수학자들이 '구형 정육면체'를 만들기 위한 퀘스트를 완료하다

XNUMX세기에 그리스 수학자 알렉산드리아의 파포스는 꿀벌의 "기하학적 사전 생각"을 칭찬했습니다. 벌집의 육각형 구조는 XNUMX차원 공간을 동일한 면적과 최소 둘레의 셀로 분할하는 최적의 방법으로 보였습니다. 즉, 곤충이 생산하는 데 필요한 왁스의 양을 줄이고 건물을 짓는 데 드는 시간과 에너지를 줄일 수 있습니다. 하이브.

또는 Pappus와 다른 사람들이 가설을 세웠습니다. 수천 년 동안 아무도 육각형이 최적이라는 것을 증명할 수 없었습니다. 마침내 1999년 수학자 Thomas Hales가 다른 모양이 더 잘할 수 없다는 것을 보여주었습니다. 오늘날 수학자들은 어떤 모양이 가능한 가장 작은 표면적을 가진 XNUMX차원 또는 그 이상의 차원을 바둑판식으로 배열할 수 있는지 아직 모릅니다.

이 "거품" 문제는 비눗방울(또는 거품)의 거동을 연구하는 물리학자와 결정 구조를 분석하는 화학자, 구형 패킹 배열을 탐구하는 수학자, 효과적인 데이터 처리 기술을 개발하는 통계학자 등 광범위하게 적용되는 것으로 밝혀졌습니다. .

2000년대 중반, 거품 문제의 특정 공식이 이론 컴퓨터 과학자들의 시선을 사로잡았는데, 그들은 놀랍게도 그것이 그들의 분야에서 중요한 공개 문제와 깊이 연결되어 있다는 것을 발견했습니다. 그들은 그 연결을 사용하여 최소 표면적의 새로운 고차원 모양을 찾을 수 있었습니다.

"나는 이 앞뒤를 사랑한다"고 말했다. 아사프 나오르 프린스턴 대학의. “몇몇 오래된 수학은 컴퓨터 과학과 관련이 있습니다. 컴퓨터 과학은 수학에서 그 문제를 갚고 해결합니다. 이럴 때 정말 좋아요.”

그러나 그 모양은 최적이긴 했지만 중요한 것이 빠져 있었습니다. 바로 기하학적 기초였습니다. 컴퓨터 과학의 기술을 사용하여 그 존재가 증명되었기 때문에 실제 형상을 파악하기 어려웠습니다. 그게 나오르와 함께하는 것입니다. 오데드 레게브, New York University의 Courant Institute의 컴퓨터 과학자는 지난 달 온라인에 게시된 증거.

"이야기의 아주 멋진 끝입니다."라고 Regev는 말했습니다.

입방체 폼

수학자들은 거품 문제의 다른 버전을 고려했습니다. 정수 격자라고 하는 것에 따라 공간을 분할할 수만 있는 경우 발생하는 상황을 포함합니다. 해당 버전의 문제에서는 균일한 간격(각각 1단위 떨어져 있음)의 정사각형 배열을 가져와 각 점을 도형의 중심으로 만듭니다. "정육면체" 거품 문제는 이러한 방식으로 공간을 타일링해야 할 때 최소 표면적이 무엇인지 묻습니다.

연구자들은 처음에 매니폴드라고 하는 위상 공간의 속성을 이해하기 위해 이러한 제한을 부과하는 데 관심이 있었습니다. 그러나 이 질문은 데이터 분석 및 기타 응용 프로그램과 관련이 있는 자체 수명을 가졌습니다.

또한 "최적"의 의미를 변경하기 때문에 기하학적으로 흥미롭습니다. 예를 들어 XNUMX차원에서 정육각형은 수평 및 수직 방향으로 정수만큼만 이동할 수 있는 경우 더 이상 평면을 타일링할 수 없습니다. (두 방향 중 한 방향으로 비합리적인 양만큼 움직여야 합니다.)

사각형 수 있습니다. 하지만 그게 최선일까요? 수학자로서 최재경 1989년에 발견되었지만 대답은 '아니오'입니다. 대신 최적의 모양은 한 방향으로 찌그러지고 다른 방향으로 늘어난 육각형입니다. (이러한 육각형의 둘레는 면적이 3.86일 때 약 1입니다. 정사각형의 둘레 4를 능가합니다.)

