아이작 뉴턴은 그의 관대함 정신으로 유명하지 않았으며 그의 라이벌에 대한 경멸은 전설적이었습니다. 그러나 그의 경쟁자인 Gottfried Leibniz에게 보낸 한 편지에서는 에피스톨라 후부, 뉴턴은 향수를 불러일으키고 거의 친근하게 다가옵니다. 그 책에서 그는 수학을 막 배우기 시작한 학생 시절의 이야기를 들려줍니다. 그는 추측하고 확인하는 과정을 통해 곡선 아래의 면적을 무한한 합과 동일시하는 중요한 발견을 어떻게 했는지 설명합니다. 편지에 있는 그의 추론은 매우 매력적이고 접근하기 쉬워서 어린 아이들이 좋아하는 패턴 추측 게임을 생각나게 합니다.
이 모든 것은 어린 뉴턴이 존 월리스의 책을 읽었을 때 시작되었습니다. 산술 인피니토룸, 17세기 수학의 중요한 작품. 월리스는 파이 값을 결정하는 참신하고 귀납적인 방법을 포함시켰고, 뉴턴도 비슷한 것을 고안하고 싶었습니다. 그는 너비를 조정할 수 있는 '원형 세그먼트'의 면적을 찾는 문제부터 시작했습니다. $라텍스 x$. 이는 $latex y=sqrt{1-x^2}$로 정의된 단위원 아래 영역으로, 0에서 XNUMX까지의 가로 축 부분 위에 있습니다. $라텍스 x$. 이리 $라텍스 x$ 0에서 1 사이의 숫자가 될 수 있으며 1은 원의 반지름입니다. 단위원의 면적은 뉴턴이 잘 알고 있듯이 파이입니다. $라텍스 x=1$, 곡선 아래의 면적은 단위원 $latexfrac{π}{4}$의 XNUMX/XNUMX입니다. 그러나 다른 값의 경우 $라텍스 x$, 아무것도 알려지지 않았습니다.
Newton이 가능한 모든 값에 대해 곡선 아래의 면적을 결정하는 방법을 찾을 수 있다면 $라텍스 x$, 그것은 그에게 파이를 근사하는 전례 없는 수단을 제공할 수 있습니다. 그것이 원래 그의 원대한 계획이었다. 그러나 그 과정에서 그는 훨씬 더 나은 것을 발견했습니다. 복잡한 곡선을 $라텍스 x$.
뉴턴의 첫 번째 단계는 유추에 의한 추론이었습니다. 원형 세그먼트의 영역을 직접 겨냥하는 대신 그는 다음 곡선으로 둘러싸인 유사한 세그먼트의 영역을 조사했습니다.
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton은 정수 거듭제곱이 있는 목록의 곡선 아래 영역(예: $latex frac{0}{2}=0$ 및 $latex frac{2}{2} = 1$)이 계산하기 쉽다는 것을 알고 있었습니다. 대수적으로 단순화하기 때문입니다. 예를 들어,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
마찬가지로,
그러나 원의 방정식($latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$) 또는 XNUMX/XNUMX 거듭제곱을 가진 다른 곡선에 대해서는 그러한 단순화를 사용할 수 없습니다. 그 당시에는 아무도 그들 중 어느 누구도 아래 지역을 찾는 방법을 알지 못했습니다.
다행히도, 정수 거듭제곱이 있는 곡선 아래의 영역은 간단했습니다. $latex y_4=1-2x^2+x^4$ 곡선을 취하십시오. 이러한 함수에 대한 당시 잘 알려진 규칙은 Newton(및 다른 사람)이 해당 영역을 빠르게 찾을 수 있도록 하는 것입니다. 부터의 간격 $라텍스 0$ 에 $라텍스 x$ $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$로 제공됩니다. (Wallis는 귀납법으로 이 규칙을 추측했고 Pierre de Fermat는 결정적으로 증명했습니다.) 이 규칙으로 무장한 Newton은 $latex y_4$ 곡선 아래의 면적이 $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
같은 규칙을 통해 위 목록에서 정수 거듭제곱을 가진 다른 곡선 아래의 면적을 찾을 수 있었습니다. $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, 여기서 $latex n= 0, 1, 2, …$ 곡선 아래 영역에 대해 $latex A_n$를 작성해 보겠습니다. 규칙을 적용하면
$라텍스 A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$라텍스 A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
등등. Newton의 교활한 아이디어는 다른 시리즈에서 볼 수 있는 것을 기반으로 $latexA_1$(원형 세그먼트의 미지의 영역에 대한 시리즈)를 추측하여 간격을 채우는 것이었습니다. 한 가지는 즉시 분명했습니다. 각 $latexA_n$는 단순히 $latex x$로 시작했습니다. 다음과 같이 수식을 수정할 것을 제안했습니다.
