1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques、バルセロナ科学技術研究所、08860 Castelldefels、スペイン
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior、UPC-Universitat Politècnica de Catalunya、08028 バルセロナ、スペイン
3Univ Grenoble Alpes、CNRS、Grenoble INP、Institut Néel、38000 グルノーブル、フランス
4ICREA-Institucio Catalana de RecercaiEstudisAvançats、Lluis Company 23、08010バルセロナ、スペイン
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抽象
相互に偏りのない基底は、量子情報理論における非常に有用な測定値のペアに対応します。 最小の複合次元である 2 では、相互に偏りのない基底が 83 ～ 062303 個存在することが知られており、Zauner の予想として知られる数十年前の予想では、存在するのは最大 2011 個であるとされています。 ここでは、$n$ MUB がその次元に存在する場合に限り、次元 $d$ で最大に破ることができる整数 $n,d ge XNUMX$ のすべてのペアに対するベルの不等式の構築を通じて、Zauner の予想に数値的に取り組みます。 したがって、Zauner の予想を最適化問題に変換し、シーソー最適化、非線形半正定値計画法、モンテカルロ法という XNUMX つの数値手法を使用して解決します。 XNUMX つの方法はすべて、低次元の既知のケースを正しく識別し、XNUMX 次元には相互に偏りのない XNUMX つの基底が存在しないことを示唆しており、対応するベルの不等式を数値的に最適化する同じ基底をすべて見つけています。 さらに、これらの数値オプティマイザーは、[P. Raynal, X. Lü, B.-G. エングラート、{Phys. Rev. A}、{ XNUMX} XNUMX (XNUMX)]。 最後に、モンテカルロの結果は、最大で XNUMX つの MUB が次元 XNUMX に存在することを示唆しています。
主な画像: 次元 d に n 個の MUB が存在すると仮定した場合のベルの不等式の値と、数値的手法によって検出された値との相対的な差。 ゼロの値は、メソッドが次元 d で n 個の MUB を検出したことを意味し、ゼロ以外の値は、メソッドが次元 d で n 個の MUB を検出しなかったことを意味します。 既知のすべてのケース (次元 XNUMX から XNUMX および XNUMX と XNUMX の MUB を含む次元 XNUMX) は、数値によって正しく識別されます。 次元 XNUMX では、どのメソッドも XNUMX つの MUB を見つけられず、すべてのメソッドが XNUMX つの塩基の同じセットに収束します。
人気の要約
幅広い用途にもかかわらず、MUB の構造に関して未解決の問題が残っています。 最も顕著なのは、量子系の次元が合成数である場合、ペアワイズで偏りのない測定値の最大数 (「MUB の数」) が不明であることです。 特に、次元 XNUMX では、MUB の数が XNUMX から XNUMX の間であることがわかっています。 XNUMX 次元には XNUMX つ以下の MUB しか存在しないという、ザウナーの長年にわたる未解決の予想があります。 この数十年にわたる推測は、いくつかの数値的証拠によって裏付けられていますが、今日まで証拠はありません。
この作業では、ベルの非局所性を通じてザウナーの予想に取り組みます。 ベルの非局所性は、通信を許可されていないが、古典的なランダム性または共有量子状態の形でいくつかの相関関係を共有できる XNUMX 人の実験者に関係しています。 量子リソースを共有すると、古典物理学 (より正確には、いわゆる局所隠れ変数モデル) では説明できない実験データが得られる可能性があることが示されています。 これはベルの定理として知られており、過去 XNUMX 年間で実験的に検証されています。 実験データの非古典性を目の当たりにすることは、実験で発生する測定結果の確率の関数である、いわゆるベルの不等式を介して最も一般的に行われます。 古典的なデータはベルの不等式を満たさなければなりませんが、量子データはベルの不等式に違反する可能性があります。
最近、当事者の XNUMX 人が特定の次元の MUB 測定値のペアを使用すると、ベルの不等式が最大限に破られることがわかりました。 この作業では、これらの不等式を新しい不等式に拡張し、特定の次元で選択された数の MUB 測定値によって最大限に侵害されます。 さらに、実験の次元が固定されている場合、採用された測定値が特定の次元で選択された MUB の数に対応する場合にのみ、最大の違反が得られます。 したがって、選択した数の MUB が特定の次元に存在するかどうかを判断することは、この固定次元で対応するベルの不等式の最大違反を見つけることと同じです。
この最大の違反を見つけることは一般に困難な問題ですが、固定次元でのベルの不等式の最大の違反を見つける試みとして、XNUMX つの異なる数値手法を使用します。 これらの方法のうちの XNUMX つは半正定値計画法手法の変形であり、XNUMX つ目の方法は統計物理学に着想を得たもので、シミュレーテッド アニーリングと呼ばれます。 これらの方法はすべてヒューリスティックです (つまり、問題の真の最適解が見つかるという保証はありません) が、最適解がわかっている最適化問題に適用することで、そのパフォーマンスを測定できます。 特に、XNUMX つの方法のすべてが、MUB 測定値が存在することがわかっている場合に、それらを正しく識別できることがわかりました。 さらに、それらが存在しないことがわかっている場合、XNUMX つの方法はすべて、数値精度まで同じ測定セットに収束します。 次に、最初の未知のケース、つまり次元 XNUMX の XNUMX つの MUB にメソッドを適用します。 いずれの方法も次元 XNUMX で XNUMX つの MUB を識別できませんが、数値精度まで XNUMX つの測定値の同じセットにすべて収束します。 さらに、シミュレーテッド アニーリング手法では、次の複合次元である次元 XNUMX に XNUMX つの MUB が見つかりません。 したがって、私たちの手法のヒューリスティックな性質のために厳密な主張を行うことはできませんが、私たちの結果は、ベルの非局所性の新しい観点からザウナーの予想を支持しています。
►BibTeXデータ
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