까다로운 수학적 타일링의 간략한 역사 | 콴타 매거진

매일 우리는 반복되는 모티프의 예를 봅니다. 이러한 대칭성과 규칙성은 건물 벽의 벽돌이나 벌집의 육각형 패턴처럼 평범하고 거의 눈에 띄지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 또는 운이 좋게도 스페인 알함브라 궁전의 우아한 타일 작품이나 MC Escher의 창의적인 그림과 같은 것을 접하게 된다면 그 패턴은 우리에게 영감을 주고 놀라게 할 수 있습니다.

수세기 동안 수학자들은 이러한 반복되는 모양을 가지고 놀면서 흥미로운 통찰력과 새로운 가능성을 끌어내었습니다. 수학의 아름다움은 디자인 자체의 아름다움과 맞먹습니다.

가장 단순한 타일링은 변의 길이가 같고 각도도 동일하며 전체 가장자리와 전체 가장자리가 결합된 동일한 다각형으로 구성됩니다. 그러나 이러한 "정규" 다각형은 무한히 많지만(각 변의 수에 하나씩) XNUMX개, XNUMX개 또는 XNUMX개의 변이 있는 모양, 즉 삼각형, 정사각형 및 육각형으로 구성된 정다각형 타일링은 XNUMX개뿐입니다.

다른 모양은 이를 위해 만들어지지 않았습니다. 정오각형(108개의 변이 있음)의 내각은 360도입니다. 이는 XNUMX도로 균등하게 분할되지 않으므로 정오각형을 타일링으로 조립하려는 시도는 채워질 수 없는 간격을 생성하게 됩니다. 우리는 정오각형이 평면을 타일링할 수 없다고 말합니다. 그리고 XNUMX개 이상의 변을 가진 정다각형은 내각이 너무 커서 세 개가 한 점에서 만날 수 없으므로 둘 중 하나도 만날 수 없습니다.

정다각형 타일링에 대한 또 다른 해석은 오늘날 행성 운동에 대한 발견으로 가장 잘 알려진 요하네스 케플러(Johannes Kepler)에게서 나왔습니다. 1619년에 그는 하나 이상의 정다각형을 사용하더라도 각 꼭지점 주위의 구성이 동일한 XNUMX개의 새로운 타일링 패턴만 만들 수 있음을 보여주었습니다. (이 제한에서 벗어날 수 있다면 더 많은 가능성이 있습니다.)

불규칙한 다각형을 허용하면 상황이 더욱 흥미로워집니다. 놀랍게도 모든 삼각형은 평면을 타일링할 수 있으며 더욱 놀랍게도 모든 사변형도 마찬가지입니다.

반면에 XNUMX개 이상의 변이 있는 볼록 다각형으로 평면을 타일링하는 것은 불가능합니다. 내각의 합이 너무 큽니다. 따라서 남은 가능성은 오각형과 육각형만 남습니다.

1918년 박사 학위 논문에서 칼 라인하르트(Karl Reinhardt)는 무한히 많은 볼록한 육각형(움푹 들어간 부분이 없는 육각형)으로 평면을 타일링하는 것이 가능하다는 것을 증명했으며 이를 세 그룹으로 분류했습니다.

평면을 타일로 덮는 볼록한 오각형은 분류하기가 더 까다롭습니다. 라인하르트는 그러한 오각형의 50개 계열을 발견했습니다. 1975년 후 Richard Kershner는 세 개를 더 발견했습니다. 그러다가 XNUMX년에 마틴 가드너(Martin Gardner)는 다음과 같은 문제에 대해 글을 썼습니다. 과학적인 미국, 전문 수학자와 아마추어 수학자 모두의 관심을 끌었습니다. 그러한 아마추어 중 한 명인 Richard James III라는 컴퓨터 프로그래머는 Gardner에게 아홉 번째 가족의 ​​예를 보내면서 "Kershner가 이 가족을 놓쳤다는 데 동의하십니까?"라고 물었습니다. 그는 가졌다.

주부인 마조리 라이스(Marjorie Rice)도 가드너의 칼럼을 읽고 식탁에서 발생한 문제에 대해 의아해하기 시작했습니다. 그녀는 XNUMX년 넘게 고민하다가 발견했습니다. 네 가족이 더 있어요 타일링 오각형의.

연구자들은 14년에 타일링 오각형의 1985번째 계열을 발견했고, 15년 후 다른 팀은 컴퓨터 검색을 사용하여 2017번째 계열을 발견했습니다. 이 발견으로 목록이 완성되었는지, 아니면 아직 숨어 있는 가족이 더 있는지는 아무도 몰랐습니다. 이 질문은 XNUMX년에 Michaël Rao가 대답했습니다. 증명 모든 볼록 타일링 오각형과 모든 볼록 타일링 다각형이 발견되었습니다.

이 타일링은 모두 반복됩니다. 즉, 그들은 주기적인 대칭을 가지고 있습니다. 이는 기본적으로 종이 조각의 타일링을 추적하고 해당 종이를 특정 방향으로 밀어 넣으면 타일링과 정확히 다시 정렬된다는 것을 의미합니다.

다른 종류의 대칭도 가능합니다. 예를 들어, 거울 대칭은 고정된 선을 중심으로 트레이싱 페이퍼를 거꾸로 뒤집으면 패턴이 정렬된다는 것을 의미합니다. 회전 대칭은 종이를 회전하면 정렬된다는 것을 의미합니다. 그리고 동작을 결합하여 활공 반사 대칭을 얻을 수 있습니다. 이는 종이를 밀었다가 뒤집는 것과 같습니다.

