거품 클러스터의 모양을 이해하는 것과 관련하여 수학자들은 수천 년 동안 우리의 물리적 직관을 따라잡기 위해 노력해 왔습니다. 자연계의 비눗방울 덩어리는 종종 가장 낮은 에너지 상태, 즉 거품 사이의 벽을 포함하여 벽의 전체 표면적을 최소화하는 상태로 즉시 스냅되는 것처럼 보입니다. 그러나 비눗방울이 이 작업을 제대로 수행하는지 확인하거나 큰 거품 클러스터가 어떻게 생겼는지 예측하는 것은 기하학에서 가장 어려운 문제 중 하나입니다. 19년 이상 전에 그리스 수학자 Zenodorus가 이것을 주장했지만, 구가 최고의 단일 거품임을 증명하는 데 수학자들은 2,000세기 후반까지 필요했습니다.
거품 문제는 다음과 같이 말할 수 있을 만큼 간단합니다. 부피에 대한 숫자 목록으로 시작한 다음 최소 표면적을 사용하여 해당 부피의 공기를 개별적으로 둘러싸는 방법을 묻습니다. 그러나 이 문제를 해결하기 위해 수학자들은 거품 벽에 대해 가능한 다양한 모양을 고려해야 합니다. 그리고 할당이 예를 들어 XNUMX개의 볼륨을 묶는 것이라면 우리는 XNUMX개의 버블 클러스터에 주의를 제한할 여유조차 없습니다. 아마도 표면적을 최소화하는 가장 좋은 방법은 볼륨 중 하나를 여러 버블에 분할하는 것입니다.
10차원 평면의 단순한 설정에서도(둘레를 최소화하면서 영역 모음을 둘러싸려는 경우) XNUMX개 또는 XNUMX개 영역을 둘러싸는 가장 좋은 방법은 아무도 모릅니다. 거품의 수가 늘어남에 따라 "빨리 그럴듯한 추측조차 할 수 없습니다."라고 말했습니다. 엠마누엘 밀만 이스라엘 하이파에 있는 Technion의
그러나 사반세기 전, John Sullivan, 현재 베를린 공과 대학의 어떤 경우에는 유도 추측 가질. 거품 문제는 모든 차원에서 의미가 있으며 Sullivan은 포함하려는 볼륨의 수가 차원보다 많아야 XNUMX이 크면 볼륨을 묶는 특정 방법이 있음을 발견했습니다. 다른 어떤 것보다 더 아름답습니다. 구체에 완벽하게 대칭인 거품 클러스터의 일종의 그림자입니다. 그는 이 그림자 클러스터가 표면적을 최소화해야 한다고 추측했습니다.
그 후 XNUMX년 동안 수학자들은 두 권만 묶으려는 설리번의 추측을 증명하는 일련의 획기적인 논문을 작성했습니다. 여기에서 해결책은 화창한 날 공원에서 날렸을 수 있는 친숙한 이중 거품으로, 두 개의 구형 조각으로 만들어지며 그 사이에 평평하거나 구형 벽이 있습니다(두 거품의 부피가 같거나 다른지에 따라 다름).
그러나 세 권에 대한 설리번의 추측을 증명하는 수학자 프랭크 모건 윌리엄스 칼리지의 추측 된 2007년에는 "XNUMX년은 더 걸릴 수 있습니다."
이제 수학자들은 그 오랜 기다림에서 벗어나 XNUMX중 거품 문제에 대한 단순한 해결책 이상의 것을 얻었습니다. 안에 종이 XNUMX월 온라인 게시, Milman 및 조 니먼오스틴에 있는 텍사스 대학의 , 은 XNUMX차원 이상에서 XNUMX중 기포와 XNUMX차원 이상에서 XNUMX중 기포에 대한 Sullivan의 추측을 증명했으며, XNUMX차원 이상에서 XNUMX중 기포에 대한 후속 논문이 작업 중입니다.
