개요
2,000여년 전, 그리스 수학자 에라토스테네스는 오늘날에도 수학계에 계속해서 울려 퍼지고 있는 소수를 찾는 방법을 생각해냈습니다. 그의 아이디어는 소수가 아닌 숫자를 점차적으로 "체질"하여 주어진 지점까지의 모든 소수를 식별하는 것이었습니다. 그의 체는 2의 배수(2 자체 제외)를 모두 지운 다음, 3의 배수(3 자체 제외)를 모두 지웁니다. 다음 숫자인 4는 이미 지워졌으므로 다음 단계는 5의 배수를 지우는 것입니다. 살아남는 유일한 숫자는 소수, 즉 약수가 1과 자기 자신뿐인 숫자입니다.
에라토스테네스는 전체 소수 세트에 중점을 두었지만 그의 체의 변형을 사용하여 모든 종류의 특수 기능을 갖춘 소수를 찾을 수 있습니다. 2과 11, 13와 599처럼 601밖에 차이가 나지 않는 "쌍둥이 소수"를 찾고 싶으신가요? 이를 위한 체도 있습니다. 1이나 17처럼 완전제곱수보다 257이 더 큰 소수를 찾고 싶으신가요? 이를 위한 체도 있습니다.
현대의 체는 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)부터 쌍둥이 소수의 쌍이 무한히 많다는 아직 증명되지 않은 쌍둥이 소수 추측에 이르기까지 문제에 대한 정수론의 가장 큰 발전을 촉진했습니다. 헝가리 수학자 Paul Erdös는 1965년에 체법(Sieve Method)이 "아마도 정수론에서 가장 강력한 기본 도구"라고 썼습니다.
그러나 이 힘은 소수가 수직선을 따라 어떻게 분포되는지에 대한 수학자들의 제한된 이해로 인해 제한됩니다. 100과 같은 작은 숫자까지 체를 수행하는 것은 간단합니다. 그러나 수학자들은 숫자가 커질 때 체의 동작을 이해하고 싶어합니다. 그들은 매우 큰 정지 지점까지 체를 통과한 모든 숫자를 나열하기를 바랄 수 없습니다. 그래서 대신에 그들은 그 목록에 몇 개의 숫자가 있는지 추정하려고 합니다.
개요
에라토스테네스의 체의 경우 이 추정치는 정수가 2, 3, 5 등으로 나누어지는 빈도에 따라 달라집니다. 이는 상대적으로 얻기 쉬운 정보입니다. 그러나 쌍둥이 소수의 체와 같이 더 복잡한 체의 경우 중요한 정보는 종종 소수가 다른 숫자로 나눌 때 남겨지는 나머지 부분과 관련됩니다. 예를 들어, 소수를 1으로 나누면 나머지가 3이 되는 경우가 얼마나 자주 있습니까? 아니면 8로 나누면 15이 남나요?
수직선을 따라 밖으로 이동하면 이러한 나머지가 통계적으로 예측 가능한 패턴으로 정착됩니다. 1896년 벨기에 수학자 샤를 장 드 라 발레 푸생(Charles-Jean de la Vallée Poussin)은 나머지가 점진적으로 균일해짐을 증명했습니다. 예를 들어 소수를 1으로 나눈 나머지가 2인지 3인지에 따라 소수를 두 버킷 중 하나에 떨어뜨리면 두 버킷은 결국 거의 같은 수의 소수를 보유하게 됩니다. 그러나 체법의 잠재력을 최대한 활용하려면 수학자들은 양동이가 결국 고르게 되는 것뿐만 아니라 얼마나 빨리 균일해지는지 알아야 합니다.
그것은 어려운 것으로 판명되었습니다. 1960년대와 1980년대에 엄청난 발전이 있은 후, 새로운 발전은 대부분 사라졌습니다. Yitang Zhang이 2013년에 발표한 주목할만한 예외는 다음과 같습니다. 획기적인 증거 유한한 경계보다 서로 더 가까운 소수 쌍이 무한히 많이 있다는 것입니다. 그러나 80년대에 개발된 주요 작업은 XNUMX년 이상 본질적으로 진전이 없었습니다.