1891년에 러시아의 결정학자 예브그라프 페도로프(Evgraf Fedorov)는 이러한 대칭이 결합될 수 있는 방법이 17가지뿐이라는 것을 증명했습니다. 이 제한은 평면의 모든 주기적인 장식에 적용되므로 이를 17개의 "벽지 그룹"이라고 널리 부릅니다.

이러한 대칭 패턴 분류에 익숙해지면 아무리 복잡하더라도 주기적인 디자인을 보는 것이 거의 불가능하며 이를 해독해야 할 퍼즐로 보지 않습니다. 정확히 어디서, 어떻게 반복됩니까? 그 대칭은 어디에 있습니까?

물론 모든 타일링 디자인이 주기적이지는 않습니다. 결과 디자인이 반복되지 않도록 평면에 타일을 배치하는 것이 가능하며 종종 쉽습니다. 육각형, 정사각형, 삼각형이 있는 예에서는 단일 육각형과 이를 둘러싼 다각형을 30도 회전하면 됩니다. 결과 타일링에는 더 이상 병진 대칭이 없습니다.

1961년에 논리학자 왕하오(Hao Wang)는 일련의 도형이 평면을 타일링하면 도형이 주기적으로 평면을 타일링할 수 있어야 한다고 추측했습니다. 불과 몇 년 후, 그의 대학원생인 로버트 버거(Robert Berger)는 평면을 타일로 덮고 있는 20,000개 이상의 거대한 타일 세트를 발견함으로써 그의 생각이 틀렸다는 것을 증명했습니다. 그러나 이는 비주기적으로만 가능했습니다. 이러한 타일 세트를 비주기적이라고 합니다.

Berger와 다른 사람들은 이러한 비주기 타일의 크기를 크게 줄일 수 있었지만 1970년대 중반 Roger Penrose는 자신의 비주기 타일의 아주 작은 세트를 발견하여 세계의 주목을 받았습니다. 가장 작은 세트에는 타일 두 개만 필요합니다.

이러한 모양과 패턴은 수학자, 과학자, 일반 대중의 마음을 사로잡았습니다. 그러나 그들은 다음과 같은 명백한 질문을 제기했습니다. 단일 비주기 타일이 있습니까? 타일링 이론의 궁극적인 탐구는 이제 물리학자의 이름을 딴 것이 아니라 독일 어구인 "one Stone"의 이름을 딴 "아인슈타인" 타일을 찾는 것이었습니다.

2010년에 조슈아 소콜라(Joshua Socolar)와 조안 테일러(Joan Taylor)는 아인슈타인을 발견하는 데 아주 가까이 다가갔습니다. 그들의 접근 방식의 문제는 다음과 같습니다. 타일을 분리해야 했어요; 이는 캘리포니아처럼 연결된 모양이 아니라 별도의 지역으로 구성된 단일 개체인 하와이 주와 같은 모양으로 평면을 타일링하는 것과 같습니다. 점점 더 많은 수학자들은 아인슈타인이 존재한다면 그것은 기하학적으로 매우 복잡한 것일 것이라고 의심했습니다.

2023년 XNUMX월, 또 한 아마추어가 세상을 놀라게 했습니다. 은퇴한 인쇄 기술자이자 수학 애호가인 데이비드 스미스(David Smith)는 단 하나의 비주기적 단분위수뿐만 아니라 무한한 가족 이 찾기 어려운 아인슈타인 중 하나입니다. 그는 Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss 및 Joseph Samuel Myers(컴퓨터 과학, 수학 및 타일링 이론 전문가)를 반복하여 함께 모자 타일(인터넷에서는 티셔츠처럼 생겼다고 생각함)이라는 기하학적으로 단순한 아인슈타인을 제시했습니다. ).

반응은 빠르고 긍정적이었습니다. 발견자들은 회의에서 연설하고 온라인으로 연설했습니다. 수학 예술가들은 기하학적으로 흥미로운 새로운 타일을 기반으로 Escher와 같은 디자인을 제작할 수 있는 창의적인 방법을 찾을 기회에 뛰어들었습니다. 모자 타일은 한 심야 TV 쇼의 독백에도 등장했습니다.

그러나 아직 개선의 여지가 있었습니다. 모자로 평면을 타일로 만들려면 타일의 약 XNUMX분의 XNUMX을 거꾸로 뒤집어야 합니다. 모자 타일로 욕실을 타일로 마감하려는 주택 소유자는 두 가지 유형의 타일, 즉 표준 타일과 거울 이미지를 구입해야 합니다. 이것이 정말로 필요했는가?

모자타일의 설렘이 식기도 전에 팀은 또 다른 발표를 했다. 스미스는 비주기적 단일타일의 무한한 계열에서 반사 복사본 없이도 평면을 타일링할 수 있는 "유령"이라고 부르는 것을 발견했습니다. 드디어 진정한 아인슈타인이 나타났습니다.

우리는 이제 타일링과 테셀레이션에 대한 수학적 탐구가 다시 부활하고 있는 시기에 있습니다. 아마추어의 중요한 기여에 의존하고, 수학적 예술가의 창의성에 영감을 주며, 컴퓨터의 힘을 활용하여 지식의 경계를 넓혀왔습니다. 그리고 이를 통해 우리는 대칭, 기하학 및 디자인의 본질에 대한 새로운 통찰력을 얻었습니다.

보정: 2023 년 10 월 30 일
이 기사의 원본 버전에서는 면이 XNUMX개보다 많은 다각형으로 평면을 타일링하는 것이 불가능하다고 명시했습니다. 이는 다각형이 볼록한 경우에만 해당됩니다.

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