス校の数理論者、 証明 曲率は、曲率を特定の数値バケットに強制的に入れる特定の関係に従います。 その後間もなく、数学者たちは、曲率をいずれかのバケットに分類する必要があるだけでなく、各バケット内のすべての可能な数値を使用する必要があると確信するようになりました。 この考え方はローカル-グローバル予想として知られるようになりました。

「多くの作品が、あたかもそれがすでに事実であるかのように言及しています」とケルツァー氏は言う。 「私たちはそれが近い将来のある時点で証明されるかのように議論しました。」

ジェームズ・リッカーズボルダー大学の数学者で、スタンジと学生たちと協力している彼は、円パッキングの任意の配置を調べるためのコードを書いていました。 そのため、ハーグとケルツァーが 15 月 XNUMX 日にグループに加わったとき、信頼できるローカルからグローバルへのルールが始まるというクールなプロットを作成できると考えました。

スタンゲ氏は12月初旬、会議のためフランスへ飛んだ。 XNUMX 月 XNUMX 日に彼女が戻ってきたとき、チームはいくつかのバケツに特定の数値がどのように欠けているかを示すグラフの周りに集まりました。

「私たちはこの現象を調査していませんでした」とリッカーズ氏は語った。 「それが真実かどうかを検証しようとしたわけではありません。 それが真実であることは知っていましたが、ただそれが真実だと思い込んでいました。 そして突然、そうではないというデータに直面することになります。」

週末までに、チームはこの推測が誤りであると確信した。 彼らが期待していた数字は決して現れませんでした。 彼らは証拠を練り上げ、6月XNUMX日に彼らは 自分の作品を投稿しました 科学プレプリント サイト arxiv.org にアクセスしてください。

フックス氏は、証拠が固まった直後にスタンジ氏と話したことを覚えている。 「ローカルからグローバルへの推測をどの程度信じますか?」 スタンジェは尋ねた。 フックスは、もちろん信じていると答えた。 「その後、彼女はこれらのデータをすべて見せてくれたので、私はこう言いました。『なんとまあ、これはすごいですね』」とフックス氏は語った。 「つまり、私はローカルからグローバルへの推測が真実であると心から信じていました。」

「一度見たら、『ああ！』と言うだけですよ」 もちろんです！」と言いました。 ピーターサルナック、高等研究所とプリンストン大学の数学者。 初期の観察 ローカル対グローバルの推測を促進するのに役立ちました。

「それは素晴らしい洞察です」と付け加えた アレックス・コントロビッチ ラトガース大学の。 「人々が初めてこれで遊び始めた 20 年前にそれを見つけられなかったことを、私たちは皆悔しく思っています。」

結果によって残された瓦礫の中で、この研究は数論における他の推測の基礎にある亀裂を明らかにしました。 数学者たちは、広く信じられている信念が次に崩壊するのではないかと考え続けています。

ラウンドアバウトの歴史

アポロニアン サークル パッキングの名前は、おそらくその創始者であるペルガのアポロニウスに由来しています。 約2,200年前、ギリシャの幾何学者は次のような本を書きました。 接線 他の 500 つの円に接する円を作成する方法について説明します。 その本は時間の経過とともに失われてしまった。 しかし約 XNUMX 年後、ギリシャの数学者アレクサンドリアのパップスは、ビザンチン帝国の崩壊後も生き残ることになる大要録をまとめました。

パプスの説明のみを使用すると、 接線, ルネサンスの数学者は原作を辿ろうとしました。 1643 年までに、ルネ デカルトは、互いに接する 11 つの円の曲率間の単純な関係を発見しました。 デカルトは、すべての曲率の二乗の合計は曲率の合計の二乗の半分に等しいと主張しました。 これは、14 つの円が与えられた場合、15 番目の接円の半径を計算できることを意味します。 たとえば、曲率 86、XNUMX、XNUMX の XNUMX つの円がある場合、これらの数値をデカルトの方程式に代入して、その中に収まる円の曲率を計算できます: XNUMX。

1936年にノーベル賞を受賞した放射化学者 フレデリック・ソディ デカルトの関係を使ってパッキンを構築しているときに、何か奇妙なことに気づきました。 円が小さくなり、曲率が大きくなるにつれて、彼は平方根や無限小数を含む厄介な数値が得られることを期待していました。 代わりに、すべての曲率は整数でした。 これはデカルトの方程式のかなり単純な結果でしたが、何百年もの間誰も気づきませんでした。 それがソディにインスピレーションを与えた 詩を出版する 科学誌では 自然、始まりました：

