バブルクラスターの形状を理解することになると、数学者は何千年もの間、私たちの物理的な直感に追いついてきました. 自然界のシャボン玉クラスターは、多くの場合、すぐにエネルギーが最も低い状態、つまり壁 (泡の間の壁を含む) の総表面積を最小化する状態にスナップするように見えます。 しかし、シャボン玉がこのタスクを正しく行っているかどうかを確認すること、または大きなシャボン玉のクラスターがどのように見えるかを予測することは、幾何学で最も難しい問題の 19 つです。 ギリシャの数学者ゼノドロスが 2,000 年以上前にこれを主張していたにもかかわらず、XNUMX 世紀後半まで数学者が球体が最高の単一バブルであることを証明するのに時間がかかりました。
泡の問題は簡単に言えば、体積の数のリストから始めて、最小の表面積を使用してそれらの体積の空気を個別に囲む方法を尋ねます。 しかし、この問題を解決するには、数学者は泡の壁のさまざまな形状を幅広く考慮する必要があります。 また、割り当てが、たとえば XNUMX つのボリュームを囲むことである場合、注意を XNUMX つのバブルのクラスターに制限する余裕はありません。おそらく、表面積を最小化する最善の方法は、ボリュームの XNUMX つを複数のバブルに分割することです。
10 次元平面のより単純な設定 (周囲を最小化しながら領域の集合を取り込もうとしている場合) でさえ、たとえば XNUMX つまたは XNUMX 個の領域を囲む最善の方法を誰も知りません。 バブルの数が増えると、「すぐに、もっともらしい推測さえ得られなくなります」と彼は言いました。 エマニュエル・ミルマン ハイファ、イスラエルのテクニオンの。
しかし四半世紀以上前、 ジョン・サリバン現在はベルリン工科大学に所属している、あるケースでは、 導きの推測 持っていること。 バブルの問題はどの次元でも意味をなすもので、Sullivan は、取り込もうとしているボリュームの数がその次元より XNUMX つ大きい数である限り、ボリュームを囲む特定の方法があることを発見しました。つまり、ある意味では、球体上の完全に対称的なバブルクラスターの一種の影です。 この影のクラスターは、表面積を最小化するものであると彼は推測しました。
その後の XNUMX 年間で、数学者は一連の画期的な論文を書き、XNUMX 巻だけを収めようとしているサリバンの予想を証明しました。 ここでの解決策は、晴れた日に公園で吹き飛ばしたおなじみのダブル バブルです。これは、XNUMX つの球状の破片でできており、その間に平らな壁または球状の壁があります (XNUMX つのバブルの体積が同じか異なるかによって異なります)。
しかし、数学者はサリバンの予想を XNUMX 巻について証明した。 フランク·モーガン ウィリアムズ大学の 推測 2007年には、「さらにXNUMX年かかる可能性があります」。
現在、数学者はその長い待ち時間を免れ、トリプル バブルの問題を解決するだけではありません。 で 紙 XNUMX 月にオンラインで投稿された、ミルマンと ジョー・ニーマンテキサス大学オースティン校の教授らは、XNUMX 次元以上のトリプル バブルと XNUMX 次元以上の XNUMX 次元バブルに関するサリバンの予想を証明し、XNUMX 次元以上の XNUMX 次元バブルに関するフォローアップ論文を執筆中です。
そして、XNUMX つ以上のバブルに関しては、Milman と Neeman は、最良のクラスターはサリバンの候補の重要な属性の多くを持たなければならないことを示しており、数学者がこれらのケースの予想を証明する道を歩み始める可能性があります。 「私の印象では、彼らはサリバン予想の背後にある本質的な構造を把握したということです。」 フランチェスコ・マギー テキサス大学オースティン校。
ミルマンとニーマンの中心定理は「記念碑的」であると、モーガンは電子メールで書いています。 「これは多くの新しいアイデアによる素晴らしい成果です。」
シャドーバブル
実際のシャボン玉での私たちの経験は、少なくとも小さなクラスターに関しては、最適なバブルクラスターがどのように見えるべきかについての魅力的な直感を提供します. 私たちがせっけんのような棒で吹く三重または四重の泡は、球状の壁 (場合によっては平らな壁) を持っているように見え、長い鎖状の泡ではなく、きつい塊を形成する傾向があります。
