概要
2,000 年以上前、ギリシャの数学者エラトステネスは、今日の数学に影響を与え続けている素数を見つける方法を考案しました。 彼のアイデアは、素数ではない数値を徐々に「ふるい分ける」ことによって、特定の点までのすべての素数を識別することでした。 彼のふるいは、すべての 2 の倍数 (2 自体を除く) を取り消すことから始まり、次に 3 の倍数 (3 自体を除く) を消します。 次の数字 4 はすでに取り消し線になっているため、次のステップでは 5 の倍数を取り消し線で消していきます。 生き残る唯一の数字は素数、つまり約数が 1 とその数字だけである数字です。
エラトステネスは素数の完全なセットに焦点を当てていましたが、彼のふるいのバリエーションを使用して、あらゆる種類の特別な特徴を持つ素数を探すことができます。 2 と 11 や 13 と 599 など、601 つしか離れていない「双子の素数」を見つけたいですか? そのためにふるいがあります。 1 や 17 など、完全な平方より 257 大きい素数を見つけたいですか? それ用のふるいもあります。
現代のふるいは、フェルマーの最終定理から、無限に多くの対の双子素数が存在するというまだ証明されていない双子素数予想に至るまで、さまざまな問題に関する整数論における多くの大きな進歩を促進してきました。 ハンガリーの数学者パウル・エルデシュは、ふるい法は「おそらく数論における最も強力な初等ツール」であると1965年に書いた。
しかし、この力は、素数が数直線に沿ってどのように分布するかについての数学者の限られた理解によって制限されます。 100 などの小さな数値までふるいを実行するのは簡単です。しかし、数学者は数値が大きくなったときのふるいの動作を理解したいと考えています。 非常に大きな停止点までふるいを通過したすべての数字をリストすることは期待できません。 そこで、代わりに、リストに含まれる数字の数を推定しようとします。
概要
エラトステネスのふるいの場合、この推定値は、整数が 2、3、5 などで割り切れる頻度に依存します。これは比較的簡単に得られる情報です。 しかし、双子の素数のふるいなど、より複雑なふるいの場合、重要な情報は、素数をさまざまな数で割ったときに残る剰余に関することがよくあります。 たとえば、素数を 1 で割ったときに 3 が残る頻度はどのくらいでしょうか? それとも8で割ると15が余りますか?
数直線に沿って移動すると、これらの余りは統計的に予測可能なパターンに落ち着きます。 1896 年、ベルギーの数学者シャルル ジャン ド ラ ヴァレ プッサンは、余りが徐々に均等になることを証明しました。たとえば、素数を 1 で割ったときの余りが 2 か 3 かに応じて XNUMX つのバケツのいずれかに入れると、 XNUMX つのバケットには最終的にほぼ同じ数の素数が保持されます。 しかし、ふるい法の可能性を最大限に引き出すには、数学者はバケツが最終的に平らになることだけでなく、どのくらい早く平らになるかを知る必要があります。
それは困難であることが判明しました。 1960 年代と 1980 年代に爆発的な進歩があった後、新たな発展はほとんど下火になりました。 注目すべき例外は 2013 年に発生しました。そのとき、Yitang Zhang は 画期的な証拠 有限の限界よりも互いに近い素数のペアが無数に存在するということです。 しかし、80 年代に開発された主要な研究内容は、XNUMX 年以上にわたって基本的に進歩が見られませんでした。
今、この主題は、あるきっかけによって復活を遂げています。 シリーズ of 三 論文 オックスフォードの数学者によって書かれた ジェームス・メイナード 2020年(彼が亡くなるXNUMX年前) フィールズ賞を受賞、数学の最高の栄誉)。 メイナードは、素数の剰余がどのくらい早くバケツに均等に分配されるかを表す「分配レベル」と呼ばれる数値を分析しました(特定のタイプのふるいを参照する場合もあります)。 彼は、一般的に使用されるふるいの多くについて、分布レベルが少なくとも 0.6 であり、0.57 年代のそれまでの記録である 1980 を上回っていることを示しました。
メイナードの研究とそれが促したその後の研究は、「解析的整数論に新たな命を吹き込んでいる」と述べた。 ジョン・フリードランダー トロント大学の博士号を取得し、1980 年代の発展に大きな役割を果たしました。 「まさに復活ですね。」
概要
過去数か月の間に、メイナードの大学院生のうち XNUMX 人が、 持ってる 書かれた 論文 メイナード氏とチャン氏の両方の結果を拡張する。 これらの論文のXNUMXつ、 ジャレッド・デューカー・リヒトマン (現在はスタンフォード大学の博士研究員) は、メイナードの分布レベルを約 0.617 まで押し上げました。 次にリヒトマンは、その増加を利用して、特定の停止点までの双子素数の数の改善された上限と、「ゴールドバッハ表現」 (XNUMX つの素数の合計としての偶数の表現) の数を計算しました。
「これらの若い人たちは、今本当に話題になっているものを追いかけています」と述べた。 アンドリュー・グランヴィル モントリオール大学の。
0.6 から 0.617 への増加は、整数理論の外にいる人にとっては些細なことのように思えるかもしれません。 しかし、ふるいの理論では、「時にはその小さな勝利が壊滅的な結果をもたらす可能性がある」とグランビル氏は言う。
含むものと除外するもの
ふるいが停止点までに除去する数値の数を推定するには N, 数学者は包含/除外と呼ばれるものに基づいたアプローチを使用します。 これがどのように機能するかを理解するには、エラトステネスのふるいを考えてみましょう。 このふるいは、2 の倍数をすべて取り除くことから始まります。これは、最大の数値の約半分です。 N。 次に、ふるいは 3 の倍数をすべて取り除きます。つまり、最大数の約 1/3 が取り除かれます。 N。 したがって、これまでに、以下の数値の約 1/2 + 1/3 を削除したと考えるかもしれません。 N.
