概要
幾何学の学生ジーナは昨夜遅くまで起きていて、見ながら宿題をしていました グレート・ブリティッシュ・ベーク・オフというわけで、ベッドに入ったとき、彼女の眠い心はまだカップケーキとコンパスでいっぱいでした。 これは非常に珍しい夢につながりました。
ジーナは、学生が多くの幾何学を学ぶが算術はほとんど学ばない学校であるイマジナリー大学で、グレート ブラウニー ベイク オフの審査員になっていることに気付きました。 想像上の U の学生のチームは、できる限り大きなブラウニーを作る任務を与えられ、勝者を決定するのはジーナ次第でした。
チーム アルファが最初にゴールし、誇らしげに長方形のブラウニーを審査員に提示しました。 ジーナは定規を取り出してブラウニーを測ったところ、長さ 16 インチ、幅 9 インチでした。 チーム ベータはすぐに、各辺が 12 インチの正方形のブラウニーを作りました。 それがトラブルの始まりでした。
「私たちのブラウニーはあなたのブラウニーよりずっと長いです」とチーム アルファのキャプテンは言いました。 「私たちの方が明らかに大きいので、勝者です!」
「しかし、あなたの長方形の短辺は、私たちの正方形の辺よりもはるかに短いです」と、チーム ベータの代表者は言いました。 「私たちの広場は明らかに大きいです。 我々は勝った！」
ジーナは、これについて議論していることを奇妙に感じました。 「長方形のブラウニーの面積は 9 の 16 倍、つまり 144 平方インチです」と彼女は言いました。 「正方形のブラウニーの面積は 12 かける 12 で、これも 144 平方インチです。 ブラウニーは同じサイズで、ネクタイです。」
どちらのチームも困惑しているように見えました。 「『倍』という言葉の意味がわかりません」と、掛け算を教わったことのないある生徒は言いました。 「私も」と別の人が言いました。 XNUMX 分の XNUMX は、「Complex College の学生が数字を使って面積を測定していると聞いたことがありますが、それはどういう意味ですか?」 想像上の大学は、夢とはいえ、実に不思議な場所だった。
ジーナは何をするつもりだったのですか？ チームが面積の測り方や掛け算の仕方を理解していない場合、ブラウニーが同じサイズであることをチームに納得させるにはどうすればよいでしょうか? 幸いなことに、ジーナには素晴らしいアイデアがありました。 「ナイフをください」と彼女は言った。
ジーナは、長方形のブラウニーの長辺を 12 インチ下に測り、短辺に平行に切り込みを入れました。 これにより、大きな四角形が 9 つの小さな四角形に変わりました。 12 つのクイック カットで、彼女は 9 x 4 のピースを 9 つの小さな 4 x 3 のピースに変えました。 ジーナは長方形を正方形の正確なレプリカに変えました。
両チームは、ブラウニーが同じサイズであることに同意する必要がありました。 一方を解剖し、もう一方を形成するために再配置することで、ジーナは XNUMX つのブラウニーが同じ総面積を占めていることを示しました。 このような解剖は、図形が同じサイズであることを示すために何千年もの間幾何学で使用されてきました。解剖と同等性については多くの注目すべき結果があります。 今日でも、数学者は分解と再配置を使用して、特定の形状が等しい場合を完全に理解しており、最近の驚くべき結果につながっています。
基本的な形状の面積式を作成するときに、数学の授業で幾何学的な分解を見たことがあるでしょう。 たとえば、平行四辺形の面積は、底辺の長さに高さを掛けた値に等しいことを覚えているかもしれません。これは、平行四辺形を切断して長方形に再配置できるためです。
この分析は、平行四辺形の面積が同じ底辺と高さを持つ長方形の面積に等しいことを示しています。虚数大学に通っていない人なら誰でも知っているように、この XNUMX つの数の積です。
イマジナリー U といえば、グレート ブラウニー ベイク オフが盛り上がりを見せていました。 チーム ガンマは、大きな三角形のブラウニーを持って近づきました。 「これが勝者です」と彼らは大胆に発表しました。 「私たちの両サイドは他のサイドよりずっと長いです。」
ジーナは側面を測定しました。 「これも同じ面積だ！」 彼女は叫んだ。 「これは直角三角形で、脚の長さは 18 と 16 で、その面積は…」 ジーナは一瞬立ち止まって、全員の顔が当惑していることに気づきました。 "ああ気にしません。 ナイフをください。」
ジーナは、斜辺の中間点から長い方の脚の中間点まで巧みにスライスし、新しく形成された三角形を回転させて、大きな部分に収まると完全な長方形になるようにしました。
「まさに私たちのブラウニーです！」 チームアルファは叫びました。 案の定、結果の長方形は 9 x 16 で、彼らとまったく同じサイズでした。