唇がキスするためかもしれない
三角関数は含まれません。
XNUMXつの円がキスするときはそうではありません
残りのXNUMX人はそれぞれ。

可能性と必然性

整数で満たされたパッキングが存在することが確立されると、数学者はそれらの整数のパターンを見つけようとしました。

2010 年にフックスと キャサリン・サンデン に基づいて構築を開始しました 2003からの紙。 二人は、特定のパッキングの各曲率を 24 で割ると、ある法則が現れることに気づきました。 一部のパッキンは、たとえば、残りが 0、1、4、9、12、または 16 の曲率のみを持ちます。 残りは 3、6、7、10、15、18、19、または 22 のみです。XNUMX つの異なるグループが考えられます。

数学者がさまざまなカテゴリの充填物を検討するにつれて、十分に小さな円、つまり大きな曲率を持つ円の場合、そのタイプの充填物には各カテゴリ内のすべての可能な数値が出現するように見えることに気づき始めました。 この考えはローカル-グローバル予想と呼ばれるようになりました。 それを証明することは「小さな数学者の私の夢の一つ」になったとフックス氏は語った。 「おそらく、何年も後のある時点で、それを解決できるでしょう。」

2012年、コントロヴィッチとジャン・ブルゲン（ 2018で死亡した) を証明した. ほぼすべての数字 推測で予測されたことは実際に起こります。 しかし、「実質的にすべて」は「すべて」を意味するわけではありません。 たとえば、完全平方は非常にまれであるため、数学的には、たとえば 25 と 49 は完全平方ではありますが、「実質的にすべて」の整数は完全平方ではありません。 数学者たちは、コントロビッチ氏とブルゲン氏の論文の後も可能であった稀な反例は実際には存在しないと考えていたが、その主な理由は、最もよく研​​究されている XNUMX つまたは XNUMX つの円パッキングが局所-大域予想に非常によく従うようだったからだ、とコントロビッチ氏は述べた。

ダイヤルを上げてみる

ハーグとケルツァーがこの夏ボルダーで仕事を始めたとき、リッカーズはスタンジのオフィスの黒板にアイデアを走り書きした。 「リストはすべて揃っていました」とリッカーズ氏は語った。 彼らには、実験するための出発点が XNUMX つまたは XNUMX つありました。 「ただ遊んで何が起こるか確認できるもの。」

XNUMX つのアイデアは、XNUMX つの任意の曲率 A と B を含むすべての可能な円パッキングを計算することでした。Rickards は、A が主催しているときにパーティーにどの整数が表示されるかを報告する一種の台帳を出力するプログラムを作成しました。

このプログラムに基づいて、ハーグは大量のシミュレーションを一度にプロットする Python スクリプトを作成しました。 それは九九のようなものでした。ハーグは、24 で割ったときの余りに基づいて、どの行と列を含めるかを選択しました。アポロニアン パッキングに現れる数値のペアは白いピクセルを取得します。 黒いピクセルがないもの。

ハーグは、XNUMX つのグループのそれぞれの残りのペアごとに XNUMX つずつ、数十の区画を耕しました。

それらはまさに予想どおりに見えました。白い壁に、小さな整数の場合は黒い斑点が散りばめられています。 「黒い点々は消えていくだろうと予想していました」とスタンジ氏は語った。 リッカーズ氏はさらに、「もしかしたら、彼らの活動が鈍化することを証明することさえ可能かもしれないと思った」と付け加えた。 彼は、多くのパッキンを総合したチャートを見ることで、チームは XNUMX つのパッキンを単独で調べた場合には不可能な結果を​​証明できるだろうと推測しました。

スタンゲが不在の間、ハーグは最終的に残りのペアすべて (約 120) をプロットしました。これは驚くべきことではありません。 それから彼女は大きくなりました。

ハーグは 1,000 個の整数がどのように相互作用するかをプロットしていました。 (グラフには 1 万の可能なペアが含まれるため、グラフは思っているよりも大きくなります。) 次に、彼女はダイヤルを 10,000 倍 10,000 まで上げました。 あるグラフでは、黒い斑点の規則的な行と列が溶解することを拒否しました。 それは、ローカルとグローバルの推測が予測するものとはまったく似ていませんでした。