しかし、これらが本当に最適なバブル クラスターの特徴であることを証明するのは簡単ではありません。 たとえば、数学者は、最小化された気泡クラスターの壁が常に球形か平面かを知りません。彼らは、壁が「一定の平均曲率」を持っていることだけを知っています。つまり、平均曲率はある点から別の点まで同じままであることを意味します。 球体と平面にはこの特性がありますが、円柱やアンデュロイドと呼ばれる波状の形状など、他の多くの面にも同様の特性があります。 一定の平均曲率を持つ表面は「完全な動物園」であるとミルマンは言います。
しかし 1990 年代に、サリバンは、囲みたいボリュームの数が次元より XNUMX つだけ大きい場合、残りのクラスターよりも優れているように見える候補クラスターがあることに気付きました。本物のシャボン玉の小さな塊を見ることができます。
このような候補がどのように構築されるかを理解するために、Sullivan のアプローチを使用して平面に XNUMX つのバブル クラスターを作成してみましょう (したがって、「バブル」は XNUMX 次元オブジェクトではなく平面内の領域になります)。 互いに同じ距離にある球上の XNUMX つのポイントを選択することから始めます。 ここで、これら XNUMX つの点のそれぞれが小さな泡の中心であり、球の表面にのみ存在することを想像してください (したがって、各泡は小さな円盤になります)。 球体の XNUMX つの泡を互いにぶつかり始めるまで膨らませ、表面全体をまとめて埋めるまで膨らませ続けます。 四面体が膨らんだように見える XNUMX つのバブルの対称クラスターができあがります。
次に、球が無限の床に置かれたボールであるかのように、この球を無限平面の上に配置します。 ボールが透明で、北極にランタンがあると想像してください。 XNUMX つのバブルの壁が床に影を投影し、そこにバブル クラスターの壁が形成されます。 球体の XNUMX つの泡のうち、XNUMX つが下に突き出て、床の泡に影を落とします。 XNUMX 番目のバブル (北極を含むバブル) は、XNUMX つのシャドー バブルのクラスターの外側の床の無限の広がりに突き出ます。
得られる特定の XNUMX つのバブル クラスターは、球体を床に置いたときに球体をどのように配置したかによって異なります。 別のポイントが北極のランタンに移動するように球体を回転させると、通常、別の影が得られ、床の XNUMX つのバブルの領域が異なります。 数学者は 証明 領域に選択した XNUMX つの数値に対して、球体を配置する方法は基本的に XNUMX つであるため、XNUMX つのシャドウ バブルが正確にそれらの領域を持つようになります。
このプロセスは、どの次元でも自由に実行できます (ただし、高次元の影は視覚化するのが難しくなります)。 ただし、シャドウ クラスターに含めることができるバブルの数には制限があります。 上記の例では、平面内に XNUMX つのバブル クラスターを作成することはできませんでした。 それには、互いに同じ距離にある球上の XNUMX つの点から始める必要がありましたが、球上にそのように多くの等距離の点を配置することは不可能です (ただし、より高次元の球を使用することはできます)。 サリバンの手順は、XNUMX 次元空間で最大 XNUMX つのバブル、XNUMX 次元空間で XNUMX つのバブル、XNUMX 次元空間で XNUMX つのバブルなどのクラスターを作成する場合にのみ機能します。 これらのパラメーター範囲外では、サリバン スタイルのバブル クラスターは存在しません。
しかし、これらのパラメータの範囲内で、サリバンの手順は、私たちの物理的な直感が理解できる範囲をはるかに超えた設定でバブルクラスターを提供します. 「[15 次元空間] で 23 バブルを視覚化することは不可能です」とマギーは言いました。 「そのようなオブジェクトをどのように説明することを夢見ていますか?」
それでも、サリバンの気泡候補は、球状の前駆体から、自然界に見られる気泡を連想させる独自の特性のコレクションを継承しています。 それらの壁はすべて球形または平面であり、120 つの壁が交わる場所では、対称的な Y 字形のように XNUMX 度の角度を形成します。 取り込もうとしている各ボリュームは、複数のリージョンに分割されるのではなく、単一のリージョンにあります。 そして、すべての泡が他のすべての泡 (および外部) に接触し、密集したクラスターを形成します。 数学者は、サリバンの泡がこれらすべての特性を満たす唯一のクラスターであることを示しました。
サリバンが、これらが表面積を最小化するクラスターであるべきだという仮説を立てたとき、彼は本質的に「美しさを仮定しよう」と言っていました.
