XNUMX학년 졸업생의 역설적 숫자 집합 발견 | 콴타 매거진

수학자들은 불가능해 보이는 것이 존재한다는 것을 증명할 때 기뻐합니다. 그러한 경우는 새로운 증거 에 의해 XNUMX월에 온라인에 게시됨 세드릭 필라테, 옥스퍼드 대학교 대학원 XNUMX학년생.

Pilatte는 분명히 양립할 수 없는 두 가지 속성을 만족하는 집합(숫자 모음)을 만드는 것이 가능함을 증명했습니다. 첫 번째는 세트에 있는 두 쌍의 숫자가 같은 합계가 되지 않는다는 것입니다. 예를 들어 {1, 3, 5, 11}의 두 숫자를 함께 더하면 항상 고유한 숫자가 됩니다. 이와 같이 작은 "Sidon" 집합을 구성하는 것은 쉽지만 요소 수가 증가함에 따라 합이 일치할 가능성도 높아져 집합의 Sidon-ness를 파괴합니다.

두 번째 요구 사항은 집합이 매우 커야 한다는 것입니다. 그것은 무한해야 하고 집합에서 최대 3개의 숫자를 함께 추가하여 충분히 큰 숫자를 생성할 수 있어야 합니다. 세트를 "차수 XNUMX의 점근적 기저"로 만드는 이 속성에는 크고 조밀한 숫자 세트가 필요합니다. "그들은 반대 방향으로 당기고 있습니다." Pilatte가 말했습니다. “Sidon 집합은 작게 제한되고 점근적 기저는 크게 제한됩니다. 그것이 효과가 있을지는 분명하지 않았습니다.”

그러한 집합이 존재하는지 여부에 대한 질문은 수십 년 동안 지속되어 왔습니다. 포즈를 취했다 1993년에 다작의 헝가리 수학자 Paul Erdős와 두 명의 공동 작업자에 의해 작성되었습니다. Erdős가 시돈 집합에 매료된 것은 1932년 당시 이러한 집합의 성장률을 이해하는 데 관심이 있었던 발명가 Simon Sidon과 나눈 대화에서 찾을 수 있습니다. (Erdős는 나중에 Sidon을 "보통 수학자보다 더 미쳤다"고 설명했는데, 거의 확실히 칭찬의 의미였습니다.)

시돈 집합은 정수론, 조합론, 조화 분석 및 암호화를 포함한 다양한 수학적 맥락에서 발생하지만, 얼마나 커질 수 있는지에 대한 단순한 질문은 Erdős가 그의 경력 대부분 동안 숙고한 지속적인 미스터리였습니다. Erdős는 Sidon 세트가 확장하기가 매우 어렵다는 것을 일찍이 깨달았습니다. 1941년 그와 다른 수학자 증명 구성원이 모두 어떤 정수보다 작은 가능한 가장 큰 시돈 집합 N 의 제곱근보다 작아야 합니다. N 더하기 의 네 번째 근에 비례하여 커지는 항 N. (1969년까지 Bernt Lindström은 그것이 $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$보다 작다는 것을 보여줄 것이고 2021년에 또 다른 수학자 그룹 경계를 조였다 $latex sqrt{N}+0.998 곱하기 sqrt[4]{N}$.) 즉, Sidon 세트는 희소해야 합니다.

시돈 집합이 차수 2의 점근적 기저가 될 수 없다는 것은 오랫동안 알려져 왔습니다. 여기서 모든 정수는 최대 두 개의 숫자의 합으로 표현될 수 있습니다. (예를 들어, 홀수는 순서 2의 기초를 형성합니다.) Pilatte가 설명했듯이 이것은 수학자들이 그것을 기록하지 않았다는 것을 보여주기에 너무 간단합니다. 그는 "시돈 시퀀스는 특정 밀도를 초과할 수 없는 반면 차수 2의 점근적 기저는 항상 해당 임계값보다 밀도가 높아 두 속성이 한 번에 유지될 수 없기 때문"이라고 설명했다.

일반적으로 차수 3의 점근적 기저는 Sidon 집합에서 구성될 수 있다고 믿었지만, 이를 증명하는 것은 또 다른 문제였습니다. Pilatte의 고문은 "사람들은 이것이 사실이어야 한다고 믿었습니다"라고 말했습니다. 제임스 메이 너드. "하지만 우리가 사용하던 기술에 어려움이 있었습니다."

Pilatte가 도전하기 전에 약간의 진전이 있었습니다. 2010년 헝가리의 수학자 Sándor Kiss는 보여 Sidon 집합은 차수 5의 점근적 기저가 될 수 있습니다. 충분히 큰 정수는 집합의 최대 2013개 요소의 합으로 쓸 수 있음을 의미하며 XNUMX년 Kiss와 그의 동료 XNUMX명은 증명 차수 4의 점근적 기저에 대한 추측. XNUMX년 후, 스페인 수학자 Javier Cilleruelo 이 결과를 취했다 차수 3+의 점근적 기저인 Sidon 집합을 구성하는 것이 가능함을 증명함으로써 한 단계 더 나아가 e, 충분히 큰 정수를 의미합니다. N 는 시돈 집합의 네 구성원의 합으로 쓸 수 있으며 그 중 하나는 다음보다 작습니다. N^e 임의의 작은 긍정적인 경우 e.