チームはスタンゲが戻った後の月曜日に集まった。 ハーグはグラフを提示しましたが、それらはすべて奇妙な点のあるグラフに焦点を当てていました。 「それは単なる継続的なパターンでした」とハーグ氏は語った。 「そしてその時、ケイトは『もしローカルとグローバルの推測が真実ではなかったらどうする？』と言いました。」

「これはパターンのようです。 それは続けなければなりません。 したがって、ローカルとグローバルの推測は間違いに違いない」とスタンゲ氏は考えたことを思い出した。 「ジェームズはもっと懐疑的だった。」

「最初に考えたのは、コードにバグがあるに違いないと思いました」とリッカーズ氏は言います。 「つまり、それが私が考えることができる唯一の合理的なことでした。」

半日以内にリッカーズがやって来た。 このパターンでは、最初の数字が 8 × (3) の形式であるすべてのペアが除外されます。n ±1)² 24 番目は正方形の 24 倍です。 これは、8 と XNUMX が同じ梱包に含まれることは決してないことを意味します。 予想される数字は実際には発生しません。

「なんだか目がくらんでしまいました。 本当に驚くようなことが起こることは、あまり多くありません」とスタンゲ氏は語った。 「しかし、それがデータを扱う魔法なのです。」

　 XNUMX月の新聞 彼らが観察したパターンが無限に続くという厳密な証拠を概説し、推測を反証します。 証明は、XNUMX つの素数の XNUMX 乗を含む二次相反性と呼ばれる何世紀も前の原理にかかっています。 Stange のチームは、相反性が円充填にどのように適用されるかを発見しました。 これは、特定の曲率が互いに接できない理由を説明します。 このルールは障害物と呼ばれ、梱包全体に広がります。 「まったく新しいことです」と彼は言った ジェフリー・ラガリアス、ミシガン大学の数学者で、2003 年のサークルパッキング論文の共著者でした。 「彼らはそれを独創的に見つけ出しました」とサーナク氏は語った。 「もしこれらの数字が実際に現れたとしたら、相互主義に違反することになるでしょう。」

落ち込み

数論における他の多くの予想は現在、疑わしい可能性があります。 ローカル-グローバル予想と同様に、それらを証明するのは困難ですが、事実上すべてのケースに当てはまることがすでに示されており、一般に正しいと考えられています。

たとえば、フックスは、次の方程式を満たす数値の集合であるマルコフ トリプルを研究しています。 x² + y² + z² = 3XYZ。 彼女と他の人々は、特定の種類の解が 10 を超える素数に関連していることを示しました。³⁹²。 パターンは無限に続くはずだと誰もが信じています。 しかし、新たな結果を踏まえて、フックスさんは一抹の疑念を感じることを自分に許した。 「もしかしたら私には何かが足りないのかもしれない」と彼女は言った。 「もしかしたら、誰もが何かを見逃しているかもしれない。」

「偽である例が XNUMX つあるので、問題は次のとおりです。これらの他の例も偽ですか?」 リッカーズ氏は語った。

ザレンバ予想もあります。 それは、任意の分母を持つ分数は、1 から 5 までの数字のみを使用する連分数として表現できると述べています。2014 年、コントロビッチとブルゲインは、ザレンバの予想がほぼすべての数字に当てはまることを示しました。 しかし、サークルパッキングに関する驚きは、ザレンバの予想に対する信頼を損なった。

パッキングの問題が今後起こる前兆である場合、計算データはその問題を元に戻すツールになる可能性があります。

「純粋にデータを観察するだけで新しい数学が生まれるのは、いつも興味深いことだと思います」とフックス氏は言う。 「それがなければ、[彼らが] 偶然これに遭遇したとは想像するのが非常に困難です。」

スタンゲ氏は、賭け金の低い夏のプロジェクトがなければ、このようなことは何も起こらなかっただろうと付け加えた。 「偶然の発見と遊び心のある探検の姿勢は、どちらも発見において非常に大きな役割を果たします」と彼女は言いました。

「それはまったくの偶然でした」とハーグ氏は語った。 「私が十分に大きくならなければ、私たちはそれに気付かなかったでしょう。」 この研究は、数論の将来にとって良い前兆です。 「数学の理解は、直感や証明を通じて集めることができます」とスタンゲ氏は言う。 「そして、それについて考えるのに多くの時間を費やしたので、あなたはそれをとても信頼しています。 しかし、データに反論することはできません。」

編集者注: アレックス・コントロヴィッチはのメンバーです クォンタマガジンの科学諮問委員会。 彼はこの記事のためにインタビューを受けましたが、それ以外にはその制作には関与しませんでした。