ただし、2 と 3 の倍数 (6 の倍数) の数値を二重に数えているため、これは過剰カウントです。 これらは、これまでのすべての数値の約 1/6 です。 Nしたがって、1 回数えることを修正するには、6/1 を減算して、削除するものの累計を 2/1 + 3/1 − 6/XNUMX にする必要があります。
次に、5 の倍数に進むことができます。これにより、カウントに 1/5 が追加されますが、1 と 10 の両方、または両方で 1 で割り切れる数の数えすぎを修正するには、15/2 と 5/3 を減算する必要があります。 5. それでも完全に完了したわけではありません。2、3、5 で割り切れる数値を誤って 1 回修正してしまいました。そのため、修正するにはカウントに 30/1 を追加して、累計を計算する必要があります。 2/1 + 3/1 − 6/1 + 5/1 − 10/1 − 15/1 + 30/XNUMXまで。
このプロセスが続くと、和にはますます多くの項が追加され、分母がますます大きくなる分数が含まれます。 「約 1/2」や「約 1/3」などの近似における小さな誤差が積み重なりすぎないように、数論者は通常、ふるい全体を通過する前に足し算や引き算のプロセスを止めて、満足してしまいます。正確な答えではなく、上限と下限を設定します。
理論的には、双子素数などのより複雑な素数セットでも同様のプロセスが機能するはずです。 しかし、双子の素数のようなものに関しては、素数の剰余がバケットにどのように均等に分配されるかを知らなければ、包含/除外は機能しません。
概要
これを確認するには、ツインプライムふるいがどのように機能するかを考えてください。 エラトステネスのふるいを使用して、次の値までのすべての素数を見つけることから始めます。 N。 次に、双子素数ペアの一部ではないすべての素数を除去する 13 回目のふるい分けを実行します。 これを行う 11 つの方法は、左 23 桁の数値が素数でない場合に素数をふるい落とすことです (または、右 21 桁を調べることもできます。どちらのふるいも機能します)。 左向きのふるいを使用すると、XNUMX も素数であるため、XNUMX などの素数は保持されますが、XNUMX は素数ではないため、XNUMX などの素数は取り消されます。
このふるいは、まず素数のセットを数直線上で 21 つ左にシフトし、次にシフトされたセット内の素数ではない数字 (3 など) を取り消し線で消すものと考えることができます。 シフトされたセットでは、5 の倍数を取り消し線で消し、次に 2 の倍数を取り消し線で消します。 (シフトされたセット内の数値は最初の数値を除いてすべて奇数であるため、XNUMX の倍数について心配する必要はありません。)
次に、取り消し線を引いた数字の数を推定する包含/除外が続きます。 エラトステネスのふるいでは、3 の倍数を取り消すと、すべての数字の約 1/3 が削除されます。 しかし、シフトされた素数の小さいセットでは、3 の倍数を取り消すときにいくつが該当するかを予測するのが難しくなります。
いずれかの番号 k シフトされたセット内の値は、ある素数より 2 小さいです。 それで、もし k 3 の倍数であり、それに対応する素数である場合、 k + 2、2 で割ったときの余りは 3 です。素数は 1 で割ったときに 2 または 3 の余りになります (3 自体を除く)。したがって、以下の素数の半分は次のように推測できます。 N 剰余は 1 で、半分は剰余 2 です。これは、ふるいのこのステップでは、シフトされたセット内の数値の約半分に取り消し線を引くことを意味します (エラトステネスのふるいのように 1/3 ではなく)。 したがって、包含/除外合計に 1/2 の用語を書きます。
de la Vallée Poussin のおかげで、最終的にすべての素数の半分は 1 で割ると余りが 2 になり、半分は余りが 3 になることが分かりました。しかし、包含/除外を行うには、余りのバケットのバランスを知るだけでは十分ではありません。最終的にはアウトになります — バランスがとれることを知っておく必要があります。 N。 そうしないと、包含/除外合計の「1/2」に自信が持てなくなります。 おそらく数学者たちは、素数の分布には包含/除外合計に必要な数の一部を損なう奇妙な癖があるのではないかとXNUMX世紀以上心配してきたのでしょう。
「分布定理がなければ、ふるいを終えたときに何が起こるかを理解することはできません。」 テレンス・タオ カリフォルニア大学ロサンゼルス校の博士号。
