再帰シーケンスの驚くべき動作 | クアンタマガジン

数学では、単純なルールが複雑さと美しさの世界を解き放つことができます。 有名なフィボナッチ数列を考えてみましょう。これは次のように定義されています。1 と 1 で始まり、後続の各数値は前の XNUMX つの合計です。 最初のいくつかの数字は次のとおりです。

1、1、2、3、5、8、13、21、34…

確かにシンプルですが、この控えめなレシピは、自然界の構造そのものに織り込まれているように見える、広範囲に及ぶ重要なパターンを生み出します。 それはオウムガイの殻の渦巻き、指の骨、木の枝の葉の配置などに見られます。 その数学的範囲は、とりわけ幾何学、代数学、確率にまで及びます。 この数列が西洋に導入されてから XNUMX 世紀が経ち、インドの数学者はフィボナッチよりもずっと前にこの数列を研究していましたが、この数字は研究者の関心を引き続けており、最も基本的な数列の根底にどれだけ数学的な深みがあるかを証明しています。

フィボナッチ数列では、すべての項はその前の項に基づいて構築されます。 このような再帰的なシーケンスは、広範囲にわたる動作を示す可能性があり、中には驚くほど直感に反する動作も含まれます。 たとえば、1980 年代にアメリカの数学者によって最初に記述された奇妙な数列群を考えてみましょう。 マイケル・ソモス.

フィボナッチ数列と同様、ソモス数列は一連の XNUMX から始まります。 ソモスk シーケンスは次から始まります k そのうちの。 ソモスの新しい任期ごとに、k 数列は、前の項をペアにして、各ペアを掛け合わせ、それらのペアを合計して、項で割ることによって定義されます。 k シーケンス内の位置を戻します。

シーケンスはあまり面白くありません。 k 1、2、または 3 に相当します。これらは単に一連の繰り返しです。 しかし、のために k = 4、5、6、または 7 のシーケンスには奇妙な特性があります。 割り算がたくさんあるのに、分数は出てきません。

「通常、このような現象は起こりません」とソモス氏は言う。 「これはフィボナッチに似た、一見単純な漸化式です。 しかし、その単純さの背後には多くのことがあります。」

他の数学者も、ソモス数列と一見無関係に見える数学領域との間の驚くべきつながりを明らかにし続けています。 XNUMX 月に掲載されたある論文では、これらを次の目的で使用しています。 ソリューションを構築する 捕食者と被食者の相互作用から高エネルギープラズマ中を伝わる波に至るまで、あらゆるものをモデル化するために使用される微分方程式系まで。 これらは、と呼ばれる数学的オブジェクトの構造を研究するためにも使用されます。 クラスター代数 そしてつながっている 楕円曲線 — これらはフェルマーの最終定理を解く鍵でした。

ジャニス・マルーフイリノイ大学の大学院生である彼は、Somos-4 および Somos-5 配列が存在することを示す最初の証明を発表しました。 一体的である (すべての項が整数であることを意味します) 1992 年。 その他の証明 異なる数学者による同じ結果がほぼ同時期に発表され、Somos-6 と Somos-7 数列が整数であるという証明も示されました。

ソモス数列のこの奇妙な性質は数学者を驚かせました。 「ソモス配列について知るとすぐに興味をそそられました」と彼は言いました。 ジェームズプロップ、マサチューセッツ大学ローウェル校の数学教授。 「どんなに遠くまで行っても、Somos-4 から Somos-7 が常に整数を与えるという事実は、物事を素朴な観点から見ると奇跡のように思えました。 そのため、別の視点が必要でした。」

プロップ氏は 2000 年代初頭に、ソモス 4 配列の数値が実際に何かを数えていることを発見したとき、新しい視点を発見しました。 シーケンス内の項は、特定のグラフに見られる構造に対応します。 一部のグラフでは、頂点 (ドット) とエッジ (線) をペアにして、すべての頂点が正確に 4 つの他の頂点に接続されるようにすることができます。ペアになっていない頂点はなく、複数のエッジに接続されている頂点もありません。 Somos-XNUMX シーケンスの項は、グラフの特定のシーケンスに対するさまざまな完全一致の数をカウントします。

この発見は、ソモス配列に関する新しい視点を提供しただけでなく、グラフ変換について考え、分析する新しい方法も導入しました。 プロップと彼の生徒たちは、結果を発表して祝いました。 Tシャツ.

