確率論と数論の衝突 — 一瞬で

彼らの野心は常に高かった。 Will Sawin と Melanie Matchett Wood が 2020 年の夏に最初に共同作業を開始したとき、彼らは数論で最も興味をそそるいくつかの予想の重要な要素を再考することに着手しました。 彼らの関心の対象であるクラス群は、数値が整数を超えて拡張されたときに算術がどのように機能するかについての基本的な質問に密接に関連しています。 サウィン、コロンビア大学、および 木材、ハーバードでは、クラスグループよりもさらに一般的で数学的に威圧的な構造について予測したいと考えていました.

彼らは予測を策定し終える前でさえ、XNUMX月に 新しい結果 これにより、数学者は確率論の最も有用なツールの XNUMX つをクラス グループだけでなく、数値の集合、ネットワーク、および他の多くの数学オブジェクトにも適用できます。

「これは、これらの問題について考え始めるときに誰もが参照する基本的な論文になるだろう」と述べた. デビッドツレイクブラウン、エモリー大学の数学者。 「ゼロから発明する必要はもうありません。」

クラス法

クラス グループは、グループと呼ばれる構造化された数学的集合の例です。 グループには、整数などのよく知られたセットが多数含まれています。 整数を単なる数値の集合ではなくグループにするのは、その要素を足し合わせて別の整数を取得できることです。 一般に、集合は、加算のように、いくつかの基本的な要件を満たす方法で XNUMX つの要素を XNUMX 番目の要素に結合する操作を伴う場合、群です。 たとえば、ゼロのバージョンが存在する必要があります。これは、他の要素を変更しない要素です。

数学者が通常 $latex mathbb{Z}$ と呼ぶ整数は無限です。 しかし、多くのグループには有限数の要素があります。 たとえば、0 つの要素を持つグループを作成するには、セット {1, 2, 3, 4} を考えます。 通常の加算を実行する代わりに、任意の 2 つの数値の合計を 2 で割り、余りを取ります。 (これらのルールでは、0 + 2 = 3、および 1 + 4 = XNUMX.) このグループは $latex mathbb{Z}/XNUMXmathbb{Z}$ と呼ばれます。

一般に、 $latex n$ 要素でグループを作成したい場合は、ゼロから数字までを使用できます n – 1 で割った余りを考慮する n. 結果のグループは $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ と呼ばれますが、常にこれだけが n 要素。

クラス群は、整数論者が整数を超えた数の構造を調査するときに現れます。 これを行うには、次のように新しい数値を整数に追加します。 i (−1 の平方根)、$latex sqrt{5}$、さらには $latex sqrt{–5}$ です。

「私たちが数字について慣れ親しんできたことは、この文脈ではもはや真実ではありません。 少なくとも、それらは必ずしも真実ではない」と述べた。 ジョーダン・エレンバーグ、ウィスコンシン大学マディソン校の数学者。

具体的には、因数分解は整数の拡張で異なる動作をします。 整数だけに固執する場合、数は素数 (それ自体と 1 でしか割り切れない数) に 6 つの方法で因数分解できます。 たとえば、2 は 3 × XNUMX であり、他の素数に因数分解することはできません。 この性質を一意因数分解と呼びます。

しかし、$latex sqrt{–5}$ を数体系に追加すると、固有の因数分解がなくなります。 6 つの異なる方法で 2 を素数に因数分解できます。 3 × 1 のままですが、$latex (5 + sqrt{–1})$ × $latex (5 – sqrt{–XNUMX})$ でもあります。

クラス グループは、このような整数への拡張から作成されます。 「クラス グループは非常に重要です」と Wood 氏は言います。 「そして、疑問に思うのは自然なことです。彼らは通常どのようなものですか?」

整数の任意の拡張に関連付けられたクラス グループのサイズは、一意の因数分解がどの程度失敗するかのバロメーターです。 数学者は、クラス グループが常に有限であることを証明しましたが、その構造とサイズを理解することは複雑です。 だからこそ、1984 年に Henri Cohen と Hendrik Lenstra は いくつかの推測を試みた. Cohen-Lenstra ヒューリスティックスと呼ばれる彼らの予想は、新しい平方根を整数に追加したときに現れるすべてのクラス グループに関係していました。 これらすべてのクラス グループが一緒に集められた場合、Cohen と Lenstra は次のような質問に対する答えを提案しました。 または $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? それとも、有限群の他の既知のタイプですか?

