새로운 숫자 체계에서 비밀을 밝히는 타원 곡선 | 콴타 매거진

연구 수학의 많은 복잡한 발전은 숫자에 대한 가장 단순한 질문 중 일부를 이해하려는 욕구에 의해 촉진되었습니다. 소수는 정수에 어떻게 분포되어 있습니까? 완벽한 큐브가 있습니까(예: 8 = 2³ 또는 27 = 3³) 다른 두 큐브의 합으로 쓸 수 있습니까? 보다 일반적으로 수학자들은 방정식을 풀기를 원할 수 있습니다. 그러나 방정식 자체를 만지작거리면 그렇게 하는 것이 종종 불가능합니다. 대신 수학자들은 복잡성이 비밀을 암호화하는 매우 추상적인 구조에 솔루션을 연결하는 방법을 찾습니다.

지난 수십 년 동안 수학에서 가장 흥미로운 연구 분야 중 하나가 이 형식을 따랐습니다. 그것은 타원 곡선이라고 불리는 특정한 종류의 다항 방정식과 1994년 Andrew Wiles가 20세기의 가장 유명한 결과 중 하나인 Fermat의 마지막 정리를 증명하기 위해 사용했을 때 수학에서 두각을 나타낸 모듈 형식이라고 불리는 보다 난해한 객체 사이의 관계를 이해하는 것을 포함했습니다. 수학.

지난 XNUMX월, 아나 카라아니 임페리얼칼리지런던과 본대학교의 제임스 뉴턴 옥스퍼드 대학교는 이 분야에 새로운 연구 영역을 열었습니다. 그들이 증명했을 때 Wiles가 타원 곡선과 모듈 형식 사이에 설정한 관계는 가상 XNUMX차 필드라고 하는 일부 수학적 개체에도 적용됩니다.

Wiles는 특정 종류의 타원 곡선이 모듈러임을 증명했습니다. 즉, 곡선을 정의하는 데 포함된 두 개의 변수와 두 개의 계수가 분수로 쓸 수 있는 값인 유리수일 때 각 곡선에 해당하는 특정 모듈러 형식이 있음을 의미합니다. 그의 작업 이후, 수학자들은 더 다양한 맥락에서 모듈성을 확립하기 위해 노력했습니다. 2001년에 2013명의 수학자들은 모든 타원 곡선이 유리수에 대해 모듈러임을 증명했습니다(반면 Wiles는 일부 곡선에 대해서만 이를 증명했습니다). XNUMX년에는 수학자 XNUMX명이 사미르 식섹 University of Warwick은 타원 곡선도 모듈러임을 증명했습니다. 실제 XNUMX차 필드에 대해  (변수와 계수가 실수 XNUMX차 필드라고 하는 숫자 시스템에서 가져온다는 의미).

발전이 진행됨에 따라 하나의 특정 목표는 도달할 수 없었습니다. 타원 곡선이 가상 XNUMX차 필드에 대해 모듈식임을 증명하는 것입니다.

2차 필드는 유리수와 실수 사이의 수학적 디딤돌이며, 여기에는 가능한 모든 십진수가 포함되며 소수점 오른쪽에 반복되지 않는 무한 패턴이 있는 경우도 포함됩니다. (여기에는 $latex sqrt{XNUMX}$ 또는 $latex pi $와 같은 모든 무리수가 포함됩니다.)

5차 필드는 일부 정수(예: 5)를 선택하고 $latex a + bsqrt{XNUMX}$ 형식의 모든 숫자를 포함합니다. 여기서 a 및 b 둘 다 유리수입니다. 문제의 정수가 양수이면 결과 XNUMX차 필드는 실수의 하위 집합이므로 실수 XNUMX차 필드라고 합니다.

음수의 제곱근을 취하여 형성되는 허수 XNUMX차 필드에 대해 정의되는 타원 곡선은 어떻습니까?

이것이 Caraiani와 Newton이 해결한 문제입니다.

