기원전 XNUMX세기 아르키메데스 제기 그는 진정으로 현명한 사람만이 풀 수 있는 소 몰이에 관한 수수께끼라고 주장했습니다. 그의 문제는 궁극적으로 다음과 같이 쓸 수 있는 두 제곱 항의 차이를 포함하는 방정식으로 요약됩니다. x2 - dy2 = 1. 여기서, d 는 정수(양수 또는 음수 계산)이며 아르키메데스는 x 와 y 도 정수입니다.
Pell 방정식이라고 하는 이 종류의 방정식은 그 이후로 수천 년 동안 수학자들을 매료시켰습니다.
몇 세기 후 아르키메데스, 인도 수학자 브라마굽타, 그리고 나중에 수학자 바스카라 1600세가 이러한 방정식에 대한 정수 해를 찾는 알고리즘을 제공했습니다. XNUMX년대 중반, 프랑스 수학자 피에르 드 페르마(그 연구를 알지 못했던)는 어떤 경우에는 d 에 상대적으로 작은 값, 가능한 가장 작은 정수 솔루션이 할당되었습니다. x 와 y 거대할 수 있습니다. 그가 라이벌 수학자들에게 일련의 도전 문제를 보냈을 때, 그들은 방정식을 포함했습니다. x2 - 61y2 = 1, 가장 작은 해가 10자리 또는 XNUMX자리입니다. (아르키메데스의 경우 그의 수수께끼는 본질적으로 방정식에 대한 정수 솔루션을 요구했습니다. x2 - 4,729,494y2 = 1. "가장 작은 솔루션을 인쇄하려면 50페이지가 필요합니다."라고 말했습니다. 피터 코이만스, 미시간 대학의 수학자. "어떤 의미에서 아르키메데스의 거대한 트롤이다.")
그러나 Pell 방정식에 대한 솔루션은 훨씬 더 많은 것을 할 수 있습니다. 예를 들어, 무리수인 $latex sqrt{2}$를 정수의 비율로 근사하려고 한다고 가정해 보겠습니다. Pell 방정식을 풀면 x2 - 2y2 = 1이 도움이 될 수 있습니다. $latex sqrt{2}$(또는 더 일반적으로 $latex sqrt{d}$)는 다음 형식의 일부로 솔루션을 다시 작성하여 잘 근사할 수 있습니다. x/y.
아마도 더 흥미로운 점은 이러한 솔루션은 수학자들이 고리라고 부르는 특정 숫자 체계에 대한 정보도 제공한다는 것입니다. 이러한 숫자 체계에서 수학자들은 $latex sqrt{2}$를 정수에 연결할 수 있습니다. 고리에는 특정 속성이 있으며 수학자들은 이러한 속성을 이해하기를 원합니다. Pell 방정식은 그렇게 하는 데 도움이 될 수 있습니다.
그래서 "많은 유명한 수학자들 - 일정 기간 동안 거의 모든 수학자들이 - 이 방정식이 얼마나 단순한지 실제로 이 방정식을 연구했습니다"라고 말했습니다. 마크 슈스터만, 하버드 대학의 수학자. 그 수학자에는 페르마, 오일러, 라그랑주, 디리클레가 포함됩니다. (John Pell은 그다지 많지 않습니다. 방정식은 그의 이름을 따서 잘못 명명되었습니다.)
이제 코이만스와 카를로 파가노몬트리올에 있는 Concordia University의 수학자 수십 년 된 추측을 증명했습니다 Pell 방정식과 관련하여 방정식의 특정 형식이 정수 솔루션을 갖는 빈도를 수량화합니다. 그렇게 하기 위해 그들은 다른 분야(집단 이론)에서 아이디어를 가져오는 동시에 그 분야의 핵심적이지만 신비한 연구 대상에 대한 더 나은 이해를 얻었습니다. "그들은 정말 깊고 아름다운 아이디어를 사용했습니다."라고 말했습니다. 앤드류 그랜빌, 몬트리올 대학의 수학자. "그들은 정말로 그것을 못 박았다."
깨진 산술
초기 1990에서는, 피터 스티븐하겐네덜란드 라이덴 대학교(Leiden University)의 수학자 인 는 Pell 방정식과 그룹 이론 사이의 연결에서 영감을 받아 이 방정식이 정수 솔루션을 갖는 빈도에 대한 추측을 했습니다. 그러나 "나는 그것이 곧 증명될 것이라고 기대하지 않았습니다."라고 그는 말했습니다. 사용 가능한 기술이 문제를 공격할 만큼 강력하지 않은 것 같습니다.