チーム ベータには疑問がありました。 「しかし、この三角形は私たちの正方形と比べてどうですか?」 彼らのチームリーダーは尋ねました。
ジーナはその準備ができていました。 「長方形と正方形が同じサイズであることはすでにわかっているので、推移性により、三角形と正方形は同じサイズになります。」 推移性は、平等の最も重要な特性の XNUMX つです。 a = b & b = cをタップし、その後、 a = c. ジーナは続けて、「最初のブラウニーの面積が XNUMX 番目のブラウニーの面積と等しく、XNUMX 番目のブラウニーの面積が XNUMX 番目のブラウニーの面積と等しい場合、XNUMX 番目と XNUMX 番目のブラウニーの面積も等しくなければなりません。」
しかし、ジーナは解剖を楽しみすぎて、そこでやめることができませんでした。 「または、さらに数カットすることもできます。」
最初にジーナは、以前は三角形だった長方形を回転させました。 次に、チーム アルファの長方形に使用したのとまったく同じパターンを使用してカットしました。
それから彼女は、チーム アルファの長方形で行ったのとまったく同じように、チーム ガンマの三角形のこの新しい解剖をチーム ベータの正方形に変える方法を示しました。
この状況では、三角形と正方形は「ハサミの合同」であると言います。ハサミを使用して XNUMX つの図形を有限個の断片に切り分け、それを再配置して別の図形を形成することを想像できます。 三角形と正方形の場合、ブラウニーはこのハサミ合同がどのように機能するかを正確に示しています。
パターンはどちらの方向にも機能することに注意してください。三角形を正方形に、または正方形を三角形に変えるために使用できます。 言い換えれば、はさみ合同は対称です: 形状 A が形状 B に合同なはさみである場合、形状 B も形状 A に合同なはさみです。
実際、三角形、長方形、正方形を含む上記の議論は、はさみ合同も推移的であることを示しています。 三角形は長方形とはさみ合同であり、長方形は正方形とはさみ合同であるため、三角形は正方形とはさみ合同です。 証拠はパターンにあります。上の長方形で行ったように、中間形状に重ねるだけです。
三角形を長方形になるように切り分け、次に長方形を正方形になるように切り分けると、XNUMX つの形状のいずれかを形成するために使用できます。
はさみ合同が推移的であるという事実は、驚くべき結果の核心です。XNUMX つの多角形が同じ面積を持つ場合、それらははさみ合同です。 これは、同じ面積を持つ任意の XNUMX つのポリゴンが与えられた場合、いつでも一方を有限数のピースに分割し、それらを再配置して他方を作成できることを意味します。
この驚くべき定理の証明も非常に簡単です。 まず、各ポリゴンを三角形にスライスします。
次に、ジーナが三角形のブラウニーを並べ替えたのと同じように、各三角形を長方形に変換します。
次は、技術的に難しい部分です。各長方形を XNUMX 単位幅の新しい長方形に変換します。
これを行うには、長方形から XNUMX 単位幅の断片を切り落とします。
長方形を幅 1 の整数個の断片に切り刻むことができれば、完了です。それらを互いに積み重ねるだけです。 それ以外の場合は、最後のピースの幅が 1 ～ 2 単位になったら切るのをやめ、残りを互いに積み重ねます。
長方形自体が幅 1 単位未満であっても心配する必要はありません。半分にスライスし、1 つの部分を使用して、長さが 2 倍、厚さが半分の新しい長方形を作成します。 幅が XNUMX ～ XNUMX 単位の長方形になるまで、必要に応じて繰り返します。
この最終的な長方形に高さがあると想像してください h と幅 w、1 w < 2. その長方形を切り取り、幅 1、高さの長方形に再配置します h × w. これを行うには、 h × w 希望の長方形 hw ×1 長方形はこんな感じ。
次に、点線に沿って隅から隅まで切り取り、右側の端に沿って右下の小さな三角形を切り取ります。 hw ×1 長方形。
これは h × w に再配置できる XNUMX つの部分に長方形 hw ×1 長方形。 (この最終的な分析を正当化するには、同様の三角形を含む巧妙な議論が必要です。詳細については、以下の演習を参照してください。)
最後に、この最後の長方形をスタックの一番上に置くと、この多角形 (実際には任意の多角形) を幅 1 の長方形に変換することに成功しました。
元のポリゴンの面積が Aの場合、この長方形の高さは A、したがって、面積を持つすべてのポリゴン A はさみは、幅 1、高さの長方形に合同です A. つまり、XNUMX つのポリゴンに面積がある場合 Aの場合、それらは両方とも同じ四角形に合同なはさみであるため、推移性により、これらは互いに合同なはさみになります。 これは、すべての多角形に面積があることを示しています。 A 面積を持つ他のすべての多角形とハサミ合同です A.