수백 년 전에 수학자들은 음수의 제곱근을 간단한 방법으로 정의했습니다. i, -1의 제곱근. 그러면 다른 음수의 제곱근은 i 해당 양수의 제곱근을 곱합니다. 따라서 $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. 허수는 많은 문제에서 실수보다 작업하기 쉽기 때문에 수학에서 중요한 역할을 합니다.

그러나 실제 XNUMX차 필드에 대한 모듈성을 증명하는 기술이 작동하지 않기 때문에 타원 곡선이 가상 XNUMX차 필드에 대해 모듈러임을 증명하는 것은 오랫동안 도달할 수 없는 상태로 남아 있습니다.

Caraiani와 Newton은 Wiles와 다른 사람들이 개척한 모듈성을 입증하기 위한 프로세스를 가상 XNUMX차 필드에 대한 타원 곡선에 적용하는 방법을 알아냄으로써 모든 가상 XNUMX차 필드의 약 절반에 걸쳐 모든 타원 곡선에 대해 모듈성을 달성했습니다.

“그래서 Caraiani와 Newton의 아름다운 작업이 들어왔습니다. 그들은 Wiles의 두 번째 단계를 개선했습니다.”라고 말했습니다. 찬드라셰카르 카레 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스 캠퍼스.

이 작업은 그 자체로 기술적 성과이며, 가상 환경에서 수학의 가장 중요한 질문 중 일부에 대한 진전을 이룰 수 있는 문을 열어줍니다.

중매쟁이, 중매쟁이

수학자들은 적어도 고대 그리스 시대부터 다항 방정식(변수의 상수 조합)에 대한 해법에 관심을 가져왔습니다. 방정식은 변수의 양, 해당 변수의 계수 및 증가하는 거듭제곱을 조정하여 달성되는 무한한 종류로 제공됩니다. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$는 하나의 예일 뿐입니다.

타원 곡선은 수학적 탐구를 위한 최적의 경도 수준에 있는 다항 방정식입니다. 깔끔한(널리 가르쳐) 하나의 변수에서 최고 거듭제곱이 2인 5차 다항식의 해를 구하는 공식이지만 최고 거듭제곱이 3 이상인 다항식의 해를 구하는 공식은 없습니다. 더 많은 변수를 추가하면 일반적으로 작업이 더 복잡해집니다. 그러나 $latex(y^2=x^3+1)$와 같이 두 개의 변수가 있고 최고 거듭제곱이 XNUMX인 타원 곡선은 절망감을 느낄 정도로 어렵지 않으면서 발명의 영감을 주기에 충분히 도전적입니다.

타원 곡선에 대한 기본적인 질문 중 하나는 그것을 푸는 합리적 쌍이 유한하게 또는 무한히 많은지 여부입니다. 어떤 타원 곡선은 유한하게 많은 합리적 해를 가지고 있고, 다른 것들은 무한히 많이 가지고 있으며, 어떤 것은 전혀 가지고 있지 않습니다.

"그들은 이런 종류의 재미있는 중간 행동을 가지고 있습니다."라고 Caraiani는 말했습니다.

임의의 타원 곡선을 건네받는 경우 해당 곡선이 어떤 범주에 속하는지 즉시 알 수 없습니다. 그러나 속성이 답을 드러내는 모듈 형식이라는 일치하는 개체와 쌍을 이루어 해독하는 것이 가능합니다.

모듈 형식을 잡아라

모듈 형식은 미적분의 고급 형식인 분석에서 연구되는 함수입니다. 그들은 매우 대칭 종종 모양을 잃지 않고 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하여 번역할 수 있습니다. 이러한 방식으로 사인 함수와 같은 다른 고도로 대칭인 함수와 공통점이 있지만 기록하거나 시각화하기에는 덜 간단합니다.

모든 모듈 형식에는 계수가 있습니다. 그것들을 적어서 일련의 숫자를 생성할 수 있습니다. 이 숫자는 매우 좋은 속성을 가지고 있으며 무작위와는 거리가 멀게 보입니다. 그들은 20세기 초에 수학적 천재 Srinivasan Ramanujan이 모듈 형식의 계수 패턴이 각 모듈 형식이 Galois 표현이라고 하는 두 번째 종류의 개체에 연결되어 있다는 사실로 설명된다는 사실을 인식하기 시작한 XNUMX세기 초부터 수학자들을 혼란에 빠뜨렸습니다. . 이후 작업에서 링크를 확인했습니다.

