두 명의 학생이 널리 알려진 수학 추측을 풀다 | 콴타 매거진

Summer Haag와 Clyde Kertzer는 여름 연구 프로젝트에 큰 기대를 걸었습니다. 수학의 전체 하위 필드를 가리는 것은 그중 하나가 아닙니다.

XNUMX월에 Haag는 Kertzer가 학부생이었던 볼더에 있는 콜로라도 대학교에서 대학원 XNUMX학년을 마치고 있었습니다. 둘 다 수업에서 휴식을 기대했습니다. Haag는 새로운 하이킹과 등반 경로를 탐색할 계획이었습니다. Boulder 출신인 Kertzer는 축구를 하고 싶었고 대학원 지원서를 준비하고 싶었습니다. 그러나 연구수학자 지망생으로서 그들은 수학자 그룹의 반나절 여름 연구 프로그램에도 지원했습니다. 캐서린 스탠지.

Stange는 자신을 수학적 "개구리” — 다른 문제로 건너뛰기 전에 한 문제의 복잡성을 깊이 파고드는 사람. 그녀는 "풍부한 구조로 이끄는 단순해 보이는 질문"에 관심이 있다고 그녀는 말했습니다. 그녀의 프로젝트는 종종 컴퓨터를 사용하여 대규모 데이터 세트를 생성함으로써 정수론의 파악하기 어려운 열린 문제를 찌르고 있습니다.

Haag와 Kertzer는 Haag의 23번째 생일에 Apollonian circle packings(원이 어떻게 조화롭게 하나의 큰 원으로 압축될 수 있는지에 대한 고대 연구)에 대한 입문서로 프로그램을 시작했습니다.

서로 닿도록 세 개의 동전을 배열한다고 상상해 보십시오. 외부에서 세 개 모두에 닿는 원을 항상 주위에 그릴 수 있습니다. 그런 다음 질문을 시작할 수 있습니다. 더 큰 원의 크기는 세 동전의 크기와 어떤 관련이 있습니까? 세 개의 동전 사이의 간격에 들어갈 원의 크기는 얼마입니까? 그리고 원 사이의 점점 더 작아지는 간격을 채우는 원을 그리기 시작하면(패킹이라고 하는 프랙탈 패턴 생성) 이러한 원의 크기는 서로 어떤 관련이 있습니까?

이 원의 지름에 대해 생각하는 대신 수학자들은 반지름의 역수인 곡률이라는 척도를 사용합니다. 따라서 반지름이 2인 원은 곡률이 1/2이고 반지름이 1/3인 원은 곡률이 3입니다. 원이 작을수록 곡률이 커집니다.

르네상스 수학자들은 처음 XNUMX개의 원이 정수인 곡률을 갖는 경우 채우기에서 모든 후속 원의 곡률이 정수임을 보장한다는 것을 증명했습니다. 그 자체로 놀랍습니다. 그러나 수학자들은 원이 점점 작아지고 곡률이 점점 커짐에 따라 어떤 정수가 나타나는지에 대해 질문함으로써 문제를 한 단계 더 발전시켰습니다.

2010년에 엘레나 푹스, 현재 University of California, Davis의 정수론자, 증명 그 곡률은 특정 숫자 버킷으로 강제하는 특정 관계를 따릅니다. 얼마 지나지 않아 수학자들은 곡률이 한 버킷 또는 다른 버킷에 속해야 할 뿐만 아니라 각 버킷에서 가능한 모든 숫자를 사용해야 한다고 확신하게 되었습니다. 이 아이디어는 지역-전역 추측으로 알려지게 되었습니다.

Kertzer는 "많은 작업에서 이미 사실인 것처럼 언급했습니다."라고 말했습니다. "가까운 미래의 어느 시점에 입증될 것처럼 논의했습니다."

제임스 리카즈Stange 및 학생들과 함께 작업하는 Boulder의 수학자인 은 원 채우기의 원하는 배열을 검사하는 코드를 작성했습니다. 그래서 Haag와 Kertzer가 15월 XNUMX일에 그룹에 합류했을 때 그들은 신뢰할 수 있는 로컬-글로벌 규칙이 시작되는 멋진 플롯을 만들 것이라고 생각했습니다.

Stage는 12월 초 회의를 위해 프랑스로 날아갔습니다. 그녀가 XNUMX월 XNUMX일에 돌아왔을 때 팀은 몇 개의 버킷이 특정 숫자를 놓치고 있는 것처럼 보이는 차트 주위에 모였습니다.

Rickards는 “우리는 이 현상을 조사하지 않았습니다. “나는 그것이 사실인지 테스트하려고 하지 않았습니다. 나는 그것이 사실이라는 것을 알았습니다. 나는 그것이 사실이라고 생각했습니다. 그런데 갑자기 그렇지 않다는 데이터와 마주하게 됩니다.”