基本的なウェイポイント
バケットが均等になり始める速度に関する XNUMX つの予測は、整数論で最も有名な未解決問題、つまり一般化されたリーマン予想の形で整数論者に利用可能でした。 この仮説が真実であれば、非常に大きな数までのすべての素数を調べている場合、次のことが暗示されます。 N、その後、素数の剰余は、約 の平方根までの任意の約数のバケットに均等に分配されます。 N。 したがって、たとえば、1 兆未満の素数を調べている場合、120、7,352、または 945,328 (約 1 万未満の約数) で割ったときに、それらの素数が剰余バケットに均等に分配されることが期待されます。 1兆の平方根)。 数学者によれば、一般化リーマン予想は素数の分布レベルが少なくとも 1/2 であると予測します。 N として N1/2.
概要
この仮説が正しければ、最大 1 兆をふるいにかけるときに、2 の倍数、次に 3、次に 5 の倍数を消して、包含/除外の合計に約 1 を超える約数が含まれるようになるまで続けられることを意味します。百万 — それを超えると、合計の項を計算できなくなります。 1900 年代半ば、数論者は、「一般化されたリーマン予想が正しい場合、…」という形式の多くのふるい定理を証明しました。
しかし、これらの結果の多くは、一般化されたリーマン予想の完全な強度を実際には必要としませんでした。素数が、単一の約数ごとではなく、ほぼすべての約数のバケットに適切に分散されたことを知るだけで十分です。 1960 年代半ば、 エンリコ・ボンビエリ そしてアスコルド・ヴィノグラドフ 別々 マネージド それを証明するには、バケットがほぼすべての約数について均等であることがわかって満足する場合、素数の分布レベルは少なくとも 1/2 です。
ボンビエリ-ビノグラドフの定理は現在でも広く使用されており、これまで証明されていない一般化リーマン予想に依存していた結果の多くを即座に証明しました。 「これは分布定理の黄金律のようなものです」とタオ氏は言う。
しかし、数学者たちは長い間、素数の分布の実際のレベルはもっと高いのではないかと疑っており、数値的証拠も示唆しています。 1960年代後半、 ピーター・エリオット とヘイニ・ハルバースタム 推測された 素数の分布レベルは 1 よりわずかに小さいということです。つまり、巨大な数までの素数を調べている場合、その巨大な数に非常に近いサイズの約数であっても、素数はバケットに均等に分散される必要があります。 。 これらの大きな約数は、過剰カウントを修正するときに現れるため、包含/除外を行うときに重要になります。 したがって、数学者がエリオットとハルバースタムが予測した分布レベルに近づけば近づくほど、包含/除外合計で計算できる項が増えます。 エリオット・ハルバースタム予想を証明することは「夢」だとタオ氏は語った。
しかし、今日に至るまで、ボンビエリ・ビノグラドフ定理が達成する完全な一般性において 1/2 レベルの分布を超えることができた人は誰もいません。 数学者はこの障害を素数の「平方根の壁」と呼ぶことにしました。 リヒトマン氏は、この障壁は「素数を理解する上での基本的な一種の通過点」であると述べた。
新しい世界記録
ただし、ふるいの問題の多くでは、素数がどのようにバケットに分割されるかについて不完全な情報があっても、前進することができます。 双子の素数の問題を考えてみましょう。左側の 3 番目のスポットが 5、7、または 2 で割り切れる場合に素数をふるい分けることは、素数自体を 3、5、または 7 で割ったときに 2 が余るかどうかを尋ねることと同じです。言い換えれば、素数がこれらの約数のいずれかの「2」バケットに入るかどうかです。 したがって、素数がこれらの約数のすべてのバケットに均等に分散されているかどうかを知る必要はありません。必要なのは、各「XNUMX」バケットが予想される素数の数を保持しているかどうかだけを知ることだけです。
1980 年代、数学者は XNUMX つの特定のバケットに焦点を当てた分布定理を証明する方法を考え出し始めました。 この作業は最高潮に達しました 1986紙 ボンビエリ、フリードランダー、 ヘンリク・イワニエツ これにより、すべてのふるいではなく、幅広いクラスのふるいにおいて、単一バケットの分布レベルが 4/7 (約 0.57) まで上昇しました。
