숫자로 색칠하면 분수의 산술 패턴이 나타납니다.

박사 학위를 시작한 지 XNUMX년 후. McGill University에서 수학을 전공한 Matt Bowen에게는 문제가 있었습니다. "나는 자격 시험을 치렀고 정말 끔찍했습니다."라고 그는 말했습니다. Bowen은 자신의 점수가 자신의 수학적 능력을 반영하지 않는다고 확신했고 그것을 증명하기로 결심했습니다. 지난 가을에 그는 그와 그의 고문과 함께 마르신 사복, 큰 발전을 게시 로 알려진 분야에서 램지 이론.

거의 한 세기 동안 Ramsey 이론가들은 적대적인 상황에서도 수학적 구조가 지속된다는 증거를 수집해 왔습니다. 정수나 분수와 같은 큰 숫자 집합을 분해하거나 네트워크의 지점 간 연결을 조각낼 수 있습니다. 그런 다음 영리한 방법으로 부수거나 잘라서 생성을 피하려고 해도 특정 구조가 불가피하다는 것을 증명하는 방법을 찾습니다.

Ramsey 이론가들은 일련의 숫자를 나누는 것에 대해 이야기할 때 종종 색칠이라는 언어를 사용합니다. 예를 들어 빨간색, 파란색, 노란색 등 여러 색상을 선택합니다. 이제 컬렉션의 모든 숫자에 색상을 할당합니다. 이 작업을 임의로 또는 혼란스럽게 수행하더라도 한정된 수의 다른 색상만 사용하는 한 특정 패턴은 그 수가 매우 많더라도 필연적으로 나타납니다. Ramsey 이론가들은 "단색"인 구조화된 숫자 집합을 검색하여 이러한 패턴을 찾으려고 합니다.

최초의 채색 결과는 19세기 후반으로 거슬러 올라갑니다. 1916년까지 Issai Schur는 양의 정수(자연수라고도 함)를 어떻게 색칠하든 항상 한 쌍의 숫자가 있음을 증명했습니다. x 및 y 그렇게 x, y, 그리고 그들의 합계 x+y 모두 같은 색입니다. 20세기 내내 수학자들은 색칠 문제를 계속 연구했습니다. 1974년, 닐 힌드만 확장된 Schur의 결과 정수의 무한 하위 집합을 포함합니다. Schur의 정리와 마찬가지로 Hindman의 정리는 자연수가 어떻게 색칠되든 상관없이 적용됩니다(유한한 수의 크레용 사용). Hindman의 세트에 있는 이러한 정수는 모두 같은 색상일 뿐만 아니라 이들의 컬렉션을 합산하면 결과도 해당 색상이 됩니다. 이러한 집합은 모든 짝수의 합이 항상 짝수인 것처럼 Hindman의 집합 중 하나에 있는 모든 숫자의 합도 해당 집합에 포함된다는 점에서 짝수와 유사합니다.

"Hindman의 정리는 놀라운 수학 조각입니다."라고 Sabok은 말했습니다. "우리가 영화로 만들 수 있는 이야기입니다."

그러나 Hindman은 그 이상이 가능하다고 생각했습니다. 그는 구성원의 합뿐만 아니라 곱도 포함하는 임의로 큰(그러나 유한한) 단색 집합을 찾을 수 있다고 믿었습니다. 그는 “나는 그것이 사실이라고 수십 년 동안 주장해 왔다”며 “나는 그것을 증명할 수 있다고 주장하지 않는다”고 덧붙였다.

힌드만의 추측

합계를 포기하고 제품이 동일한 색상인지 확인하려는 경우 지수를 사용하여 합계를 제품으로 변환하여 Hindman의 정리를 적용하는 것은 간단합니다(슬라이드 규칙이 수행하는 것처럼).

그러나 합계와 곱을 동시에 다루는 것은 훨씬 더 어렵습니다. “두 사람이 서로 대화하게 만드는 것이 매우 어렵습니다.”라고 말했습니다. 조엘 모레이라, 워릭 대학의 수학자. "덧셈과 곱셈이 어떻게 관련되는지 이해하는 것 - 이것은 거의 모든 수론의 기초입니다."

Hindman이 1970년대에 처음 제안한 더 간단한 버전도 어려운 것으로 판명되었습니다. 그는 자연수의 모든 채색은 다음 형식의 단색 집합을 포함해야 한다고 추측했습니다.x, y, xy, x+y} — 두 개의 숫자 x 및 y, 뿐만 아니라 합계 및 제품. “사람들은 수십 년 동안 이 문제에 대해 진전을 이루지 못했습니다.”라고 Bowen은 말했습니다. "그리고 갑자기 2010년경에 사람들이 그것에 대해 점점 더 많은 것을 증명하기 시작했습니다."