이제 주제는 르네상스를 즐기고 있습니다. 시리즈 of 세 서류 옥스퍼드 수학자에 의해 쓰여진 제임스 메이 너드 2020년(그보다 XNUMX년 전) 필즈상을 수상했다, 수학 최고의 영예). Maynard는 소수 잔여물이 버킷에 균일하게 분포되는 속도(때때로 특정 유형의 체와 관련하여)를 포착하는 "분포 수준"이라는 숫자를 분석했습니다. 그는 일반적으로 사용되는 많은 체의 경우 분포 수준이 최소 0.6으로 0.57년대의 이전 기록인 1980을 뛰어넘는다는 것을 보여주었습니다.
Maynard의 연구와 그에 따른 후속 연구는 "해석수 이론에 새로운 생명을 불어넣고 있습니다"라고 말했습니다. 존 프리들랜더 1980년대 발전에 큰 역할을 한 토론토 대학교의 교수입니다. “진정한 부흥이다.”
개요
지난 몇 달 동안 Maynard의 대학원생 중 세 명이 있다 쓴 서류 Maynard와 Zhang의 결과를 모두 확장합니다. 이 논문 중 하나에 의해 자레드 뒤커 리히트만 (현재 스탠포드 대학교 박사후 연구원)은 Maynard의 분포 수준을 약 0.617까지 끌어올렸습니다. 그런 다음 Lichtman은 해당 증가분을 사용하여 주어진 중지 지점까지의 쌍둥이 소수 수와 짝수를 두 소수의 합으로 표현하는 "골드바흐 표현" 수에 대한 향상된 상한을 계산했습니다.
"이 젊은 사람들은 지금 정말 뜨거운 주제가 무엇인지 [에 대해] 후속 조치를 취하고 있습니다."라고 말했습니다. 앤드류 그랜빌 몬트리올 대학교의.
0.6에서 0.617로의 증가는 정수론을 벗어난 사람들에게는 작은 의미로 보일 수 있습니다. 그러나 체 이론에서 Granville은 "때때로 이러한 작은 승리가 파괴적인 결과를 초래할 수 있습니다"라고 말했습니다.
포함 및 제외
체가 어떤 정지 지점까지 제거하는 숫자의 수를 추정하려면 N, 수학자들은 포함/제외라는 것을 기반으로 한 접근 방식을 사용합니다. 이것이 어떻게 작동하는지 보려면 에라토스테네스의 체를 생각해 보십시오. 이 체는 2의 배수를 모두 제거하는 것부터 시작합니다. 이는 XNUMX의 배수 중 약 절반에 해당합니다. N. 다음으로 체는 3의 배수를 모두 제거합니다(최대 숫자의 약 1/3). N. 따라서 지금까지 숫자의 1/2 + 1/3 정도를 제거했다고 생각할 수도 있습니다. N.
하지만 이는 2와 3의 배수(6의 배수)인 숫자를 두 번 계산했기 때문에 초과 계산입니다. 이는 전체 숫자의 약 1/6에 해당합니다. N, 따라서 두 번 계산하는 것을 수정하려면 1/6을 빼서 제거하려는 항목의 누계를 1/2 + 1/3 − 1/6으로 가져와야 합니다.
다음으로 5의 배수로 넘어갈 수 있습니다. 그러면 1/5이 더해집니다. 하지만 1와 10 둘 다 또는 둘 다로 나누어지는 숫자를 과도하게 계산하려면 1/15과 2/5를 빼야 합니다. 3. 그래도 아직 끝나지 않았습니다. 실수로 5, 2, 3로 나누어지는 숫자를 두 번 수정했기 때문에 수정하려면 카운트에 5/1을 더해 누계를 가져와야 합니다. 30/1 + 2/1 − 3/1 + 6/1 − 5/1 − 10/1 + 15/1.
이 과정이 계속됨에 따라 합계는 분모가 점점 더 커지는 분수를 포함하여 점점 더 많은 항을 얻게 됩니다. "약 1/2" 및 "약 1/3"과 같은 근사치의 작은 오류가 너무 많이 쌓이는 것을 방지하기 위해 수 이론가들은 일반적으로 전체 체를 통과하기 전에 덧셈과 뺄셈 과정을 중단하고 만족합니다. 정확한 답 대신 상한과 하한을 사용합니다.
이론적으로는 쌍둥이 소수와 같은 더 멋진 소수 집합에도 비슷한 과정이 적용됩니다. 그러나 쌍둥이 소수와 같은 경우 소수 나머지가 버킷에 얼마나 균등하게 배포되는지 알지 못하면 포함/제외가 작동하지 않습니다.