$라텍스 A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$라텍스 A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$라텍스 A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
그런 다음, 물음표의 다음 배치를 대체하기 위해 Newton은 $latex x^3$ 용어를 살펴보았습니다. 약간의 라이선스만 있으면 $latexA_0$에도 이러한 0차 항 중 하나가 있음을 알 수 있습니다. $latex A_0 = x-frac{3}{3}x^0$로 다시 쓸 수 있기 때문입니다. Newton은 Leibniz에게 설명하면서 "두 번째 항 $latex frac{3}{3}x^1, frac{3}{3}x^2, frac{3}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^0$ 등은 산술 진행 중이었습니다.”(그는 분자에서 1, 2, 3, 1을 언급했습니다). 이 산술 진행이 간격으로 확장될 수 있다고 생각한 Newton은 알려진 분자와 알려지지 않은 분자의 전체 시퀀스가 $latex frac{2}{0}(1, frac{2}{1)으로 구분된 숫자여야 한다고 추측했습니다. }, 3, frac{2}{2}, 5, frac{2}{3}, 1 …)$ "그러므로 시리즈의 처음 두 항"에 관심을 갖게 되었습니다. 아직 알려지지 않은 $latex A_3$ , $latex A_5$ 및 $latex A_1$ — "$latex x-frac{3}{1}(frac{2}{3}x^1), x-frac{3}{3}(frac {2}{3}x^1), x-frac{3}{5}(frac{2}{3}x^XNUMX)$ 등"
따라서 이 단계에서 $latex A_1$는 다음과 같이 시작해야 한다는 패턴이 Newton에게 제안되었습니다.
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
이것은 좋은 시작이었지만 그에게는 더 많은 것이 필요했습니다. 다른 패턴을 찾는 동안 Newton은 방정식의 분모가 항상 오름차순으로 홀수를 포함한다는 것을 알아차렸습니다. 예를 들어, 분모에 6, 1, 3, 5이 있는 $latex A_7$를 보십시오. 동일한 패턴이 $latex A_4$ 및 $latex A_2$에서 작동했습니다. 충분히 간단합니다. 그 패턴은 분명히 모든 방정식의 모든 분모에서 지속되었습니다.
남은 것은 분자에서 패턴을 찾는 것이었습니다. Newton은 $latex A_2$, $latex A_4$, $latex A_6$를 다시 살펴보고 뭔가를 발견했습니다. $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$에서 그는 $latex x$를 곱한 1과 $latexfrac {1}{1}x^3$ 용어에서 3을 보았습니다(그는 당분간은 음수). $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$에서 그는 1, 2, 1의 분자를 보았습니다. 그리고 $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , 그는 분자 1, 3, 3, 1을 보았습니다. 이 숫자는 누구에게나 친숙할 것입니다. 파스칼의 삼각형, 가장 단순한 삼각형 배열인 파스칼의 삼각형을 연구한 적이 있습니까? 가장 단순한 것은 맨 위에 있는 1부터 시작하여 위의 숫자를 더함으로써 만들어집니다.
뉴턴은 파스칼을 사용하는 대신 이러한 분자를 "숫자 11의 거듭제곱"이라고 불렀습니다. 예를 들어, 112 = 121, 삼각형의 두 번째 행, 113 = 1331, 세 번째입니다. 요즘에는 이 숫자를 이항 계수라고도 합니다. $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$에서와 같이 ($latex a +b$)와 같은 이항식의 거듭제곱을 확장할 때 발생합니다. 이 패턴을 사용하여 Newton은 이제 $latex A_2, A_4, A_6$ 및 기타 모든 짝수 번호를 쉽게 작성할 수 있었습니다. A'에스.
다음으로, 그의 결과를 1/1 거듭제곱과 홀수 첨자로 외삽하기 위해(그리고 마침내 그가 원하는 시리즈인 $latex A_2$에 도달) Newton은 Pascal의 삼각형을 환상적인 새로운 체제로 확장해야 했습니다. 즉, 행 사이의 중간입니다. 외삽을 수행하기 위해 그는 파스칼 삼각형의 주어진 행($latex m$ 행)에서 이항 계수에 대한 일반 공식을 도출한 다음 과감하게 $latex m= frac{1}{XNUMX}$에 연결했습니다. 그리고 놀랍게도 효과가 있었습니다. 그것은 그에게 그가 찾고 있던 시리즈의 분자인 $latexA_XNUMX$를 주었습니다.