しかし、この強力な結果でさえ、Imaginary University の Brownie Bake Off の審査を成功させるには十分ではありませんでした。 まだ XNUMX つのエントリが残っていましたが、Team Pi の登場に誰も驚きませんでした。
その円が来るのを見た瞬間、ジーナは冷や汗をかいて夢から覚めた。 彼女は、円を有限個の断片に分割し、それらを再配置して正方形、長方形、または任意の多角形を形成することは不可能であることを知っていました. 1964 年、数学者のレスター・デュビンズ、モリス・ハーシュ、ジャック・カルシュは、円が任意の多角形と一致するはさみではないことを証明しました。 ジーナの夢は、幾何学的な悪夢に変わっていました。
しかし、いつものように、数学者はこの障害を新しい数学に変えました。 1990年、ミクロス・ラツコビッチは、無限に小さく、無限に切り離され、無限にギザギザの破片を使用できる限り、円をスライスして正方形に再配置することが可能であることを証明しました。
Laczkovich の結果は驚くべきものであり刺激的でしたが、そのような分解が理論的に可能であることを証明しただけでした。 部品の作り方は説明されておらず、存在する可能性があることだけが説明されていました。 Andras Máthé、Oleg Pikhurko、Jonathan Noel が登場したのは、2022 年初頭のことです。 論文を投稿しました ラツコビッチの功績と一致していましたが、視覚化できる部分がありました。
残念ながら、その結果を使用してブラウニーの焼き菓子を解決することはできません. はさみだけでは 10 は作れません200 分解に必要なピース。 しかし、これは、アルキメデスが $latex pi$ を最初に発明または発見したときに始まった一連の長い質問に答える上でのもう XNUMX つのステップです。 そしてそれは、前の世代が夢見ることができなかった新しい数学の発明または発見に向かって私たちを動かし続けます.
演習
1. 平行四辺形の面積公式の導出において、切り取った三角形が平行四辺形の反対側のスペースに完全に収まることをどのように知っているかを説明してください。
2. 三角形を四角形に分解できる理由を説明してください。
演習 3 と 4 では、 h × w 四角形はハサミ合同である hw × 1 の長方形、点にラベルが付けられています。
3. なぜ $latex 三角形$ なのか説明してください XYQ $latextriangle$ に似ています ABX法による. これは何の長さになりますか QY?
4. なぜ $latex 三角形$ なのか説明してください PCX $latex 三角形 $ に合同です AZQ.
回答1をクリックしてください：
XNUMX つの三角形が合同であることを示す方法はたくさんあります。 XNUMX つの方法は、平行線間の距離が一定であることに注意することです。そのため、XNUMX つの直角三角形には一対の合同脚があります。
また、平行四辺形では、反対側が合同であるため、斜辺と脚の三角形の合同定理によって XNUMX つの三角形が合同になります。 角-角-角の三角形の合同定理を使用して議論を行うこともできます。
回答2をクリックしてください：
三角形幾何学における優れた基本的な結果の XNUMX つは、三角形の中線定理です。三角形の XNUMX つの辺の中点を結ぶと、結果の線分は XNUMX 番目の辺と平行で、その長さの半分になります。
セグメントは 1 番目の辺に平行であるため、角度 3 と 1 は一致する対応する角度です。 また、角度 2 と 180 は同じ側の内角であるため、これらは補助的です。つまり、それらの測定値の合計は 1 度になります。 $latexangle$ 3 は $latexangle$ 3 と合同なので、角度 2 と XNUMX も補助的です。
したがって、上の三角形を右にひっくり返すと、合同な辺が完全に一致し、角度 2 と 3 が直線になります。
これにより、三角形が平行四辺形に変わります。これは、既に知られているように、長方形に変えることができます。
回答3をクリックしてください：
Since BXYZ 長方形で、両方とも $latexangle$ ZBC と $latexangle$ ZYX 直角です。 そして、長方形の反対側は平行なので、これは $latexangle$ になります YQX $latexangle$ に合同 AXB、それらは交互の内角であるため。 したがって、$latextriangle$ XYQ $latextriangle$ に似ています ABX法による 角度 - 角度の類似性によって。 同様の三角形では、辺は比例しているため、$latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. したがって、$latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$ となります。 QY = 1. $latexangle$ であるため、注意してください。 ADC は直角で、$latex angle$ DAP と $latex angle$ YQX は一致する対応する角度であり、これにより $latex 三角形 $ が作成されます DAP $latextriangle$ に合同 YQX. これは、$latextriangle$ をスライドできることを証明しています YQX 現在 $latex 三角形 $ が占めている場所に DAP、はさみの合同引数で必要とされるように。
回答4をクリックしてください：
$latex angle$ に注意してください AZQ と $latexangle$ PCX はどちらも直角なので合同です。 演習 3 のように平行線のプロパティを使用すると、$latex angle$ もわかります。 AQZ と $latex angle$ PXC 合同な対応する角度です。 また、演習 3 では、次のことを示しました。 QY = 1. これにより、 QZ = w − 1、これはまさに CX に等しいです。 したがって、 $latex 三角形 $ PCX $latex 三角形 $ に合同です AZQ 角度 - 角度 - 三角形の合同によって。 これは、 h × w 四角形はハサミ合同である hw ×1 長方形。