개요
이를 확인하려면 트윈 프라임 체(twin prime sieve)가 어떻게 작동할 수 있는지 생각해 보세요. 에라토스테네스의 체를 사용하여 다음까지의 모든 소수를 찾는 것부터 시작할 수 있습니다. N. 그런 다음 쌍둥이 소수 쌍의 일부가 아닌 모든 소수를 제거하는 두 번째 체질 작업을 수행합니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 왼쪽에 있는 두 자리 숫자가 소수가 아닌 경우 소수를 걸러내는 것입니다(또는 오른쪽에 있는 두 자리를 볼 수도 있습니다. 두 체 모두 작동합니다). 왼쪽 체를 사용하면 13도 소수이므로 11과 같은 소수는 유지하지만 23은 소수가 아니므로 21과 같은 소수는 지웁니다.
이 체는 먼저 소수 집합을 수직선에서 왼쪽으로 두 칸 이동한 다음 이동된 집합에서 소수가 아닌 숫자(예: 21)를 제거하는 것으로 생각할 수 있습니다. 이동된 집합에서는 3의 배수를 지운 다음 5의 배수 등을 지웁니다. (이동된 세트의 숫자는 첫 번째 숫자를 제외하고 모두 홀수이므로 2의 배수에 대해 걱정할 필요가 없습니다.)
다음은 포함/제외로, 얼마나 많은 숫자를 지웠는지 추정합니다. 에라토스테네스의 체에서 3의 배수를 지우면 전체 숫자의 약 1/3이 제거됩니다. 그러나 이동된 소수의 작은 집합에서는 3의 배수를 지울 때 얼마나 많은 소수가 떨어질지 예측하기가 더 어렵습니다.
임의의 숫자 k 이동된 집합의 값은 일부 소수보다 2 작습니다. 그래서 만약 k 은 3의 배수이고 그에 상응하는 소수입니다. k + 2, 2으로 나눈 나머지는 3입니다. 소수는 1으로 나눈 나머지가 2 또는 3입니다(3 자체는 제외). N 나머지는 1이고 절반은 나머지 2입니다. 이는 체의 이 단계에서 이동된 세트의 숫자 중 대략 절반을 제거한다는 의미입니다(에라토스테네스의 체에서와 같이 1/3 대신). 따라서 포함/제외 합계에 1/2 항을 씁니다.
de la Vallée Poussin 덕분에 우리는 1으로 나눌 때 결국 모든 소수의 절반이 나머지 2이 되고 나머지 절반은 3가 된다는 것을 알게 되었습니다. 그러나 포함/제외를 하려면 나머지 버킷이 균형을 이루는 것을 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 결국 — 당신은 그들이 균형을 이룬다는 것을 알아야 합니다. N. 그렇지 않으면 포함/제외 합계의 "1/2"에 대해 어떤 확신도 가질 수 없습니다. 아마도 수학자들은 소수의 분포에 포함/제외 합계에 필요한 일부 카운트가 훼손되는 이상한 특성이 있다는 점을 XNUMX년 이상 걱정해 왔습니다.
“분배 정리가 없으면 체를 다 쳤을 때 어떤 일이 일어나는지 이해할 수 없습니다.”라고 말했습니다. 테렌스 타오 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스 캠퍼스.
기본적인 웨이포인트
버킷이 얼마나 빨리 고르게 되기 시작하는지에 대한 한 가지 예측은 정수 이론에서 가장 유명한 미해결 문제인 일반화된 리만 가설의 형태로 정수 이론가들에게 제공되었습니다. 이 가설이 사실이라면 우리가 매우 큰 수까지의 모든 소수를 살펴보면 다음과 같은 의미가 됩니다. N그런 다음 소수 나머지는 약 제곱근까지의 제수에 대해 버킷에 균등하게 분배됩니다. N. 예를 들어, 1조 미만의 소수를 보고 있는 경우 소수를 120, 7,352, 945,328(약 1만 미만의 제수)로 나누면 나머지 버킷에 고르게 분포될 것으로 예상할 수 있습니다. 1조의 제곱근). 수학자들은 일반화된 리만 가설이 소수의 분포 수준이 적어도 1/2이라고 예측한다고 말합니다. N ~이다 N1/2.