그의 추측은 고리의 특정 기능에 달려 있습니다. 예를 들어 $latex sqrt{-5}$가 정수에 추가된 숫자의 고리에서(수학자들은 종종 $latex sqrt{-5}$와 같은 "허수" 숫자로 작업함) 두 가지 뚜렷한 방법이 있습니다. 숫자를 소인수로 나눕니다. 예를 들어 숫자 6은 2 × 3뿐만 아니라 (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$)로도 쓸 수 있습니다. 결과적으로 이 고리에서 고유한 소인수 분해(정규 정수에서는 사실상 당연하게 여겨지는 산술의 중심 교리)가 무너집니다. 이것이 발생하는 정도는 클래스 그룹이라고 하는 해당 링과 관련된 객체에 인코딩됩니다.
수학자들이 관심 있는 숫자 시스템(예: 정수에 연결된 $latex sqrt{2}$)에 대해 더 깊은 통찰력을 얻으려고 시도하는 한 가지 방법은 해당 클래스 그룹을 계산하고 연구하는 것입니다. 그러나 클래스 그룹이 이러한 모든 다른 숫자 체계에서 어떻게 행동하는지에 대한 일반적인 규칙을 정의하는 것은 거의 불가능할 정도로 어렵습니다.
1980년대에 수학자들은 헨리 코헨 와 헨드릭 렌스트라 이러한 규칙이 어떻게 생겼는지에 대한 광범위한 추측을 제시합니다. 이러한 "Cohen-Lenstra 휴리스틱"은 클래스 그룹에 대해 많은 것을 알려줄 수 있으며, 클래스 그룹은 기본 숫자 시스템의 속성을 보여주어야 합니다.
단 하나의 문제가 있었습니다. 많은 계산이 Cohen-Lenstra 휴리스틱을 지원하는 것처럼 보이지만 여전히 증명이 아니라 추측입니다. "정리에 관한 한, 아주 최근까지 우리는 거의 아무것도 알지 못했습니다." 알렉스 바텔, 글래스고 대학의 수학자.
흥미롭게도 클래스 그룹의 일반적인 동작은 Pell 방정식의 동작과 불가분의 관계로 얽혀 있습니다. Pagano는 한 문제를 이해하면 다른 문제를 이해하는 데 도움이 됩니다. Stevenhagen의 추측은 "Cohen-Lenstra 휴리스틱에서 어떤 진전이 있었든 테스트 문제였습니다."라고 Pagano는 말했습니다.
새로운 작업에는 음의 Pell 방정식이 포함됩니다. x2 - dy2 는 1 대신 -1로 설정됩니다. 원래 Pell 방정식과 달리 항상 정수 솔루션의 무한 수를 갖습니다. d, 의 모든 값이 아닙니다. d 음의 Pell 방정식에서 풀 수 있는 방정식을 산출합니다. 가져가다 x2 - 3y2 = −1: 숫자 선을 따라 아무리 멀리 살펴봐도 답을 찾을 수 없습니다. x2 - 3y2 = 1은 해가 무한히 많습니다.
실제로 많은 가치가 있습니다. d 음의 Pell 방정식을 풀 수 없는 경우: 특정 숫자가 서로 어떻게 관련되는지에 대한 알려진 규칙을 기반으로 d 3, 7, 11, 15 등의 배수가 될 수 없습니다.
그러나 이러한 가치를 피하더라도 d 나머지 음수 Pell 방정식만 고려하면 여전히 솔루션을 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 가능한 값의 더 작은 집합에서 d, 어떤 비율이 실제로 작동합니까?
1993년에 Stevenhagen은 그 질문에 대한 정확한 답을 제공하는 공식을 제안했습니다. 에 대한 값 중 d (즉, 3, 7 등의 배수가 아닌 값), 그는 약 58%가 정수 솔루션을 사용하여 음수 Pell 방정식을 생성할 것이라고 예측했습니다.
Stevenhagen의 추측은 특히 Negative Pell 방정식과 클래스 그룹에 대한 Cohen-Lenstra 휴리스틱 간의 연결에 의해 동기가 부여되었습니다.
더 나은 대포
2010년에 Koymans와 Pagano는 몇 년 만에 문제에 대한 첫 번째 진전을 이룬 논문이 나왔을 때 아직 학부생이었습니다. Stevenhagen의 추측에 아직 익숙하지 않았습니다.