이러한 차이는 사소해 보일 수 있지만 고차원에서는 훨씬 더 커집니다.

주어진 부피의 모든 모양 중에서 표면적을 최소화하는 것은 구입니다. 처럼 n, 차원의 수가 증가하면 구의 표면적은 제곱근에 비례하여 증가합니다. n.

그러나 구체는 틈을 남기지 않고 공간을 타일링할 수 없습니다. 한편, n-차원 큐브 볼륨 1 캔. 캐치는 표면적이 2라는 것입니다.n, 크기에 정비례하여 성장합니다. 부피 10,000의 1차원 입방체는 20,000의 표면적을 가집니다. 이는 400차원 구체의 대략적인 표면적인 10,000보다 훨씬 큽니다.

그래서 연구원들은 "구형 입방체", 즉 타일로 된 모양을 찾을 수 있는지 궁금해했습니다. n-입방체와 같은 차원 공간이지만 구체처럼 표면적이 천천히 커집니다.

그럴 것 같지 않았습니다. "버블이 공간을 정확히 채우고 이 입방체 그리드의 중앙에 오도록 하려면 입방체 버블을 제외하고 무엇을 사용할지 생각하기 어렵습니다."라고 말했습니다. 라이언 오도넬, Carnegie Mellon University의 이론 컴퓨터 과학자. “정말 큐브가 최고여야 할 것 같습니다.”

우리는 이제 그렇지 않다는 것을 압니다.

어려운 문제의 어려움

수십 년 동안 입방체 거품 문제는 더 높은 차원에서 상대적으로 탐구되지 않았습니다. 이를 발전시킨 최초의 연구원은 기하학 영역이 아니라 이론적 컴퓨터 과학에서 나왔습니다. 그들은 우연히 그것을 발견했고, 그들의 분야에서 핵심 진술로 알려진 것을 증명할 방법을 찾던 중이었습니다. 독특한 게임 추측. Regev는 "독특한 게임 추측은 내가 현재 이론적 컴퓨터 과학에서 가장 큰 공개 질문으로 보는 것"이라고 말했습니다.

2002년 제안 수바시 코트, 당시 대학원생이었던 그는 특정 문제(네트워크의 노드에 색상을 할당하는 것과 관련된 문제)를 정확하게 풀 수 없는 경우 대략적인 솔루션을 찾는 것조차 매우 어렵다고 가정합니다. 만약 사실이라면, 그 추측은 연구원들이 방대한 양의 다른 계산 작업의 복잡성을 한 번에 이해할 수 있게 해줄 것입니다.

컴퓨터 과학자들은 종종 효율적인 알고리즘으로 해결할 수 있는지 또는 "NP-hard"(문제의 크기가 커짐에 따라 효율적으로 해결할 수 없다는 의미)인지 여부에 따라 작업을 분류합니다. 그러나 계산 복잡성에 대한 증명되지 않은 추측은 사실입니다.) 예를 들어 네트워크의 모든 도시를 한 번만 방문하는 데 필요한 최단 경로를 묻는 출장 판매원 문제는 NP-hard입니다. 따라서 그래프(가장자리로 연결된 정점 모음)에 최대 세 가지 색상으로 레이블을 지정하여 연결된 두 정점이 서로 다른 색상을 갖도록 할 수 있는지 여부를 결정합니다.

이러한 많은 작업에 대한 대략적인 해결책조차 찾기가 NP-어려운 것으로 밝혀졌습니다. 몇 가지 제약 조건 목록을 만족하는 방식으로 다른 색상으로 그래프의 꼭지점에 레이블을 지정하려고 한다고 가정해 보겠습니다. 이러한 제약 조건을 모두 충족하는 것이 NP-어려운 경우 90%, 75% 또는 50%만 충족하는 것은 어떻습니까? 어떤 임계값 아래에서는 효율적인 알고리즘을 만드는 것이 가능할 수 있지만 그 임계값을 초과하면 문제가 NP-hard가 됩니다.

수십 년 동안 컴퓨터 과학자들은 관심 있는 다양한 최적화 문제에 대한 임계값을 정하기 위해 노력해 왔습니다. 그러나 일부 질문은 이러한 종류의 설명을 회피합니다. 알고리즘이 최상의 솔루션의 80%를 보장할 수 있지만 최상의 솔루션의 95%를 달성하는 것은 NP-hard일 수 있으므로 정확히 80%에서 95% 사이의 문제 팁이 NP-hard 영역으로 들어가는 문제가 해결되지 않습니다.