개요
이 가설이 정확하다면 최대 1조 개까지 체질할 때 2의 배수, 3, 5의 배수를 지울 수 있으며 포함/제외 합계가 약 1에 대한 제수를 포함하기 시작할 때까지 계속 진행할 수 있습니다. 백만 — 그 지점을 넘어서면 합계의 조건을 계산할 수 없습니다. 1900년대 중반 정수론자들은 “일반화된 리만 가설이 옳다면…
그러나 이러한 결과의 대부분은 실제로 일반화된 리만 가설의 완전한 힘을 필요로 하지 않았습니다. 소수가 모든 단일 약수 대신 거의 모든 약수에 대해 버킷에 잘 분포되어 있다는 것을 아는 것만으로도 충분할 것입니다. 1960년대 중반, 엔리코 봄비에리 그리고 Askold Vinogradov 따로 따로 관리 이를 증명하기 위해: 버킷이 거의 모든 약수에 대해 균일하다는 것을 아는 것에 만족한다면 소수는 최소한 1/2의 분포 수준을 갖습니다.
아직도 널리 사용되고 있는 봄비에리-비노그라도프 정리는 이전에 증명되지 않은 일반화된 리만 가설에 의존했던 많은 결과를 즉시 입증했습니다. Tao는 “이것은 일종의 분포 정리의 최적 표준입니다.”라고 말했습니다.
그러나 수학자들은 소수 분포의 실제 수준이 훨씬 더 높다고 오랫동안 의심해 왔으며 수치적 증거도 제시했습니다. 1960년대 후반, 피터 엘리엇 그리고 하이니 할버스탐 추측 소수의 분포 수준은 1보다 약간 낮은 수준입니다. 즉, 큰 숫자까지의 소수를 보는 경우 큰 숫자와 크기가 매우 가까운 제수에 대해서도 버킷에 고르게 분포되어야 합니다. . 그리고 이러한 큰 제수는 초과 계산을 수정할 때 나타나기 때문에 포함/제외를 수행할 때 중요합니다. 따라서 수학자들이 Elliott와 Halberstam이 예측한 분포 수준에 가까워질수록 포함/제외 합계에서 더 많은 항을 계산할 수 있습니다. Elliott-Halberstam 추측을 증명하는 것은 "꿈"이라고 Tao는 말했습니다.
그러나 오늘날까지 봄비에리-비노그라도프 정리가 달성하는 전체 일반성 수준에서 1/2 수준의 분포를 이길 수 있는 사람은 아무도 없습니다. 수학자들은 이 걸림돌을 소수에 대한 "제곱근 장벽"이라고 부르기로 했습니다. Lichtman은 이 장벽이 "우리가 소수를 이해하는 데 있어 근본적인 일종의 중간 지점"이라고 말했습니다.
새로운 세계 기록
그러나 많은 체 문제의 경우 소수가 버킷으로 분할되는 방식에 대한 정보가 불완전하더라도 진전을 이룰 수 있습니다. 쌍둥이 소수 문제를 생각해 보세요. 왼쪽의 두 번째 자리가 3, 5, 7로 나누어지면 소수를 걸러내는 것은 소수 자체를 2, 3, 5로 나눌 때 나머지가 7인지 묻는 것과 같습니다. 즉, 소수가 이러한 제수 중 하나에 대해 "2" 버킷에 속하는지 여부입니다. 따라서 소수가 이러한 제수에 대한 모든 버킷에 균등하게 분포되어 있는지 여부를 알 필요가 없습니다. 각 "2" 버킷에 우리가 기대하는 소수의 수가 있는지 여부만 알면 됩니다.
1980년대에 수학자들은 하나의 특정 버킷에 초점을 맞춘 분포 정리를 증명하는 방법을 알아내기 시작했습니다. 이 작업은 다음과 같이 마무리되었습니다. 1986 용지 봄비에리(Bombieri), 프리들랜더(Friedlander) 및 헨리크 이와니에츠 이는 모든 체에 대한 것이 아니라 다양한 종류의 단일 버킷에 대해 분포 수준을 4/7(약 0.57)까지 높였습니다.
봄비에리-비노그라도프 정리와 마찬가지로 1980년대에 개발된 아이디어 체계는 다양한 응용 분야를 찾았습니다. 가장 주목할만한 점은 거대한 뛰어 넘다 페르마의 마지막 정리에 대한 수학자들의 이해에서 방정식은 다음과 같습니다. an + bn = cn 어떤 지수에 대해서도 자연수 해법이 없습니다. n (이것은 나중에 분포 정리에 의존하지 않는 기술을 사용하여 2년에 증명되었습니다.) 그러나 1994년대의 흥분 이후 수십 년 동안 소수의 분포 수준에는 거의 진전이 없었습니다.