주말이 되자 팀은 그 추측이 틀렸다고 확신했습니다. 그들이 나타날 것으로 기대했던 숫자는 결코 나타나지 않았습니다. 그들은 증명을 했고, 6월 XNUMX일에 그들은 그들의 작품을 올렸다. 과학적 프리프린트 사이트 arxiv.org로.

Fuchs는 증거가 제자리에 고정된 직후 Stange와 대화한 것을 기억합니다. "로컬 대 글로벌 추측을 얼마나 믿습니까?" 스탠지가 물었다. Fuchs는 물론 그녀가 그것을 믿었다고 대답했습니다. Fuchs는 "그런 다음 그녀는 이 모든 데이터를 보여주었고 저는 '맙소사, 놀랍네요.'라고 말했습니다."라고 말했습니다. "내 말은, 나는 지역 대 전역 추측이 사실이라고 정말로 믿었습니다."

“보자마자 '아하! 물론!'”이라고 말했다. 피터 사르 낙, Institute for Advanced Study and Princeton University의 수학자 초기 관찰 로컬-글로벌 추측에 연료를 공급하는 데 도움이 되었습니다.

"환상적인 통찰력입니다."라고 덧붙였습니다. 알렉스 콘토로비치 러트거스 대학교. "20년 전에 사람들이 처음으로 이것을 가지고 놀기 시작했을 때 우리는 그것을 찾지 못했다는 사실에 우리 모두 자책하고 있습니다."

결과가 남긴 잔해 속에서 이 작업은 정수론에서 다른 추측의 토대에 균열을 드러냈습니다. 수학자들은 널리 퍼진 신념이 다음에 무너질 수 있는지 궁금해했습니다.

로터리 역사

Apollonian circle packings은 아마도 창시자인 Perga의 Apollonius에서 이름을 따왔습니다. 약 2,200년 전에 그리스 기하학자는 다음과 같은 책을 썼습니다. 접선 다른 세 개에 접하는 원을 구성하는 방법에 대해 설명합니다. 그 책은 시간 속에 사라졌다. 그러나 약 500년 후, 그리스 수학자 알렉산드리아의 파푸스는 비잔틴 제국의 붕괴에서 살아남을 개론을 작성했습니다.

Pappus의 설명만을 사용하여 접선, 르네상스 수학자들은 원래 작업을 되돌리려고 시도했습니다. 1643년까지 르네 데카르트는 서로 접하는 네 원의 곡률 사이의 간단한 관계를 발견했습니다. 데카르트는 모든 곡률 제곱의 합이 곡률 합의 제곱의 절반과 같다고 주장했습니다. 이것은 세 개의 원이 주어지면 네 번째 접하는 원의 반지름을 계산할 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, 곡률이 11, 14, 15인 세 개의 원이 있는 경우 해당 숫자를 Descartes의 방정식에 대입하고 원의 곡률을 계산하여 그 안에 들어갈 수 있습니다: 86.

1936년 노벨상을 수상한 방사성 화학자 프레데릭 소디 그는 데카르트의 관계로 패킹을 만들면서 이상한 점을 발견했습니다. 원이 작아지고 곡률이 커짐에 따라 그는 제곱근 또는 무한 소수를 가진 형편없는 숫자를 얻을 것으로 예상했습니다. 대신 모든 곡률은 정수였습니다. 이것은 데카르트 방정식의 상당히 간단한 결과였지만, 수백 년 동안 아무도 눈치채지 못했습니다. 그것은 Soddy에게 영감을주었습니다. 시를 출판하다 과학 저널 자연, 시작:

두 입술이 키스할지도 몰라
삼각법을 사용하지 않습니다.
네 개의 원이 키스할 때 그렇지 않아
각각 다른 세 개.

가능한 것과 불가피한 것

정수로 가득 찬 패킹이 있다는 것이 확인되면 수학자들은 그 정수에서 패턴을 찾으려고 노력했습니다.

2010년, Fuchs와 캐서린 샌든 구축하기 시작했습니다. 2003의 종이. 듀오는 주어진 패킹의 각 곡률을 24로 나누면 규칙이 나타나는 것을 관찰했습니다. 일부 패킹은 예를 들어 나머지가 0, 1, 4, 9, 12 또는 16인 곡률만 있습니다. 나머지는 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 또는 22의 나머지만 남깁니다. 가능한 그룹은 XNUMX개였습니다.