고유한 게임 추측 또는 UGC는 답을 즉시 찾아낼 수 있는 방법을 제공합니다. 그것은 처음에는 더 제한적인 것처럼 보이는 진술을 합니다. 거의 모든 특정 색상 제한 집합(예: 99% 이상)을 만족시킬 수 있는 그래프와 거의 만족할 수 없습니다(예: 1% 미만).

그러나 2002년에 UGC가 제안된 직후 연구원들은 추측이 참이면 모든 제약 조건 만족 문제에 대한 경도 임계값을 쉽게 계산할 수 있음을 보여주었습니다. (이는 UGC가 또한 알려진 알고리즘이 이러한 모든 문제에 대해 가능한 최상의 근사치를 달성한다는 것을 암시하기 때문입니다.) “정확히 이러한 모든 최적화 문제의 핵심이었습니다.”라고 O'Donnell은 말했습니다.

그래서 이론적인 컴퓨터 과학자들은 UGC를 증명하기 시작했습니다. 궁극적으로 그들 중 일부는 구형 큐브를 발견하게 된 작업이었습니다.

어려운 문제를 더 어렵게 만들기

2005년에 O'Donnell은 Microsoft Research에서 근무했습니다. 그와 두 동료 — 우리엘 파이기, 현재 Weizmann Institute of Science에서 가이 킨들러, 현재 예루살렘 히브리 대학교에서 — 팀을 이루어 UGC를 해결했습니다.

그들은 어떻게 진행하고 싶은지에 대한 막연한 생각을 가지고 있었습니다. UGC와 매우 유사한 그래프에 대한 질문으로 시작할 것입니다. 소위 최대 컷("max-cut") 문제는 그래프가 주어질 때 정점을 두 세트(또는 색상)로 분할하여 해당 세트를 연결하는 가장자리의 수가 가능한 한 많도록 하는 방법을 묻습니다. (최대 컷은 두 가지 색상으로 그래프를 색칠하는 가장 좋은 방법에 대한 질문으로 생각할 수 있으므로 가능한 한 적은 수의 가장자리가 동일한 색상의 꼭지점을 연결합니다.)

UGC가 참이라면 임의의 그래프가 주어졌을 때 효율적인 근사 알고리즘이 해당 그래프의 실제 최대 컷의 약 87% 내에서만 얻을 수 있음을 의미합니다. 더 잘하는 것은 NP-hard입니다.

대신 Feige, Kindler 및 O'Donnell은 반대 방향으로 가고 싶었습니다. 그들은 최대 컷이 근사하기 어렵다는 것을 보여주고 이를 사용하여 UGC를 증명하기를 바랐습니다. 그들의 계획은 어려운 문제를 더 어렵게 만드는 영리한 전략인 병렬 반복이라는 기술의 강점에 의존했습니다.

해결할 수 있는 문제와 대부분 해결할 수 있는 문제를 구분하는 것이 NP-어려움을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 병렬 반복을 사용하면 이를 기반으로 훨씬 더 강력한 경도 결과를 표시할 수 있습니다. 해결할 수 있는 문제와 거의 풀 수 없는 문제를 구분하는 것도 NP-어려움입니다. Naor는 "이 비직관적이고 심오한 현상은 오늘날 많은 컴퓨터 과학의 핵심입니다."라고 말했습니다.

하지만 문제가 있습니다. 병렬 반복은 항상 컴퓨터 과학자가 원하는 만큼 문제의 어려움을 증폭시키는 것은 아닙니다. 특히 "병렬 반복에 큰 골칫거리를 만드는" max-cut 문제의 측면이 있다고 Regev는 말했습니다.

Feige, Kindler 및 O'Donnell은 두통에도 불구하고 병렬 반복이 작동할 수 있음을 보여주는 데 집중했습니다. "이것은 분석하기가 정말 복잡합니다."라고 말했습니다. 다나 모쉬코비츠, 텍사스 대학교 오스틴의 이론 컴퓨터 과학자. “하지만 이것은 감질나게 가까워 보였습니다. 병렬 반복은 최대 컷에서 고유한 게임으로 연결하는 데 [도움이 되는] 것 같았습니다.”