그러다가 2013년에 Zhang은 Bombieri, Friedlander 및 Iwaniec과 다른 방향으로 제곱근 장벽을 극복하는 방법을 알아냈습니다. 그는 1980년대 초부터 오래되고 유행에 뒤떨어진 방법을 파헤쳐 봄비에리와 비노그라도프의 1/2 분포 수준에서 가장 작은 개선점을 찾아냈습니다. 이 상황에서 큰 소인수가 없는 "부드러운" 숫자로만 체질하는 상황이었죠. . 이 작은 개선으로 Zhang은 오랜 추측을 증명하다 수직선을 따라 밖으로 나가면 고정된 경계보다 서로 더 가까운 소수 쌍을 계속 만나게 될 것입니다. (이후 Maynard와 Tao는 각각 별도로 생각해낸 향상된 분배 수준이 아닌 향상된 체를 사용하여 이 정리의 또 다른 증거입니다.)
Zhang의 결과는 대수기하학 세계에 존재하는 리만 가설의 버전을 바탕으로 이루어졌습니다. 한편 Bombieri, Friedlander 및 Iwaniec의 작업은 Maynard가 리만 가설의 자체 버전을 가지고 있는 자동 형태라고 불리는 객체에 대한 "다소 마술적인 연결"이라고 부르는 것에 의존했습니다. 자동형 형태는 고도로 대칭적인 객체이며 Tao는 "강력한 숫자 끝 이론"에 속한다고 말합니다.
몇 년 전 Maynard는 두 가지 방법의 통찰력을 결합하여 더 많은 결과를 얻을 수 있다고 확신하게 되었습니다. Granville이 "역작"이라고 명명한 2020년 세 편의 논문 시리즈에서 Maynard는 Bombieri, Friedlander 및 Iwaniec이 연구한 것보다 약간 더 좁은 맥락에서 분배 수준을 3/5, 즉 0.6까지 끌어올렸습니다. .
이제 Maynard의 학생들은 이러한 기술을 더욱 발전시키고 있습니다. 리히트만 최근에 알아낸 Maynard의 분포 수준을 약 0.617로 확장하는 방법. 그런 다음 그는 이 증가를 쌍둥이 소수와 두 소수의 합으로 짝수의 골드바흐 표현의 개수에 대한 새로운 상한선으로 해석했습니다. 후자의 경우, 고전 봄비에리-비노그라도프 정리에서 1/2 이상의 분포 수준을 사용할 수 있었던 것은 이번이 처음입니다.
Maynard의 또 다른 학생은 알렉산드루 파스카디,있다 0.617 수치와 일치 소수가 아닌 매끄러운 숫자의 분포 수준에 대한 것입니다. 소수와 마찬가지로 매끄러운 숫자는 정수론 전반에 걸쳐 등장하며, 소수의 분포 수준과 분포 수준에 대한 결과는 종종 서로 밀접하게 연관되어 있습니다.
그 사이 세 번째 학생은 줄리아 슈타들만,있다 유통수준을 높였다 Zhang이 연구한 환경에서 소수는 제수(나누는 숫자 대신)가 매끄러운 숫자입니다. Zhang은 제곱근 장벽을 간신히 돌파했습니다. 이러한 맥락에서 배포 수준이 0.5017에 도달한 다음 Polymath 프로젝트라는 온라인 협업이 이루어집니다. 그 숫자를 올렸어 0.5233; Stadlmann은 이제 이를 0.525로 인상했습니다.
다른 수학자들은 분석수 이론가들이 작은 수치적 발전에 집착한다고 놀린다고 Tao는 말했습니다. 그러나 이러한 작은 개선은 문제의 숫자 이상의 의미를 갖습니다. "100초에서 3.96초를 단축하는 3.95미터 달리기와 같습니다."라고 그는 말했습니다. 각각의 새로운 세계 기록은 "당신의 방법이 얼마나 발전했는지에 대한 벤치마크"입니다.
전반적으로 “기술이 더욱 명확해지고 통일되어 가고 있습니다”라고 그는 말했습니다. "한 가지 문제에 대한 진전이 있으면 이를 다른 문제에 어떻게 적용할 수 있는지가 분명해지고 있습니다."
아직 이러한 새로운 개발에 대한 폭탄적인 적용은 없지만 새로운 작업은 "우리가 생각하는 방식을 확실히 변화시킵니다"라고 Granville은 말했습니다. "이것은 단순히 못을 세게 두드리는 것이 아니라 실제로 더 업그레이드된 망치를 얻는 것입니다."
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