이러한 결과는 Erdős가 개척한 임의의 정수 집합을 생성하고 두 속성을 모두 충족하는 집합을 생성하기 위해 약간 조정하는 것과 관련된 확률적 방법의 변형을 사용하여 얻은 것입니다.

Pilatte는 확률적 방법이 가능한 한 많이 추진되었음을 깨달았습니다. "확률적 방법을 사용하여 차수 4의 기저를 얻을 수 있지만 차수 3의 기저를 얻을 수는 없습니다."라고 그는 말했습니다. "실패할 뿐이야."

그래서 Pilatte는 시돈 집합의 빌딩 블록으로 소수의 로그를 사용하는 절차로 전환하는 다른 방법을 택했습니다. 헝가리 정수 이론가가 개발 임레 루자 및 칠레루엘로, 이 접근 방식은 확률적 방법보다 더 크고 밀도가 높은 Sidon 세트를 생성하며, Pilatte는 Sidon 속성을 준수하는 낮은 차수의 기반을 만드는 데 필요했습니다. 그러나 그 방법은 세계 최고의 전문가들조차 부족한 소수를 가진 시설을 필요로 했다. Pilatte는 "우리가 가진 모든 것 이상으로 소수에 대한 이해가 필요합니다."라고 말했습니다. "그래서 좋지 않았어."

해법을 찾던 중 Pilatte는 예상치 못한 방향으로 가산수 이론에서 벗어나 곡선과 표면과 같은 기하학적 모양과 이를 정의하는 방정식 사이의 관계를 연구하는 수학의 한 분야인 대수 기하학의 세계로 들어갔습니다. Cilleruelo의 아이디어를 사용하여 Pilatte는 숫자를 다항식으로 대체하는 것으로 시작하여 즉시 문제를 더 다루기 쉽게 만들었습니다.

다항식은 항의 합으로 구성된 대수식으로, 각 항은 상수 계수와 음이 아닌 정수 거듭제곱으로 된 하나 이상의 변수의 곱입니다. 용어는 더하기, 빼기 및 곱하기를 사용하여 결합할 수 있습니다. 예를 들어, 3x² + 22x + 35는 항이 3개인 다항식입니다. 다항식을 인수분해한다는 것은 다항식을 다른 단순한 다항식의 곱으로 분해하는 것을 의미합니다. 이 예에서는 XNUMXx² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). 기약 다항식(인수분해할 수 없는 다항식)은 소수와 유사합니다.

변수와 계수의 정수를 바꾸는 것이 이상하게 들릴 수 있지만 생각보다 공통점이 많습니다. "다항식은 정수와 매우 유사하게 작동한다는 것이 밝혀졌습니다."라고 Pilatte의 Oxford 동료는 말했습니다. 토마스 블룸. "나는 그것들을 더하고, 빼고, 곱하고, 나눌 수 있다." 그리고 어떤 면에서 수학자들은 숫자보다 다항식을 훨씬 더 잘 이해합니다. Maynard는 "소수를 사용하면 우리에게 공상 과학 소설처럼 들리는 이 모든 것들은 다항식 세계에서 알려져 있습니다."라고 말했습니다.

를 사용하여 최근 결과 컬럼비아 대학교 수학자에 의해 윌 사윈 산술 진행에서 기약 다항식의 분포에 대해 Pilatte는 Erdős의 제약 조건을 충족시키기 위해 적절한 양의 임의성과 숫자 밀도를 갖는 집합을 구성할 수 있었습니다.

Pilatte는 “매우 기뻤습니다. "여기서 Erdős 문제를 해결한 사람들의 그룹에 합류하고 있는데 재미있습니다."

그러나 그를 가장 기쁘게 하는 것은 그가 해결책에 도달한 놀라운 방법입니다. "대수 기하학의 이러한 매우 심오한 기술이 숫자 집합에 대한 이 단순하고 구체적인 질문에도 사용될 수 있다는 것은 멋진 일입니다."라고 그는 말했습니다.

에르되의 문제는 아마도 관련이 없는 것으로 추정되는 수학 분야 사이의 연관성을 발굴하는 묘한 요령을 가지고 있으며, 수학자들이 답을 찾으려고 노력하는 동안 발견한 것은 종종 답 자체보다 더 의미가 있습니다. Bloom은 "그들은 얼마나 깊은지 기만적이며 Cédric의 솔루션은 이에 대한 좋은 예입니다."라고 말했습니다. "Erdős는 감격했을 것이라고 확신합니다."

보정: ２０２３년 ６월 ２８일
이 문서는 원래 실제로 Sidon 집합이 아닌 Sidon 집합의 예를 제공했습니다. 해당 예시는 삭제되었습니다.