しかし、バブルの研究者は、提案されたソリューションが美しいという理由だけでそれが正しいと仮定することに慎重になる十分な理由があります。 「非常に有名な問題があります…最小化の対称性を期待するところで、対称性は見事に失敗します」とマギーは言いました。
たとえば、表面積を最小化する方法で、無限の空間を等体積の泡で満たすという密接に関連した問題があります。 1887 年、英国の数学者で物理学者のケルビン卿は、エレガントなハニカムのような構造が解決策になるかもしれないと提案しました。 1993 世紀以上にわたり、多くの数学者はこれがありそうな答えだと信じていました — XNUMX 年に XNUMX 人の物理学者が より良いものを特定、対称性は低くなりますが、オプション。 「数学には、このような奇妙なことが起こる例がたくさんあります」とマギーは言いました。
ダークアート
サリバンが 1995 年に彼の予想を発表したとき、その二重バブルの部分はすでに XNUMX 世紀にわたって漂っていました。 数学者たちは、 2D ダブルバブル問題 その XNUMX 年前、そしてその後の XNUMX 年で、彼らはそれを次のように解決しました。 三次元空間 そして次に より高い 大きさ. しかし、サリバンの予想の次のケース、つまりトリプル バブルになると、彼らは可能性がありました。 推測を証明する 気泡間の界面が特に単純な二次元平面でのみ。
その後、2018 年にミルマンとニーマンは、ガウス バブル問題として知られる設定で、サリバンの予想の類似バージョンを証明しました。 この設定では、空間内のすべてのポイントが金銭的価値を持つと考えることができます。原点が最も高価な場所であり、原点から遠くなるほど土地が安くなり、釣鐘型の曲線が形成されます。 目標は、(境界の表面積ではなく) エンクロージャの境界のコストを最小限に抑える方法で、(事前に選択されたボリュームではなく) 事前に選択された価格でエンクロージャを作成することです。 このガウス バブル問題は、コンピューター サイエンスの丸めスキームやノイズ感度の問題に適用されます。
Milman と Neeman は、 証明 数学の年報、間違いなく数学の最も権威のあるジャーナル (後に受理されました)。 しかし、ペアはそれを一日と呼ぶつもりはありませんでした. 彼らの方法は、古典的な泡の問題にも有望に思えました。
彼らは数年間、アイデアをやり取りしました。 「私たちは 200 ページのメモの文書を持っていました」と Milman 氏は言います。 最初は、彼らが進歩しているように感じました。 「しかし、すぐに『私たちはこの方向を試しました — いいえ。 彼らの賭けをヘッジするために、両方の数学者は他のプロジェクトも追求しました。
そして昨年の秋、ミルマンはサバティカル休暇に参加し、ニーマンを訪問することを決めた. 「サバティカル期間中は、ハイリスクでハイゲインなタイプのことを試すのに良い時期です」とミルマンは言いました。
最初の数か月間、彼らはどこにも行きませんでした。 最後に、彼らはサリバンの完全な予想よりも少し簡単な課題を自分たちに与えることにしました。 気泡に一次元の余裕を与えると、ボーナスが得られます。最高の気泡クラスターは、中心面で鏡像対称になります。
サリバンの予想は、XNUMX 次元以上のトリプル バブル、XNUMX 次元以上の XNUMX 次元バブルなどです。 ボーナス対称性を得るために、Milman と Neeman は XNUMX 次元以上のトリプル バブル、XNUMX 次元以上の XNUMX 次元バブルなどに注意を制限しました。 「本当に進歩したのは、パラメーターの全範囲を取得することをあきらめたときだけでした」とニーマン氏は言います。
このミラー対称性を自由に使えるようにして、Milman と Neeman は、ミラーの上にあるバブル クラスターの半分をわずかに膨張させ、ミラーの下にある半分を収縮させる摂動論を思いつきました。 この摂動によって泡の体積は変化しませんが、表面積は変化する可能性があります。 Milman と Neeman は、最適なバブルクラスターに球状でも平坦でもない壁がある場合、この摂動を選択してクラスターの表面積を減らす方法があることを示しました。これは、最適なクラスターがすでに最小の表面を持っているため、矛盾しています。可能エリア。
摂動を利用して気泡を研究することは決して新しいアイデアではありませんが、どの摂動が気泡クラスターの重要な特徴を検出するかを理解することは、「ちょっとした闇の芸術です」とニーマンは言いました。
後から考えると、「[Milman と Neeman の摂動] を見ると、それらは非常に自然に見えます」と述べています。 ジョエル・ハス カリフォルニア大学デービス校。
しかし、摂動を自然なものとして認識することは、最初に摂動を思いつくよりもはるかに簡単である、とマギーは述べた. 「『最終的には人々が発見しただろう』と言えるものではありません」と彼は言いました。 「それは非常に驚くべきレベルで本当に天才です。」
Milman と Neeman は摂動を使用して、最適なバブル クラスターがサリバンのクラスターのすべてのコア特性を満たさなければならないことを示すことができました。 この最後の要件により、Milman と Neeman は、バブルがクラスターにつながる可能性のあるすべての方法に取り組まなければなりませんでした。 バブルが XNUMX つまたは XNUMX つだけになると、考えられる可能性はそれほど多くありません。 しかし、バブルの数を増やすと、考えられるさまざまな接続パターンの数が指数関数的よりも速く増加します。
ミルマンとニーマンは当初、これらすべてのケースをカバーする包括的な原則を見つけたいと考えていました。 しかし、ミルマン氏によると、「頭を悩ませている」数か月を費やした後、今のところ、トリプルおよびクワッドバブルを処理できる、よりアドホックなアプローチで満足することにしました. また、サリバンの XNUMX 倍バブルが最適であるという未発表の証拠も発表しましたが、それが唯一の最適なクラスターであることはまだ確立していません。
ミルマンとニーマンの研究は、「以前の方法の延長ではなく、まったく新しいアプローチです」と、モーガンは電子メールに書いています。 このアプローチは、おそらく XNUMX つ以上のバブルのクラスター、またはミラー対称性を持たないサリバンの予想の場合に、さらに推し進められる可能性が高いとマギーは予測しました。
さらなる進歩が簡単に実現するとは誰も期待していません。 しかし、それがミルマンとニーマンを思いとどまらせたことは一度もありません。 「私の経験から言えば、幸運にも私ができるようになった主要なことはすべて、あきらめないことが必要でした」とミルマンは言いました。