워밍업으로 연구원들은 Moshkovitz가 "가장 멍청한 최대 컷"이라고 부르는 간단한 최대 컷 사례에 대한 병렬 반복을 이해하려고 노력했습니다. 원 또는 "홀수 주기"를 형성하기 위해 모서리로 연결된 홀수의 정점을 고려하십시오. 인접 정점 쌍이 동일한 색상을 갖지 않도록 각 정점에 두 가지 색상 중 하나로 레이블을 지정하려고 합니다. 이 경우에는 불가능합니다. 한 가장자리는 항상 같은 색상의 정점을 연결합니다. 그래프가 문제의 제약 조건을 충족시키려면 해당 가장자리를 삭제하고 홀수 주기를 "파괴"해야 합니다. 궁극적으로 그래프의 색상을 적절하게 지정하기 위해 삭제해야 하는 전체 가장자리 부분을 최소화하려고 합니다.

병렬 반복을 사용하면 이 문제의 고차원 버전을 고려할 수 있습니다. 이 문제에서는 나타나는 모든 홀수 주기를 끊어야 합니다. Feige, Kindler 및 O'Donnell은 차원의 수가 매우 커짐에 따라 모든 홀수 순환을 끊기 위해 매우 많은 양의 가장자리를 삭제해야 한다는 것을 보여주어야 했습니다. 그것이 사실이라면 병렬 반복이 이 "어리석은 최대 컷" 문제의 어려움을 효과적으로 증폭시킬 수 있음을 의미합니다.

그 때 팀은 흥미로운 우연의 일치를 발견했습니다. 병렬 반복이 원하는 방식으로 작동하는지 여부를 해석하는 기하학적 방법이 있었습니다. 비밀은 입방체 폼의 표면적에 있습니다.

레몬에서 레모네이드까지

거품의 언어로 재작성된 그들의 문제는 구형 입방체가 존재할 수 없다는 것, 즉 정수 격자를 따라 고차원 공간을 입방체보다 훨씬 작은 표면적을 가진 셀로 분할하는 것이 불가능하다는 것을 보여주는 것으로 요약됩니다. (표면적이 클수록 홀수 주기 그래프에서 더 많은 "나쁜" 가장자리를 삭제해야 하는 것과 일치합니다.

"우리는 오, 정말 기묘한 기하학 문제인 것 같았는데, 아마 그게 사실일 거예요, 그렇죠?" 오도넬이 말했다. "우리는 그것이 진정한 답이 되기 위해 정말로 필요했습니다." 그러나 그, Feige 및 Kindler는 그것을 증명할 수 없었습니다. 그래서 그들은 2007년 논문을 발표 UGC 공격을 돕기 위해 이 문제를 어떻게 사용할 계획인지 설명합니다.

얼마 지나지 않아 그들의 희망은 산산조각이 났습니다.

란 라즈병렬 반복에 대한 몇 가지 주요 결과를 이미 입증한 Princeton의 이론 컴퓨터 과학자는 그들의 논문에 흥미를 느꼈습니다. 그는 부분적으로 Feige, Kindler 및 O'Donnell이 발견한 기하학과의 연결 때문에 홀수 주기 문제에 대한 병렬 반복을 분석하기로 결정했습니다.

Raz는 거품 문제로 시작한 것이 아니라 질문의 컴퓨터 과학 버전을 정면으로 공격했습니다. 그는 훨씬 적은 수의 가장자리를 삭제하여 그래프의 모든 홀수 주기를 끊을 수 있음을 보여주었습니다. 즉, 병렬 반복은 이 max-cut 문제의 어려움을 충분히 증폭시킬 수 없습니다. Moshkovitz는 "병렬 반복에서 얻는 매개변수는 정확하게 이를 제공하지 못합니다."라고 말했습니다.

O'Donnell은 "독특한 게임의 어려움을 보여주기 위해 병렬 반복을 사용하려는 우리의 계획은 가장 단순한 경우에도 작동하지 않았습니다."라고 말했습니다. "이런 식으로 전체 계획을 망쳤습니다."