타원 곡선에도 갈루아 표현이 있으며, 라마누잔의 작업 이후 갈루아 표현이 타원 곡선과 모듈 형식 사이에 보간될 수 있는 것처럼 보였습니다. 하나에서 시작하여 갈루아 표현을 식별하고 다른 것을 찾으십시오.

"당신은 일종의 생각: 타원 곡선, 기하학의 객체, Galois 표현이 있고 모듈 형식에는 Galois 표현이 있습니다. 일치하는 것이 있습니까?" 식섹이 말했다.

1950년대 후반에 Yutaka Taniyama와 Goro Shimura는 특정 모듈 형식과 타원 곡선 사이에 완벽한 일대일 일치가 있다고 제안했습니다. 다음 1년 동안 로버트 랭글랜즈(Robert Langlands)는 이 아이디어를 바탕으로 광범위한 Langlands 프로그램, 수학에서 가장 광범위하고 결과적인 연구 프로그램 중 하나가되었습니다.

1:1 대응이 사실이라면 수학자에게 타원 곡선의 해를 이해하기 위한 강력한 도구 세트를 제공할 것입니다. 예를 들어, 각 모듈 형식과 관련된 일종의 수치 값이 있습니다. 수학의 가장 중요한 미해결 문제 중 하나( 백만 달러 상금) — Birch 및 Swinnerton-Dyer 추측 — 해당 값이 XNUMX이면 해당 모듈 형식과 관련된 타원 곡선에는 무한히 많은 합리적인 솔루션이 있고 XNUMX이 아닌 경우 타원 곡선에는 유한한 많은 합리적인 솔루션이 있다고 제안합니다.

그러나 이와 같은 문제를 해결하기 전에 수학자들은 대응 관계가 성립하는지 알아야 합니다. 타원 곡선을 건네주면 일치하는 모듈 형식을 건네줄 수 있습니다. Wiles에서 Caraiani 및 Newton에 이르기까지 많은 수학자들이 지난 수십 년 동안 이를 증명했습니다.

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Wiles의 작업 이전에 수학자들은 대응의 한 방향을 증명하는 데 성공했습니다. 어떤 경우에는 모듈 형식으로 시작하여 일치하는 타원 곡선을 찾을 수 있었습니다. 그러나 타원 곡선이 모듈화된다고 말하는 수학자들이 의미하는 다른 방향으로 가는 것은 더 어려웠고 Wiles가 이를 달성한 첫 번째 사람이었습니다.

“초기 사람들은 특정 상황에서 모듈형 형태에서 타원형으로 전환하는 방법을 알고 있었지만, 타원형에서 모듈형으로 역방향으로 전환하는 것이 Wiles가 동기를 부여한 것이었습니다.”라고 Khare는 말했습니다.

Wiles는 계수가 유리수인 타원 곡선의 일부 종류에 대해 모듈성을 증명했습니다. 그것만으로도 페르마의 마지막 정리를 모순으로 증명하기에 충분했습니다. (Wiles는 Fermat의 마지막 정리가 거짓이라면 이전 작업에서 설정한 타원 곡선이 존재할 수 없음을 의미하므로 Fermat의 마지막 정리가 참이어야 함을 증명했습니다.)

수학자들은 타원 곡선에 대한 Wiles의 작업을 확장하면서 Wiles가 초기 결과를 증명하는 데 사용한 것과 동일한 방법을 따랐습니다.

결과를 유리수 및 유리수 2차 필드로 일반화하는 데 성공한 후, 다음으로 명백한 확장은 허수 2차 필드였습니다.

"일어날 수 있는 일은 두 가지뿐입니다. 필드는 실제이거나 가상입니다."라고 Caraiani는 말했습니다. “실제 사례는 이미 이해가 되었기 때문에 상상의 사례로 가는 것이 당연하다.”