그리고 XNUMX개 이상의 거품과 관련하여 Milman과 Neeman은 최고의 클러스터가 Sullivan 후보의 많은 핵심 속성을 가져야 함을 보여주었으며 잠재적으로 수학자들이 이러한 경우에 대한 추측을 증명하는 길을 가도록 했습니다. "내 인상은 그들이 Sullivan 추측의 핵심 구조를 파악했다는 것입니다."라고 말했습니다. 프란체스코 마기 오스틴 텍사스 대학의.
Milman과 Neeman의 중심 정리는 "기념비적"이라고 Morgan은 이메일에 썼습니다. “많은 새로운 아이디어가 있는 훌륭한 성과입니다.”
그림자 거품
실제 비눗방울에 대한 우리의 경험은 최소한 작은 덩어리에 관해서는 최적의 방울 덩어리가 어떤 모습이어야 하는지에 대한 유혹적인 직관을 제공합니다. 우리가 비눗방울을 통해 불어내는 XNUMX중 또는 XNUMX중 거품은 구형 벽(때로는 평평한 벽도 있음)을 가지고 있는 것처럼 보이며 긴 거품 사슬이 아닌 단단한 덩어리를 형성하는 경향이 있습니다.
그러나 이것이 실제로 최적의 거품 클러스터의 특징이라는 것을 증명하는 것은 그리 쉬운 일이 아닙니다. 예를 들어, 수학자들은 최소화 거품 군집의 벽이 항상 구형인지 평평한지 알지 못합니다. 그들은 벽에 "일정한 평균 곡률"이 있다는 것만 알고 있습니다. 즉, 평균 곡률이 한 지점에서 다른 지점까지 동일하게 유지된다는 의미입니다. 구와 평평한 표면에는 이러한 속성이 있지만 원통 및 운둘로이드라고 하는 물결 모양과 같은 다른 많은 표면도 마찬가지입니다. 평균 곡률이 일정한 표면은 "완벽한 동물원"이라고 Milman은 말했습니다.
그러나 1990년대에 Sullivan은 묶고자 하는 볼륨의 수가 차원보다 기껏해야 하나 더 많을 때 나머지 클러스터를 능가하는 것으로 보이는 후보 클러스터가 있음을 인식했습니다. 실제 비누 방울의 작은 클러스터에서 볼 수 있습니다.
그러한 후보가 어떻게 만들어졌는지 알아보기 위해 Sullivan의 접근 방식을 사용하여 평평한 평면에 XNUMX개의 기포 클러스터를 생성해 보겠습니다. 먼저 서로 같은 거리에 있는 구에서 XNUMX개의 점을 선택합니다. 이제 이 XNUMX개의 점 각각이 구의 표면에만 존재하는 작은 거품의 중심이라고 상상해 보십시오(각 거품이 작은 원반이 되도록). 구체에 있는 XNUMX개의 거품이 서로 부딪히기 시작할 때까지 팽창시킨 다음 전체 표면을 집합적으로 채울 때까지 계속 팽창시킵니다. 구를 부풀어 오른 사면체처럼 보이게 하는 XNUMX개의 거품의 대칭 클러스터로 끝납니다.
다음으로 이 구를 무한 평면 위에 배치합니다. 마치 구가 끝이 없는 바닥에 놓여 있는 공인 것처럼 보입니다. 공이 투명하고 북극에 랜턴이 있다고 상상해보십시오. XNUMX개의 거품 벽은 바닥에 그림자를 투영하여 거품 클러스터의 벽을 형성합니다. 구체에 있는 XNUMX개의 거품 중 XNUMX개가 바닥에 있는 그림자 거품으로 투영됩니다. 네 번째 거품(북극을 포함하는 거품)은 세 개의 그림자 거품 클러스터 외부의 무한한 바닥으로 투영됩니다.