실망스럽기는 하지만 Raz의 결과는 또한 구형 큐브의 존재를 암시했습니다. n-제곱근에 비례하여 크기가 조정된 표면적을 가진 차원 공간 n. O'Donnell은 "우리는 레몬으로 레모네이드를 만들고 병렬 반복 및 불연속 그래프에 대한 이 실망스러운 기술적 결과를 기하학에서 깔끔하고 흥미로운 결과로 바꾸자고 생각했습니다."라고 말했습니다.

그와 Kindler는 컴퓨터 과학자들과 협력하여 아눕 라오 및 아비 위그더슨, 거품 문제로 변환할 수 있을 만큼 기술을 충분히 익힐 때까지 Raz의 증명을 자세히 살펴보았습니다. 2008년에 그들은 구형 큐브는 실제로 가능합니다.

"문제에 대해 추론하는 좋은 방법입니다."라고 말했습니다. 마크 브레이버만 프린스턴. “아름다워.”

그리고 그것은 이야기의 기하학 측면에 대한 질문을 제기했습니다. 병렬 반복에 대한 Raz의 작업을 사용하여 타일링 모양을 구성했기 때문에 Kindler, O'Donnell, Rao 및 Wigderson은 추악하고 Frankenstein과 같은 결과를 얻었습니다. 타일은 지저분하고 움푹 들어간 곳으로 가득 차 있었습니다. 수학적으로 볼록하지 않았습니다. 이것이 그들의 목적에 부합하는 동안 구형 입방체에는 수학자들이 선호하는 속성, 즉 모양을 보다 구체적이고 정의 및 연구하기 쉽고 잠재적인 응용 프로그램에 더 적합하게 만드는 속성이 부족했습니다.

Regev는 "그들의 구조에 대해 매우 만족스럽지 못한 점이 있습니다."라고 말했습니다. “아메바 같아. 당신이 기대하는 것과는 다르게 멋진 타일링 본체입니다.”

그것이 그와 Naor가 찾기 시작한 것입니다.

새장에서 벗어나기

처음부터 Naor와 Regev는 처음부터 시작해야 한다는 것을 깨달았습니다. "부분적으로는 볼록한 물체가 너무 제한적이기 때문에 이전 기술 중 어느 것도 작동할 가능성이 없었습니다."라고 말했습니다. 도르 민저, Massachusetts Institute of Technology의 이론 컴퓨터 과학자.

사실, 볼록성이 너무 제한적이라는 것, 즉 볼록한 구형 입방체는 단순히 존재하지 않는다는 것이 완전히 그럴듯했습니다.

그러나 지난 달 Naor와 Regev는 분할할 수 있음을 증명했습니다. n- 표면적이 구의 표면적에 매우 가까운 볼록한 모양을 가진 정수 좌표를 따른 차원 공간. 그리고 그들은 그것을 완전히 기하학적으로 해냈습니다. 문제를 수학적 뿌리로 되돌렸습니다.

그들은 먼저 큰 장애물을 피해야 했습니다. 입방체 거품 문제는 각 타일이 정수 좌표의 중심에 있어야 합니다. 그러나 정수 격자에서는 일부 점 사이에 매우 짧은 거리가 있으며 이러한 짧은 거리는 문제를 일으킵니다.

1차원 그리드의 한 점을 고려하십시오. 가로 및 세로 방향으로 가장 가까운 지점에서 2 단위 떨어져 있습니다. 그러나 대각선 방향에서 가장 가까운 지점은 $latex sqrt{XNUMX}$ 단위 떨어져 있으며 더 큰 공간에서 불일치가 더 심해집니다. 에서 n-차원 정수 격자에서 가장 가까운 점은 여전히 ​​1 단위 떨어져 있지만 이러한 "대각선" 점은 이제 $latex sqrt{n}$ 단위 떨어져 있습니다. 예를 들어 10,000개의 차원에서 이것은 100 단위만 떨어져 있는 다른 점이 10,000개(각 방향으로 하나씩) 있더라도 임의의 점에 가장 가까운 "대각선" 이웃이 1 단위 떨어져 있음을 의미합니다.

다른 격자에서는 이 두 종류의 거리가 서로 비례하여 커집니다. 수학자들은 수십 년 동안 이러한 격자를 최소 표면적의 볼록한 모양으로 타일링하는 방법을 알고 있습니다.

그러나 정수 격자에서 가장 짧은 거리는 항상 1에 고정됩니다. 이것은 최적의 표면 영역의 멋진 타일을 구성하는 데 방해가 됩니다. Regev는 "그들은 당신을 이 우리에 가두었습니다."라고 말했습니다. "그들은 당신 주변의 모든 것을 매우 빡빡하게 만듭니다."