ボンビエリ-ビノグラドフ定理と同様、1980 年代に開発された一連のアイデアには多くの応用例が見つかりました。 最も注目すべき点は、 巨大な 跳躍 数学者のフェルマーの最終定理の理解では、方程式は次のようになります。 an + bn = cn どの指数にも自然数解がありません n (これはその後、分布定理に依存しない手法を使用して 2 年に証明されました。) しかし、1994 年代の興奮の後、素数の分布レベルは数十年間ほとんど進歩がありませんでした。
そして 2013 年に、チャンはボンビエリ、フリードランダー、イワニエツとは異なる方向で平方根の壁を乗り越える方法を考え出しました。 彼は、「滑らかな」数値 (大きな素因数を持たない数値) だけを使ってふるいにかけている状況で、ボンビエリとヴィノグラドフの 1980/1 レベルの分布をわずかでも改善するために、2 年代初頭の時代遅れの古い方法を掘り下げました。 。 この小さな改善により、Zhang は次のことを可能にしました。 長年の推測を証明する 数直線に沿って進んでいくと、一定の範囲よりも互いに近い素数のペアに遭遇し続けることになります。 (その後、メイナードとタオがそれぞれ 別途思いついた この定理の別の証明は、分布レベルの向上ではなく、改良されたふるいを使用することによって行われます。)
Zhang の結果は、代数幾何学の世界に存在するリーマン予想のバージョンを利用したものです。 一方、ボンビエリ、フリードランダー、イワニエツの研究は、メイナードの言うところの、保型形式と呼ばれるオブジェクトへの「やや魔法のようなつながり」に依存しており、保型形式には独自のバージョンのリーマン予想が存在する。 保型形式は高度に対称的なオブジェクトであり、「高性能の整数理論の終わり」に属するとタオ氏は言います。
数年前、メイナード氏は、これら 2020 つの方法の洞察を組み合わせることで、より多くの効果を引き出すことができるはずだと確信しました。 グランヴィル氏が「力作」と名付けた3年の5本の論文シリーズで、メイナード氏は、ボンビエリ氏、フリードランダー氏、イワニエツ氏が研究したものよりもわずかに狭い文脈で、分布レベルを0.6/XNUMX、つまりXNUMXまで押し上げることに成功した。 。
現在、メイナードの生徒たちはこれらのテクニックをさらに推し進めています。 リヒトマン 最近わかった メイナードの分布レベルを約 0.617 まで拡張する方法。 次に、彼はこの増加を解析して、双子素数と 1 つの素数の合計としての偶数のゴールドバッハ表現の両方のカウントに関する新しい上限を計算しました。 後者については、古典的なボンビエリ・ビノグラドフの定理の 2/XNUMX を超えるレベルの分布を利用できるのは初めてです。
メイナードのもう一人の生徒は、 アレクサンドル・パスカディ、持っている 0.617という数字と一致した 素数ではなく滑らかな数の分布レベルの場合。 素数と同様に、滑らかな数は整数論のいたるところで登場し、その分布レベルと素数の分布レベルに関する結果はしばしば密接に関係します。
一方、3年生は、 ジュリア・シュタドルマン、持っている 配布レベルを引き上げた Zhang が研究した設定における素数の数。この設定では、約数は (除算される数ではなく) 滑らかな数です。 張氏は平方根の壁をかろうじて破った この文脈では、配布レベルが 0.5017 に達し、その後 Polymath プロジェクトと呼ばれるオンライン コラボレーションが始まりました。 その数字を上げました 0.5233まで; シュタードルマン氏は現在、それを0.525に引き上げている。
タオ氏によると、他の数学者は解析的数論学者を、小さな数値の進歩に執着しているとしてからかっているという。 しかし、これらの小さな改善には、問題の数字を超えた重要な意味があります。 「100メートル走か何かのようなもので、3.96秒を3.95秒に短縮するのです」と彼は語った。 新しい世界記録はそれぞれ「あなたの手法がどれだけ進歩したかを示すベンチマーク」です。
全体として、「テクニックはより明確になり、より統一されてきています」と彼は言いました。 「ある問題を解決できたら、それを別の問題に応用する方法が明らかになりつつあります。」
これらの新たな開発に対する驚くべき応用例はまだないが、この新作は「間違いなく私たちの考え方を変える」とグランビル氏は語った。 「これは単に釘を強く打ち付けるだけではなく、実際にはよりアップグレードされたハンマーを手に入れているのです。」
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