수학자들은 채우기의 다양한 범주를 조사하면서 곡률이 큰 원과 같이 충분히 작은 원의 경우 각 범주 내에서 가능한 모든 숫자가 해당 유형의 채우기에 나타나는 것처럼 보인다는 사실을 알아차리기 시작했습니다. 이 아이디어는 지역-전역 추측이라고 불리게 되었습니다. Fuchs는 그것이 "이 작은 수학자들의 꿈 중 하나"가 되었다는 것을 증명했다고 말했습니다. "예를 들어, 지금부터 몇 년 후에는 이 문제를 해결할 수 있을 것 같습니다."

2012년에 Kontorovich와 Jean Bourgain(누가 2018에서 사망했다.) 증명 거의 모든 숫자 추측에 의해 예측된 일이 발생합니다. 그러나 "거의 모두"는 "모두"를 의미하지 않습니다. 예를 들어, 완전제곱수는 수학적으로 "거의 모든" 정수가 완전제곱수가 아닐 정도로 드물지만, 예를 들어 25와 49는 완전제곱수입니다. 수학자들은 Kontorovich와 Bourgain의 논문이 실제로 존재하지 않은 후에 가능한 드문 반례가 있다고 생각했는데, 대부분 가장 잘 연구된 XNUMX~XNUMX개의 원 채우기가 지역-전역 추측을 잘 따르는 것 같았기 때문이라고 Kontorovich는 말했습니다.

다이얼 돌리기

Haag와 Kertzer가 이번 여름 Boulder에서 시작했을 때 Rickards는 Stange의 사무실에 있는 칠판에 아이디어를 적었습니다. Rickards는 "우리는 전체 목록을 가지고 있었습니다."라고 말했습니다. 그들은 실험할 XNUMX~XNUMX개의 출발점을 가지고 있었습니다. "당신이 가지고 놀 수 있고 무슨 일이 일어나는지 볼 수 있는 것들."

한 가지 아이디어는 두 개의 임의 곡률 A와 B를 포함하는 가능한 모든 원 채우기를 계산하는 것이었습니다. Rickards는 A가 호스팅할 때 어떤 정수가 파티에 표시되는지 보고하는 일종의 원장을 출력하는 프로그램을 작성했습니다.

이 프로그램을 기반으로 Haag는 한 번에 수많은 시뮬레이션을 플롯하는 Python 스크립트를 함께 만들었습니다. 마치 구구단 같았습니다. Haag는 24로 나눈 나머지를 기준으로 포함할 행과 열을 선택했습니다. Apollonian 패킹에 나타나는 숫자 쌍은 함께 흰색 픽셀을 얻었습니다. 검은색 픽셀이 없는 것.

Haag는 XNUMX개 그룹 각각의 나머지 쌍당 하나씩 수십 개의 플롯을 검토했습니다.

그들은 예상대로 정확히 보였습니다. 더 작은 정수를 위해 검은 반점으로 뒤덮인 흰색 벽입니다. Stange는 "우리는 검은 점이 희미해질 것으로 예상했습니다."라고 말했습니다. Rickards는 "나는 그들이 점점 작아지는 것을 증명하는 것이 가능할 것이라고 생각했습니다."라고 덧붙였습니다. 그는 많은 패킹을 함께 종합한 차트를 살펴봄으로써 팀이 하나의 패킹을 단독으로 볼 때 불가능했던 결과를 증명할 수 있을 것이라고 추측했습니다.

Stange가 자리를 비운 동안 Haag는 약 120개 정도의 나머지 쌍을 모두 계획했습니다. 놀랄 일도 아닙니다. 그런 다음 그녀는 커졌습니다.

Haag는 1,000개의 정수가 어떻게 상호 작용하는지 계획하고 있었습니다. (그래프는 1만 쌍의 가능한 쌍을 포함하기 때문에 소리보다 큽니다.) 그런 다음 그녀는 다이얼을 10,000 곱하기 10,000까지 돌렸습니다. 한 그래프에서 검은 반점의 규칙적인 행과 열은 용해를 거부했습니다. 로컬-글로벌 추측이 예측하는 것과는 전혀 달랐습니다.

팀은 Stage가 돌아온 후 월요일에 만났습니다. Haag는 그녀의 그래프를 제시했고 그들은 모두 이상한 점이 있는 그래프에 집중했습니다. Haag는 "그냥 계속되는 패턴이었습니다."라고 말했습니다. "그때 Kate가 '로컬-글로벌 추측이 사실이 아니면 어떻게 할까요?'라고 말했습니다."

“이것은 패턴처럼 보입니다. 계속해야합니다. 따라서 로컬-글로벌 추측은 거짓이어야 합니다.”라고 Stange는 생각을 회상했습니다. "제임스는 더 회의적이었습니다."