허수 이차장은 유리수 및 실수와 동일한 기본 산술 속성을 갖지만 Wiles의 방법은 거의 쉽게 이식될 수 없습니다. 많은 이유가 있지만 특히 허수 2차 장에 대한 모듈러 형태는 유리수와 실수에 대한 것보다 훨씬 덜 대칭적입니다. 이러한 상대적인 대칭 부족으로 인해 타원 곡선과의 일치를 설정하는 핵심인 갈루아 표현을 정의하기가 더 어려워집니다.

Wiles의 Fermat 증명 이후 몇 년 동안 "허수 XNUMX차 필드의 경우는 여전히 가능한 범위를 벗어났습니다"라고 Khare는 말했습니다. 그러나 지난 XNUMX년 동안 일련의 진보가 Caraiani와 Newton의 작업을 위한 길을 마련했습니다.

반지를 가져와 (또는 더 나은 방법은 필드)

Wiles의 방법의 첫 번째 단계는 타원 곡선과 모듈 형식 사이의 대략적인 일치를 설정하는 것이었습니다. 이 둘은 페어링의 양쪽에서 고유하게 발생하는 일련의 숫자로 인코딩된 Galois 표현을 통해 연결됩니다.

궁극적으로 Galois 표현을 정의하는 숫자가 정확히 일치한다는 것을 보여주고 싶지만 이 첫 번째 단계에서는 일관성 있는 오차 범위만큼 서로 다르다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다. 예를 들어, 3의 배수를 더하거나 빼서 각 숫자에서 해당 숫자로 가져오면 일련의 숫자가 일치한다는 것을 증명할 수 있습니다. 이 점에서 (4, 7, 2)는 (1, 4, 5) 또는 (7, 10, 8)과 일치하지만 (2, 8, 3)과는 일치하지 않습니다. 또한 5, 11 또는 소수의 배수로 다른 경우 일치한다고 말할 수 있습니다(기술적이지만 중요한 이유로 오차 한계는 항상 소수여야 합니다). 2019년 종이 by 패트릭 앨런, 카레 및 잭 손 문제에 대한 이러한 종류의 발판을 제공했습니다.

"그들은 당신이 시작할 수 있는 정리를 증명했습니다."라고 Newton은 말했습니다.

2019년 논문이 진행되고 있을 무렵, 10명의 수학자 그룹이 허수 2019차 필드에 대한 Wiles의 방법 작업의 추가 단계를 만들기 위해 작업하고 있었습니다. 협업은 Institute for Advanced Study에서 보낸 일주일 동안 시작되었으며 XNUMX년 논문의 공동 저자인 Allen과 Thorne, Caraiani와 Newton이 포함되었습니다.

그룹의 첫 번째 목표는 모듈 형식에서 나온 Galois 표현이 일종의 내부 일관성을 가지고 있음을 확립하는 것이 었습니다. 타원 곡선에서 오는 Galois 표현과 일치시키기 위한 전제 조건인 이 속성을 호출합니다. 로컬-글로벌 호환성.

10인의 협업 이 작업을 수행 특별한 경우가 있지만 대부분은 아닙니다. 협력이 끝나자 Caraiani와 Newton은 더 많은 일을 할 수 있는지 알아보기 위해 계속 협력하기로 결정했습니다.

"우리는 같은 시간에 런던에 있었고 10명의 저자 프로젝트에 나타난 것들에 대해 서로 이야기하는 것을 즐겼습니다."라고 Caraiani는 말했습니다. "우리는 무엇이 걸림돌이 되는지, 더 나아가는 데 방해가 되는 것이 무엇인지 알고 있었습니다."

밤마다 어둠 속에서 

Caraiani와 Newton은 자체 작업을 시작한 직후 더 큰 그룹에서 시작한 작업을 넘어서는 전략을 세웠습니다. 분명히 잘못된 것 같지는 않았지만 실제로 작동할지 여부도 몰랐습니다.

"우리는 일이 잘 풀릴 것이라는 낙관적인 생각으로 시작했고, 10명의 저자가 쓴 이 논문보다 조금 더 강력한 것을 증명할 수 있었고 결국 그렇게 했습니다."라고 Newton은 말했습니다.