「私にとって数学の魅力の大部分は、異なる道を通って同じ目的地に到着し、何か奇跡的で深いことが起こっているように見えるときです」とプロップ氏は語った。 「これらのシーケンスの素晴らしい点は、なぜ整数が得られるのかを説明するさまざまな視点があることです。 そこには隠された深みがある。」

より大きな番号の Somos シーケンスでは話が変わります。 Somos-18 の最初の 8 項は整数ですが、19 番目の項は分数です。 それ以降のすべての Somos シーケンスには小数値も含まれます。

1970 年代にドイツの数学者フリッツ ゲーベルによって開発された別のタイプの数列は、ソモス数列に対する興味深い対比です。 の nゲーベル数列の第 1 項は、前のすべての項の二乗和に XNUMX を加え、次の値で割ったものとして定義されます。 n。 ソモス数列と同様に、ゲーベル数列には除算が含まれるため、項が整数のままにならないことが予想されるかもしれません。 しかし、シーケンスが膨大になるにつれて、しばらくの間はそうなるようです。

ゲーベル数列の第 10 項は約 1.5 万、第 11 項は 267 数十億です。 第 43 項は計算するには大きすぎます。約 178 億桁あります。 しかし、1975年にオランダの数学者は、 ヘンドリック・レンストラ 最初の 42 項とは異なり、この 43 番目の項は整数ではないことが示されました。

ゲーベル数列は、和の 2 乗を 1988 乗、XNUMX 乗、さらにはそれ以上の指数に置き換えることによって一般化できます。 (この規則に基づいて、彼の元の数列は XNUMX ゲーベル数列と呼ばれます。) これらの数列は、整数項の拡張されたストレッチから始まるという驚くべき傾向も示しています。 XNUMX年、ヘンリー・イブシュテット 示されました 89 ゲーベル数列 (正方形の代わりに立方体を使用する) の最初の 3 項は整数ですが、90 番目の項は整数ではありません。 他のゲーベル数列に関するその後の研究では、さらに長いストレッチが発見されました。 たとえば、31 ゲーベル数列は、なんと 1,077 個の整数項で始まります。

XNUMX月には九州大学の数学者、松平林之助氏が、 松阪利樹 そして土田幸季 論文を共有しました それを示す k-ゲーベル数列、どれを選択しても k、シーケンスの最初の 19 項は常に整数です。 彼らはこの問題を調べるきっかけとなったのは、次のような日本の漫画でした。 せいすたん、「整数の物語」と訳されます。 あ 漫画のフレーム 読者に、可能な最小値を計算するよう依頼しました。 N_k、その時点で k-ゲーベル数列は整数項を生成しなくなりました。 XNUMX 人の数学者はその質問に答えようとしました。 「予期せぬ整数の長期持続は、私たちの直観と矛盾します。直観に反して現象が起こるとき、そこには常に美しさが存在すると私は信じています。」と松坂氏は語った。

彼らは、次のような繰り返し行動のパターンを発見しました。 k が増加します。 有限数の反復事例に焦点を当てることで、彼らは計算を扱いやすくし、証明を完了することができました。

シーケンスを詳しく見てみる N_k は別の驚きを明らかにします。 N_k 純粋にランダムである場合に予想されるよりもはるかに頻繁に素数になります。 "とともに k-ゲーベル数列は、それらが整数であるという点だけが注目に値するわけではありません。」 リチャード・グリーン、コロラド大学の数学者。 「驚くべきことは、素数が非常に頻繁に現れることです。 そうなると、何かもっと深いことが起こっているように見えます。」

新しい論文は次の証拠を提示しているが、 N_k は常に少なくとも 19 ですが、常に有限であるかどうか、または存在するかどうかは不明です。 k シーケンスには整数が無限に含まれます。 「N_k 謎の行動をする。 …その根底にあるパターンを理解したいという根本的な欲求があります」と松坂氏は語った。 「子どもの頃に先生から出されたパズルを解く時の喜びに似ているかもしれません。 今でもその時の感情が私の中に残っています。」

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