Rickards는 “처음에는 내 코드에 버그가 있을 것이라고 생각했습니다. "내 말은, 그게 내가 생각할 수 있는 유일한 합리적인 것이었단 말이야."

반나절 만에 Rickards가 돌아왔습니다. 패턴은 첫 번째 숫자가 8 × (3 형식인 모든 쌍을 배제했습니다.n ±1)² 두 번째는 제곱의 24배입니다. 이것은 24와 8이 같은 패킹에 나타나지 않는다는 것을 의미합니다. 발생할 것으로 예상되는 숫자는 발생하지 않습니다.

“나는 약간 현기증이났습니다. 당신을 정말로 놀라게 하는 것은 그리 흔한 일이 아닙니다.”라고 Stange는 말했습니다. "그러나 그것은 데이터를 가지고 노는 마법입니다."

XNUMXD덴탈의 XNUMX월 신문 그들이 관찰한 패턴이 무한정 계속된다는 엄격한 증거를 제시하여 추측이 틀렸음을 증명합니다. 증명은 두 소수의 제곱을 포함하는 이차 상호 관계라고 하는 수백 년 된 원리에 달려 있습니다. Stange의 팀은 호혜성이 원 채우기에 어떻게 적용되는지 발견했습니다. 특정 곡률이 서로 접할 수 없는 이유를 설명합니다. 장애물이라고 하는 규칙은 패킹 전체에 전파됩니다. "완전히 새로운 것입니다."라고 말했습니다. 제프리 라가리아스, 2003년 circle-packing paper의 공동 저자인 University of Michigan의 수학자. "그들은 그것을 독창적으로 발견했습니다." Sarnak이 말했습니다. "이 숫자가 나타나면 상호주의를 위반하는 것입니다."

낙진

정수론의 많은 다른 추측이 이제 의심스러울 수 있습니다. 지역-전역 추측과 마찬가지로 증명하기 어렵지만 이미 거의 모든 경우에 적용되는 것으로 나타났으며 일반적으로 참이라고 가정합니다.

예를 들어, Fuchs는 다음 방정식을 만족하는 숫자 집합인 Markov triples를 연구합니다. x² + y² + z² = 3XYZ. 그녀와 다른 사람들은 특정 유형의 솔루션이 10보다 큰 소수에 대해 연결되어 있음을 보여주었습니다.³⁹². 모든 사람은 패턴이 무한대로 계속되어야 한다고 믿습니다. 그러나 새로운 결과에 비추어 볼 때 Fuchs는 약간의 의심을 느꼈습니다. "어쩌면 제가 뭔가를 놓치고 있는 것 같아요." 그녀가 말했다. "어쩌면 모두가 뭔가를 놓치고 있을지도 몰라."

"이제 거짓인 단일 예가 있으므로 질문은 다음과 같습니다. 다른 예에서도 거짓입니까?" 리카즈가 말했다.

Zaremba의 추측도 있습니다. 임의의 분모를 가진 분수는 1에서 5 사이의 숫자만 사용하는 연속 분수로 표현할 수 있다고 합니다. 2014년 Kontorovich와 Bourgain은 Zaremba의 추측이 거의 모든 숫자에 대해 성립함을 보여주었습니다. 그러나 원 채우기에 대한 놀라움은 Zaremba의 추측에 대한 확신을 약화시켰습니다.

포장 문제가 다가올 일의 전조라면 계산 데이터가 문제를 해결하는 도구가 될 수 있습니다.

Fuchs는 "순수하게 데이터를 살펴보는 것에서 새로운 수학이 탄생할 때면 항상 매력적입니다."라고 말했습니다. "그것 없이는 [그들이] 이것을 우연히 발견했을 것이라고 상상하기가 정말 어렵습니다."

Stange는 저위험 여름 프로젝트 없이는 이런 일이 일어나지 않았을 것이라고 덧붙였습니다. "우연함과 장난기 가득한 탐험의 태도는 둘 다 발견에 큰 역할을 합니다."라고 그녀는 말했습니다.

하그는 "순전히 우연의 일치였다"고 말했다. "내가 충분히 크지 않았다면 우리는 그것을 알아차리지 못했을 것입니다." 이 작업은 정수론의 미래에 좋은 징조입니다. Stange는 "직관과 증명을 통해 수학에 대한 이해를 얻을 수 있습니다."라고 말했습니다. “그리고 당신은 그것에 대해 생각하는 데 많은 시간을 보냈기 때문에 그것을 많이 신뢰합니다. 하지만 데이터에 대해 논쟁할 수는 없습니다.”

편집자 주: 알렉스 콘토로비치는 Quanta Magazine의 과학 자문위원회. 그는 이 이야기를 위해 인터뷰를 받았지만 그 외에는 제작에 기여하지 않았습니다.