그 작품에서 에 게시 수학 연대기, 수학자 에티엔 푸브리 와 위르겐 클뤼너스 값의 비율을 보여주었다. d 음의 Pell 방정식에 효과가 있는 것은 특정 범위에 속합니다. 그렇게 하기 위해 그들은 관련 클래스 그룹의 일부 요소의 동작을 처리했습니다. 그러나 그들은 Stevenhagen의 훨씬 더 정확한 추정치인 58%를 이해하기 위해 더 많은 요소에 대한 이해가 필요합니다. 불행히도 이러한 요소는 불가사의한 상태로 남아 있었습니다. 구조를 이해하려면 여전히 새로운 방법이 필요했습니다. 더 이상의 진전은 불가능해 보였다.
그러다가 2017년, 코이만스와 파가노가 라이덴 대학교에서 함께 대학원에 다닐 때, 종이가 나타났다 그것은 모든 것을 바꿨습니다. Koymans는 "이것을 보았을 때 매우 인상적인 결과라는 것을 즉시 깨달았습니다."라고 말했습니다. "좋아요, 이제 이 문제에 대포를 쏠 수 있고 발전할 수 있기를 바라는 것 같았습니다." (당시 Stevenhagen과 Lenstra는 Leiden의 교수이기도 하여 Koymans와 Pagano가 이 문제에 관심을 갖도록 도왔습니다.)
하버드 대학원생이 쓴 논문으로 알렉산더 스미스 (현재 스탠포드의 클레이 펠로우인). Koymans와 Pagano만이 이 작업을 획기적인 것으로 평가한 것은 아닙니다. Granville은 "아이디어가 훌륭했습니다. “혁명적이다.”
Smith는 타원 곡선이라고 하는 방정식에 대한 해의 속성을 이해하려고 노력해 왔습니다. 그렇게 하면서 그는 Cohen-Lenstra 휴리스틱의 특정 부분을 해결했습니다. 그것은 더 넓은 추측을 수학적 사실로 굳히는 첫 번째 주요 단계였을 뿐만 아니라, 코이만스와 파가노가 스티븐하겐의 추측에 대한 작업에서 이해해야 했던 클래스 그룹의 일부를 정확히 포함했습니다. (이 작품은 Fouvry와 Klüners가 부분적인 결과에서 연구한 요소를 포함했지만, 또한 그것들을 훨씬 뛰어넘었습니다.)
그러나 Koymans와 Pagano는 Smith의 방법을 바로 사용할 수 없었습니다. (만약 그것이 가능했다면 스미스 자신도 그렇게 했을 것입니다.) 스미스의 증명은 올바른 숫자 고리($latex sqrt{d}$가 정수에 연결되는 것)와 관련된 클래스 그룹에 관한 것이었지만 그는 모든 것을 고려했습니다. 정수 값 d. 반면에 Koymans와 Pagano는 이러한 가치의 아주 작은 부분 집합에 대해서만 생각하고 있었습니다. d. 결과적으로 그들은 훨씬 더 적은 수의 클래스 그룹 간의 평균 행동을 평가해야 했습니다.
이러한 클래스 그룹은 본질적으로 Smith의 클래스 그룹의 0%를 구성했습니다. 이는 Smith가 증명을 작성할 때 해당 클래스 그룹을 버릴 수 있음을 의미합니다. 그들은 그가 연구하고 있던 평균적인 행동에 전혀 기여하지 않았습니다.
그리고 Koymans와 Pagano가 자신의 기술을 관심 있는 클래스 그룹에만 적용하려고 했을 때 방법이 즉시 중단되었습니다. 두 사람이 작동하려면 상당한 변화가 필요합니다. 게다가, 그것들은 단지 하나의 클래스 그룹을 특징짓는 것이 아니라 두 개의 다른 클래스 그룹 사이에 존재할 수 있는 불일치(그렇게 하는 것은 Stevenhagen의 추측에 대한 그들의 증거의 주요 부분이 될 것입니다) — 이 또한 몇 가지 다른 도구를 필요로 합니다.