다음은 Newton 자신의 말로 라이프니츠가 논증의 이 단계까지 귀납적으로 알아차린 패턴을 요약한 것입니다.
나는 분모 1, 3, 5, 7 등이 산술 진행 중이어서 분자의 수치적 계수들만이 아직 조사가 필요하다는 것을 반성하기 시작했다. 그러나 교대로 주어진 영역에서 이들은 숫자 11의 거듭제곱, 즉 첫 번째 '1'이었습니다. 그런 다음 '1, 1'; 셋째, '1, 2, 1'; 네 번째로 '1, 3, 3, 1'; 다섯 번째로 '1, 4, 6, 4, 1' 등이므로 시리즈의 나머지 숫자가 처음 두 개의 주어진 숫자에서 어떻게 파생될 수 있는지 문의하기 시작했고 두 번째에 $latex m$를 넣는 것을 발견했습니다. 그림, 나머지는 이 급수의 항을 계속해서 곱함으로써 생성됩니다.
$latex frac{m-0}{1} 곱하기 frac{m-1}{2} 곱하기 frac {m-2}{3} 곱하기 frac{m-3}{4} 곱하기 frac {m-4}{5 }$ 등
… 따라서 계열 사이에 급수를 삽입하기 위해 이 규칙을 적용했고, 원의 경우 두 번째 항이 $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$이므로 $latex m=frac{1}{2}$, 발생하는 항은
$latex frac {1}{2} 곱하기 frac{frac{1}{2}-1}{2}$ 또는 $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} 곱하기 frac{frac{1}{2}-2}{3}$ 또는 $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} 곱하기 frac{frac{1}{2}-3}{4}$ 또는 $latex – frac {5}{128}$,무한대로. 내가 원했던 원형 세그먼트의 면적이
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
마지막으로 $latex x=1$를 연결하면 Newton은 $latexfrac{π}{4}$에 대한 무한 합계를 얻을 수 있습니다. 그것은 중요한 발견이었지만, 뉴턴 자신이 이러한 종류의 무한합(지금은 거듭제곱 급수라고 함)에 대한 초기 진출 이후 곧 발견했듯이 무한 합을 통해 파이를 근사하는 더 좋은 방법이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 결국 그는 파이의 처음 15자리 숫자를 계산했습니다.
원형 세그먼트의 문제로 돌아가서 Newton은 원 자체에 대한 방정식(단순히 그 아래 영역이 아님)도 거듭제곱 급수로 나타낼 수 있음을 깨달았습니다. 그가 해야 할 일은 분모를 생략하고 위에 표시된 거듭제곱 급수에서 $latex x$의 거듭제곱을 1로 줄이는 것뿐이었습니다. 따라서 그는 다음과 같이 추측하게 되었습니다.
이 결과가 의미가 있는지 테스트하기 위해 Newton은 이를 자체적으로 곱했습니다.
세부 사항에서 조금 뒤로 물러서서 여기에서 문제 해결에 대한 몇 가지 교훈을 볼 수 있습니다. 문제가 너무 어렵다면 변경하십시오. 너무 구체적으로 보이면 일반화하십시오. Newton은 두 가지를 모두 수행했으며 원래 추구했던 것보다 더 중요하고 강력한 결과를 얻었습니다.
뉴턴은 완고하게 원의 1분의 0에 집착하지 않았습니다. 그는 훨씬 더 일반적인 모양, 너비가 $라텍스 x$인 원형 세그먼트를 살펴보았습니다. $latex x=1$를 고수하는 대신, 그는 $latex x$가 XNUMX에서 XNUMX까지 자유롭게 실행되도록 허용했습니다. 이는 그의 시리즈에서 계수의 이항 특성(파스칼의 삼각형 및 일반화에서 예상치 못한 숫자의 출현)을 드러냈습니다. 뉴턴이 월리스와 다른 사람들이 놓친 패턴을 보게 하십시오. 그런 다음 이러한 패턴을 보고 뉴턴은 거듭제곱 이론을 훨씬 더 광범위하고 일반적으로 발전시키는 데 필요한 통찰력을 얻었습니다.
그의 후기 작품에서 Newton의 거듭제곱 시리즈는 그에게 미적분학을 위한 스위스 군용 칼을 주었습니다. 그것들로 그는 적분을 하고 대수 방정식의 근을 찾고 사인, 코사인 및 로그 값을 계산할 수 있었습니다. 그가 말했듯이 "그들의 도움으로 분석은 거의 모든 문제에 도달할 수 있습니다."
도덕: 문제를 바꾸는 것은 부정 행위가 아닙니다. 창의적입니다. 그리고 그것은 더 큰 것의 열쇠일 수도 있습니다.