Cohen と Lenstra は、クラス グループの孤立した例だけでなく、クラス グループ全体の根底にある統計を考慮するように、数論者を促しました。 彼らの予測は、あらゆるレベルで明らかになるパターンを持つ宇宙としての数学のビジョンを活用しました。

ほぼ 40 年後、Cohen-Lenstra ヒューリスティックスは真実であると広く信じられていますが、証明に近づいた人は誰もいません。 ウィスコンシン大学マディソン校の名誉教授である Nigel Boston 氏は、数学への影響は明白であると述べています。 「発見されたのは、この驚くべきウェブです」と彼は言いました。 「私たちが世界を組み立てていると私たちが考える方法のこの巨大なインフラストラクチャがあります。」

町で唯一のゲーム

ヒューリスティックに直接取り組むことができなかったため、数学者は、状況を明らかにすることを望んでいた、より扱いやすい問題を考え出しました。 その作業から、数学者が確率論で使用される用語にちなんで「瞬間」と呼ぶようになった一連の有用な量が明らかになりました。

確率的には、モーメントは乱数の背後にある分布を解明するのに役立ちます。 たとえば、ニューヨーク市の 1 月 1 日の最高気温の分布を考えてみましょう。来年の 10 月 40 日に気温が華氏 70 度、120 度、1 度、XNUMX 度になる可能性を考えてみてください。過去のデータ: 記録された履歴の開始以来、毎年 XNUMX 月 XNUMX 日の毎日の最高値の履歴。

これらの温度の平均を計算すると、少しはわかりますが、すべてではありません。 平均最高気温が 40 度であっても、気温が 50 度を超えたり 20 度を下回ったりする可能性はわかりません。

しかし、より多くの情報が提供されると、これは変わります。 具体的には、分布の XNUMX 次モーメントとして知られる量である、温度の XNUMX 乗の平均を知ることができます。 (平均は最初のモーメントです。) または、XNUMX 番目のモーメントとして知られる立方体の平均、または XNUMX 乗の平均 (XNUMX 番目のモーメント) を学習することもできます。

1920 年代までに、数学者は、この系列のモーメントが十分にゆっくりと成長する場合、すべてのモーメントを知ることで、それらのモーメントを持つ可能性のある分布は XNUMX つだけであると推測できることを発見しました。 (ただし、必ずしもその分布を直接計算できるわけではありません。)

「それは本当に直感的ではありません」とウッドは言いました。 「連続分布を考えると、何らかの形があります。 一連の数字で捉えられる以上のものを持っているように感じます。」

Cohen-Lenstra ヒューリスティックに関心のある数学者は、確率論のモーメントを利用して確率分布を得ることができるのと同じように、クラス グループに対して特定の方法で定義されたモーメントが、そのサイズと構造を見ることができるレンズになり得ることを発見しました。 . トロント大学の数学者であるジェイコブ・ツィマーマンは、クラスのグループサイズの分布を直接計算する方法を想像できないと述べた. 瞬間を使用することは、「はるかに簡単です。 それは町で唯一のゲームです。」

この魔法の瞬間

確率の各瞬間は整数 (XNUMX 乗、XNUMX 乗など) に関連付けられていますが、数論者によって導入された新しい量はそれぞれグループに対応しています。 これらの新しい瞬間は、さまざまな要素を一緒に折りたたむことによって、グループをより小さなグループに減らすことができるという事実に依存しています。

グループに関連付けられたモーメントを計算するには G、すべての可能なクラス グループを取得します — 整数に追加する新しい平方根ごとに XNUMX つ。 クラスグループごとに、折りたたむことができるさまざまな方法の数を数えます G. 次に、それらの数値の平均を取ります。 このプロセスは複雑に見えるかもしれませんが、Cohen と Lenstra の予測の背後にある実際の分布よりもはるかに簡単に作業できます。 Cohen-Lenstra ヒューリスティック自体を記述するのは複雑ですが、それらが予測する分布のモーメントはすべて 1 です。

「それは、うわー、おそらく瞬間がそれに近づくための自然な方法だと思うようになります」とエレンバーグは言いました. 「何かがクレイジーな無限積に等しいことを証明するよりも、何かが 1 に等しいことを証明できる方がより信頼できるように思われます。」

数学者がグループ (クラス グループまたはその他) の分布を研究するとき、彼らは各グループの方程式に行き着きます。 G確率は、たとえば、$latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ のように見えるクラス グループの割合を表しています。 無限に多くの方程式と無限に多くの可能なクラス グループがあるため、確率を解くのは困難です。 そうすることが理にかなっていることさえ明らかではありません。