그래서 Koymans와 Pagano는 정확히 어디에서 문제가 발생하기 시작했는지 정확히 찾아내기 위해 Smith의 논문을 더 주의 깊게 살펴보기 시작했습니다. 재료가 너무 복잡했기 때문만이 아니라 Smith가 당시에 여전히 프리프린트를 수정하면서 필요한 수정과 설명을 하고 있었기 때문에 어렵고 힘든 작업이었습니다. (그가 게시한 그의 논문의 새로운 버전 지난달 온라인)
일년 내내 Koymans와 Pagano는 함께 그 증거를 한 줄 한 줄 배웠습니다. 그들은 매일 만나서 점심 시간에 주어진 섹션에 대해 토론하고 칠판에서 몇 시간을 보내기 전에 관련 아이디어를 서로 도우며 작업했습니다. 그들 중 한 사람이 스스로 진전을 이루면 다른 한 사람에게 문자를 보내 업데이트를 요청했습니다. Shusterman은 때때로 그들이 밤늦게까지 일하는 것을 본 것을 회상합니다. Koymans는 그것이 수반하는 어려움에도 불구하고(또는 아마도 그 때문에) "함께 하는 것은 매우 재미있었습니다."라고 말했습니다.
그들은 궁극적으로 새로운 접근 방식을 시도해야 할 부분을 식별했습니다. 처음에는 약간의 개선만 할 수 있었습니다. 수학자들과 함께 스테파니 찬 와 조르조 밀로비치, 그들은 클래스 그룹의 일부 추가 요소를 처리하는 방법을 알아냈고, 이를 통해 Fouvry 및 Klüners보다 더 나은 범위를 얻을 수 있었습니다. 그러나 클래스 그룹 구조의 중요한 부분은 여전히 피했습니다.
그들이 해결해야 하는 한 가지 주요 문제(스미스의 방법이 이 새로운 맥락에서 더 이상 작동하지 않는 문제)는 클래스 그룹의 "평균" 행동을 d 점점 더 커졌습니다. 적절한 정도의 임의성을 확립하기 위해 Koymans와 Pagano는 상호 법칙이라고 하는 복잡한 규칙 세트를 증명했습니다. 결국, 이를 통해 두 클래스 그룹 간의 차이에 대해 필요한 통제력을 얻을 수 있었습니다.
다른 사람들과 함께 이러한 발전을 통해 마침내 올해 초 Stevenhagen의 추측에 대한 증명을 완료할 수 있었습니다. Chan은 "완전히 문제를 해결할 수 있다는 것이 놀랍습니다. "이전에는 이러한 모든 문제가 있었습니다."
스미스는 그들이 한 일이 “나를 놀라게 했다”고 말했다. "Koymans와 Pagano는 일종의 내 오래된 언어를 유지하고 더 이상 거의 이해하지 못하는 방향으로 점점 더 나아가는 데 사용했습니다."
가장 날카로운 도구
그가 XNUMX년 전에 그것을 도입했을 때부터, Cohen-Lenstra 휴리스틱의 한 부분에 대한 Smith의 증명은 타원 곡선 및 기타 관심 구조에 대한 질문을 포함하여 많은 다른 문제에 대한 문을 여는 방법으로 여겨졌습니다. (자신의 논문에서 Koymans와 Pagano는 자신의 방법을 사용하기를 희망하는 XNUMX가지 추측을 나열합니다. 많은 사람들이 부정적인 Pell 방정식이나 심지어 클래스 그룹과 아무 관련이 없습니다.)
Granville은 "많은 객체가 이러한 종류의 대수 그룹과 유사하지 않은 구조를 가지고 있습니다. 그러나 Koymans와 Pagano가 직면해야 했던 동일한 장애물 중 많은 부분이 이러한 다른 상황에서도 존재합니다. 음의 Pell 방정식에 대한 새로운 작업은 이러한 장애물을 제거하는 데 도움이 되었습니다. Bartel은 "Alexander Smith가 이러한 톱과 망치를 만드는 방법을 알려줬지만 이제는 최대한 날카롭고 강하고 다양한 상황에 적응할 수 있도록 만들어야 합니다."라고 말했습니다. "이 논문이 하는 일 중 하나는 그 방향으로 크게 나아간다는 것입니다."
한편, 이 모든 작업은 클래스 그룹의 한 측면에 대한 수학자의 이해를 개선했습니다. Cohen-Lenstra의 나머지 추측은 적어도 당분간은 도달할 수 없는 상태로 남아 있습니다. 그러나 Koymans와 Pagano의 논문은 “Cohen-Lenstra에서 문제를 공격하기 위해 우리가 가지고 있는 기술이 어느 정도 성장하고 있음을 나타냅니다.”라고 Smith는 말했습니다.
Lenstra 자신도 마찬가지로 낙관적이었습니다. 그는 이메일에서 "절대적으로 장관"이라고 적었다. "수론 자체만큼이나 오래된 수론의 한 분야에서 새로운 장을 열었습니다."