Caraiani와 Newton은 이 아이디어에 대해 2021년 동안 작업했으며 10년 말에 그들의 낙관론이 성과를 거두었습니다. 그들은 100명의 저자 팀이 만든 로컬-글로벌 호환성 결과를 개선했습니다. 그들은 XNUMX페이지가 넘는 최종 논문의 전반부를 구성하는 긴 기술 섹션에서 방법을 설명합니다.

Caraiani는 "우리는 일단 이 기술적인 부분이 제자리에 있으면 모듈성이 작용할 것이라는 것을 알고 있었습니다."라고 말했습니다.

Wiles의 방법의 첫 번째 단계는 일종의 대략적인 모듈성을 확립하는 것이었습니다. 두 번째 단계는 로컬-글로벌 호환성 결과였습니다. 세 번째 단계는 최소한 적은 수의 곡선이 모듈식이라는 지식을 활용하여 많은 곡선이 모듈식임을 증명하는 것이었습니다. 이 움직임은 소위 모듈성 리프팅 정리로 인해 가능했습니다.

Newton은 "이를 통해 모듈성을 확산할 수 있습니다."라고 말했습니다. “무언가의 모듈성을 알고 있다면 이러한 리프팅을 통해 다른 많은 것의 모듈성을 구출할 수 있습니다. 이 모듈성 속성을 좋은 방식으로 전파합니다.”

비길 데 없는 경기

리프팅 정리를 적용하여 Caraiani와 Newton은 무한히 많은 타원 곡선의 모듈성을 증명할 수 있었지만 여전히 얻을 수 없는 코너 케이스가 있었습니다. 이들은 리프팅 정리에 접근할 수 없게 만드는 고유한 특성을 가진 소수의 타원 곡선군이었습니다.

그러나 그것들이 너무 적었기 때문에 Caraiani와 Newton은 손으로 그것들을 공격할 수 있었습니다. 즉, Galois 표현을 하나씩 계산하여 일치를 시도할 수 있었습니다.

Caraiani는 "거기서 우리는 일부 곡선에서 많은 점을 계산하는 재미를 느꼈습니다."라고 말했습니다.

그 노력은 어느 정도까지는 성공적이었습니다. Caraiani와 Newton은 궁극적으로 유리수를 -1, -2, -3 또는 -5의 제곱근과 결합하여 형성된 필드를 포함하여 가상 XNUMX차 필드의 약 절반에 대해 모든 타원 곡선이 모듈러임을 증명했습니다. 다른 허수 XNUMX차 필드의 경우, 전부는 아니지만 많은 타원 곡선에 대해 모듈성을 증명할 수 있었습니다. (홀드아웃의 모듈성은 열린 질문으로 남아 있습니다.)

그들의 결과는 수학자들이 유리수와 실수에 대해 추구하는 허수 XNUMX차 필드에 대한 타원 곡선에 대한 동일한 기본 질문 중 일부를 조사하기 위한 토대를 제공합니다. 여기에는 Fermat의 마지막 정리의 가상 버전(접근하기 전에 추가 기초 작업이 필요하지만)과 Birch 및 Swinnerton-Dyer 추측의 가상 버전이 포함됩니다.

그러나 수학자들이 어느 곳에서든 진전을 보인다면 Caraiani는 적어도 지금은 그 일에 참여하지 않을 것입니다. 타원 곡선의 모듈성에 대한 수년간의 작업 끝에 그녀는 다른 것을 시도할 준비가 되었습니다.

“한 방향으로 결과가 나오면 항상 그 방향으로만 계속 일하고 싶지는 않습니다.”라고 그녀는 말했습니다. "그래서 이제 좀 더 기하학적인 풍미가 있는 것으로 관심을 전환했습니다."

보정: 2023 년 7 월 6 일
이 기사는 원래 최고 지수가 4 이상인 다항 방정식의 해에 대한 일반 공식이 없다고 말했습니다. 올바른 숫자는 5입니다. 기사가 수정되었습니다.