그래서 Naor와 Regev는 대신 전체의 일부를 고려했습니다. n- 차원 공간. 그들은 여전히 ​​정수 포인트가 풍부할 수 있도록 이 부분 공간을 신중하게 선택했지만 이러한 포인트 중 어느 것도 서로 너무 가깝지 않았습니다.

다시 말해, 그들이 결국 얻은 부분 공간은 수학자들이 이미 최적의 타일링 방법을 알고 있는 유형이었습니다.

그러나 이것은 작업의 절반에 불과했습니다. Naor와 Regev는 공간의 일부가 아닌 전체 공간을 분할해야 했습니다. 얻으려면 n-차원 구형 큐브를 사용하려면 효율적인 타일을 남은 공간의 타일과 곱해야 했습니다(XNUMX차원 정사각형에 XNUMX차원 선분을 곱하여 XNUMX차원 큐브를 얻는 방법과 비슷함). 그렇게 하면 구조물이 원래 공간으로 다시 들어 올려지지만 표면적도 증가합니다.

쌍은 최적이 아닌 나머지 공간의 타일이 표면 영역에 너무 많이 추가되지 않았음을 보여주어야 했습니다. 일단 그렇게하면 공사가 완료되었습니다. (최종 모양의 표면적은 볼록하지 않은 구형 큐브의 표면적보다 약간 더 컸지만 볼록하지 않은 대응물만큼 효율적인 볼록 타일을 찾는 것이 가능할 수 있다고 생각합니다.)

"그들의 증명은 구형 입방체에 대한 이전 작업과 완전히 다릅니다." 노가 알론. “돌이켜 보면 더 자연스러운 증거일 수도 있습니다. 이것은 누군가가 시작해야 할 것입니다.”

Raz는 "일을 다르게 수행할 때 때때로 흥미로운 추가 의미를 발견할 수 있습니다."라고 덧붙였습니다.

다시 불붙은 희망

이러한 의미가 무엇인지는 아직 명확하지 않습니다. 이 작업은 암호화 및 기타 응용 프로그램에서 정수 격자의 잠재적 사용을 활용하지만. 이 문제가 다른 분야와 얼마나 연결되어 있는지를 감안할 때 "다른 문제로 이어질 가능성이 높습니다"라고 Alon은 말했습니다.

현재 컴퓨터 과학자들은 볼록한 결과를 병렬 반복 및 UGC 언어로 해석하는 방법을 보지 못합니다. 그러나 그들은 추측을 증명하기 위해 거품 문제를 사용하려는 원래 계획을 완전히 포기하지 않았습니다. Kindler는 "우리가 직면한 명백한 장벽을 무너뜨리기 위해 시도할 수 있는 다양한 방법이 있습니다."라고 말했습니다.

Braverman과 Minzer는 2020년 재방문 폼. 타일링 모양이 볼록해야 하는 대신 특정 대칭을 준수하여 좌표를 어떻게 뒤집어도 동일하게 보이도록 요청했습니다. (2D에서 정사각형은 작동하지만 직사각형은 작동하지 않습니다. 지금까지 설명한 고차원 구형 큐브도 작동하지 않습니다.) 이 새로운 제약 조건에서 두 사람은 Kindler와 다른 사람들이 15년 전에 희망했던 것을 보여줄 수 있었습니다. 결국 큐브의 표면적보다 훨씬 더 잘할 수는 없습니다.

이것은 다른 종류의 병렬 반복에 해당합니다. 즉, 최대 절단의 가장 단순한 경우를 필요한 만큼 어렵게 만드는 것입니다. 결과가 이 연구 라인에 약간의 희망을 제공하지만 이 버전의 병렬 반복이 모든 최대 절단 문제에 대해 작동하는지 여부는 확실하지 않습니다. Braverman은 "그것은 당신이 끝났다는 것을 의미하지 않습니다."라고 말했습니다. "그냥 당신이 다시 사업을 시작했다는 의미일 뿐입니다."

"기하학에는 많은 잠재력이 있습니다."라고 Minzer는 말했습니다. "그냥 우리가 그것을 충분히 이해하지 못하고 있을 뿐입니다."