「無限の金額があると、うまくいかなくなる可能性があります」とウッドは言いました。

それでもなお、分布を研究するための他の方法を見つけることができなかった数学者は、瞬間問題に戻り続けました。 に掲載された作品で、 数学の年報 2016 年、エレンバーグは、アクシャイ ベンカテッシュとクレイグ ウェスターランドと共に、 使用された瞬間 CohenとLenstraが考えていたものとは少し異なる設定でクラスグループの統計を研究する. このアイデアは 再利用 いくつかの <font style="vertical-align: inherit;">回数</font>. しかし、研究者は瞬間を使用するたびに、特定の問題の癖に頼って、無限の方程式のセットに解決策があることを証明しました。 つまり、彼らの技術は譲渡できませんでした。 モーメントを使用する必要がある次の数学者は、モーメントの問題をもう一度解決する必要があります。

コラボレーションの開始時に、Sawin と Wood もこのルートをたどることを計画していました。 彼らは、クラス グループのより複雑なバージョンがどのように配布されているかを予測するために、瞬間を利用していました。 しかし、彼らのプロジェクトの約 XNUMX 年後、彼らは瞬間の問題そのものに焦点を合わせました。

脇道にそれる

同僚は、Sawin と Wood が自分たちの仕事に非常に熱心であると説明しています。 「二人ともとても頭がいい。 しかし、頭のいい人はたくさんいます」と Zureick-Brown 氏は言います。 「彼らは数学に対して前向きな姿勢を持っているだけです。」

当初、Sawin と Wood は、モーメントを使用して Cohen-Lenstra の予測を新しい設定に広げたいと考えていました。 しかし、彼らはすぐに XNUMX 番目の問題の議論に不満を抱くようになりました。 「同様の議論を繰り返し書く必要がありました」と Sawin 氏は回想します。 さらに、彼らが使用していた数学言語は、「議論が行っていることの核心に到達しているようには見えませんでした…アイデアはそこにありましたが、それらを表現する正しい方法を見つけていませんでした。」

Sawin と Wood は証明をさらに深く掘り下げ、その根底にあるものを突き止めようとしました。 彼らは、特定のアプリケーションだけでなく、グループの任意の分布、およびその他のあらゆる種類の数学的構造に対してモーメント問題を解決する証明にたどり着きました。

彼らは問題を小さな管理しやすいステップに分割します。 確率分布全体を一度に解決しようとする代わりに、彼らは瞬間のほんの一部に焦点を当てました。

たとえば、グループにわたる確率分布のモーメント問題を解決するには、各モーメントをグループに関連付けます。 G. 最初に、Sawin と Wood は、グループの制限されたリストのモーメントのみを含む連立方程式を調べます。. 次に、グループをゆっくりとリストに追加し、毎回より多くの瞬間を調べます。 問題を徐々に複雑にすることで、彼らは各ステップを解決可能な問題にしました。 少しずつ、彼らは瞬間問題の完全な解決策を構築していきました。

「固定されたリストは、かけている眼鏡のようなもので、検討したいグループが多ければ多いほど、眼鏡は良くなります」と Wood 氏は説明します。

彼らが最終的に余分な詳細の最後のほこりを払い落としたとき、彼らは巻きひげが数学を超えて到達した議論をしていることに気づきました. 彼らの結果は、クラス グループ、幾何学的形状に関連付けられたグループ、点と線のネットワーク、およびより数学的に複雑な他のセットに対して有効でした。 これらすべての状況で、Sawin と Wood は、一連のモーメントを取り込んで、それらのモーメントを含む分布を吐き出す式を見つけました (他の要件の中でも、モーメントが急速に大きくなりすぎない限り)。

「それはまさにメラニーのスタイルです」とエレンバーグは言いました。 「たとえば、『多くの異なるケースを均一かつエレガントに処理する非常に一般的な定理を証明しましょう』」

Sawin と Wood は現在、元の目標に戻りつつあります。 XNUMX月上旬に、彼らは共有しました 新しい用紙 それは修正します 誤った Cohen-Lenstra 予測 1980 年代後半に Cohen と彼の同僚である Jacques Martinet によって作成されました。 それを超えて、キューにはまだ多くの結果があり、ヒューリスティックをさらに新しい状況に拡張する計画があります。 「このプロジェクトが終了するかどうかはわかりません」とサウィンは言いました。

Sawin と Wood が解決した XNUMX 番目の問題は、「多くのさまざまな質問に対する頭の後ろのとげのようなもの」だったと Tsimerman 氏は述べています。 「多くの数学者が安堵のため息をつくと思います。」