Bowen은 {x, y, xy, x+y} 2016년 대학 XNUMX학기에 Carnegie Mellon University의 교수 중 한 명이 수업 시간에 이 문제를 설명했습니다. Bowen은 단순함에 놀랐습니다. "그게 멋진 것 중 하나인데, 음, 저는 수학을 많이 알지 못하지만 이 정도는 이해할 수 있습니다."라고 그는 말했습니다.

2017년 모레이라 증명 그 당신 항상 원하는 네 가지 요소 중 세 가지를 포함하는 단색 집합을 찾습니다. x, xy및 x + y. 한편 Bowen은 2020학년 때 아무렇지도 않게 질문에 답하기 시작했습니다. 그는 “실제로 문제를 풀지 못했다. "하지만 저는 XNUMX개월 정도마다 다시 방문할 것입니다." 그의 Ph.D. XNUMX년에 자격 시험을 치르면서 그는 노력을 배가했습니다. 며칠 후, 그는 {x, y, xy, x+y} 두 가지 색상의 경우에 대한 추측, Ron Graham이 이미 1970년대에 컴퓨터의 도움으로 증명한 결과입니다.

이러한 성공으로 Bowen은 Sabok과 협력하여 결과를 다양한 색상으로 확장했습니다. 그러나 그들은 곧 기술적 세부 사항에 얽히게 되었습니다. "색상 수가 많으면 문제의 복잡성이 완전히 통제할 수 없게 됩니다."라고 Sabok은 말했습니다. 18개월 동안 그들은 거의 운 없이 스스로를 구출하려고 시도했습니다. "올해 반 동안 우리는 약 백만 건의 잘못된 증명을 받았습니다."라고 Sabok은 말했습니다.

특히 한 가지 어려움으로 인해 두 수학자가 발전하지 못했습니다. 무작위로 두 개의 정수를 선택하면 아마 나눌 수 없을 것입니다. 나눗셈은 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자의 배수인 드문 경우에만 작동합니다. 이것은 극도로 제한적인 것으로 판명되었습니다. 그 깨달음으로 Bowen과 Sabok은 {x, y, xy, x+y} 대신 유리수(수학자들이 분수라고 부름)로 추측합니다. 거기에서 숫자는 포기하고 나눌 수 있습니다.

Bowen과 Sabok의 증명은 관련된 모든 색상이 유리수 전체에 자주 나타날 때 가장 우아합니다. 색상은 여러 가지 방식으로 "자주" 나타날 수 있습니다. 그들은 수직선의 큰 덩어리를 각각 덮을 수 있습니다. 또는 모든 색상을 보지 않고 수직선을 따라 너무 멀리 이동할 수 없다는 의미일 수도 있습니다. 그러나 일반적으로 색상은 이러한 규칙을 따르지 않습니다. 이 경우 색상이 더 자주 나타나는 유리수 내의 작은 영역에 집중할 수 있다고 Sabok은 설명했습니다. "여기서 대부분의 작업이 이루어졌습니다."라고 그는 말했습니다.

2022년 XNUMX월 Bowen과 Sabok은 유리수를 유한한 많은 색으로 색칠하면 {x, y, xy, x+y} 모든 요소가 동일한 색상을 가집니다. “놀랍도록 영리한 증거”라고 말했다. 임레 리더 캠브리지 대학의. “알려진 결과를 사용합니다. 그러나 그것은 그것들을 절대적으로 훌륭하고, 매우 독창적이고, 매우 혁신적인 방식으로 결합합니다.”

많은 질문이 남아 있습니다. 세 번째 번호는 z 다음 합계 및 제품과 함께 컬렉션에 추가됩니까? Hindman의 가장 대담한 예측을 만족시키는 것은 네 번째, 다섯 번째, 그리고 결국 임의로 많은 새로운 숫자를 시퀀스에 추가하는 것을 의미합니다. 또한 유리수에서 자연수로 이동하고 Bowen과 Sabok의 노력을 가로막았던 나눗셈 수수께끼를 우회하는 방법을 찾아야 합니다.

Leader는 Moreira, Bowen 및 Sabok이 모두 문제를 해결하기 위해 노력하고 있으므로 그 증거가 멀지 않을 것이라고 믿습니다. "그 사람들은 일을 하는 새로운 방법을 찾는 데 특히 뛰어난 것 같습니다."라고 그는 말했습니다. "그래서 나는 그들 또는 그들의 동료 중 일부가 그것을 찾을 수 있을 것이라고 다소 낙관합니다."

Sabok은 그의 예측에 더 신중합니다. 그러나 그는 아무것도 배제하지 않습니다. "수학의 매력 중 하나는 증명을 받기 전에 모든 것이 가능하다는 것입니다."라고 그는 말했습니다.