우리가 얻는 특정한 XNUMX개의 기포 클러스터는 우리가 그것을 바닥에 놓을 때 구를 어떻게 배치했는지에 달려 있습니다. 다른 지점이 북극의 랜턴으로 이동하도록 구를 회전하면 일반적으로 다른 그림자가 생기고 바닥에 있는 세 개의 거품이 다른 영역을 갖게 됩니다. 수학자들은 증명 영역에 대해 선택한 세 개의 숫자에 대해 기본적으로 구의 위치를 지정하는 단일 방법이 있으므로 세 개의 그림자 거품이 정확히 해당 영역을 갖게 됩니다.
우리는 이 과정을 모든 차원에서 자유롭게 수행할 수 있습니다(고차원 그림자는 시각화하기가 더 어렵습니다). 그러나 그림자 클러스터에 포함할 수 있는 거품의 수에는 제한이 있습니다. 위의 예에서 우리는 비행기에서 XNUMX개의 기포 클러스터를 만들 수 없었습니다. 그것은 서로 같은 거리에 있는 구의 다섯 점으로 시작해야 했을 것입니다. 그러나 구에 그렇게 많은 등거리 점을 배치하는 것은 불가능합니다(고차원 구로 할 수는 있지만). Sullivan의 절차는 XNUMX차원 공간에서 최대 XNUMX개의 거품, XNUMX차원 공간에서 XNUMX개의 거품, XNUMX차원 공간에서 XNUMX개의 거품 등의 클러스터를 만드는 데만 작동합니다. 이러한 매개변수 범위를 벗어나면 Sullivan 스타일의 거품 클러스터가 존재하지 않습니다.
그러나 이러한 매개변수 내에서 Sullivan의 절차는 물리적 직관이 이해할 수 있는 것보다 훨씬 더 많은 설정에서 거품 클러스터를 제공합니다. "[15차원 공간]에서 23개의 거품이 무엇인지 시각화하는 것은 불가능합니다."라고 Maggi가 말했습니다. "그런 물건을 묘사하는 꿈은 어떻게 꾸나요?"
그러나 Sullivan의 거품 후보는 구형 조상으로부터 우리가 자연에서 볼 수 있는 거품을 연상시키는 고유한 특성 모음을 상속합니다. 그들의 벽은 모두 구형이거나 평평하며 세 개의 벽이 만나는 곳마다 대칭 Y 모양과 같이 120도 각도를 형성합니다. 묶으려는 각 볼륨은 여러 지역으로 분할되지 않고 단일 지역에 있습니다. 그리고 모든 거품은 서로(그리고 외부) 접촉하여 단단한 클러스터를 형성합니다. 수학자들은 Sullivan의 거품이 이러한 모든 속성을 충족하는 유일한 클러스터임을 보여주었습니다.
Sullivan이 이것이 표면적을 최소화하는 클러스터여야 한다는 가설을 세웠을 때 그는 본질적으로 "아름다움을 가정해 봅시다."라고 Maggi가 말했습니다.
그러나 거품 연구자들은 제안된 해결책이 아름답다고 해서 그것이 옳다고 가정하는 것을 경계해야 할 충분한 이유가 있습니다. "매우 유명한 문제가 있습니다. 최소화 장치의 대칭을 예상하고 대칭이 극적으로 실패하는 문제가 있습니다."라고 Maggi가 말했습니다.
예를 들어, 표면적을 최소화하는 방식으로 동일한 부피의 거품으로 무한 공간을 채우는 밀접한 관련 문제가 있습니다. 1887년 영국의 수학자이자 물리학자인 켈빈 경은 해결책이 우아한 벌집 모양의 구조일 수 있다고 제안했습니다. 한 세기 이상 동안 많은 수학자들은 이것이 가능한 답이라고 믿었습니다. 1993년 한 쌍의 물리학자가 더 나은 식별, 덜 대칭적이지만 옵션입니다. "수학은 이런 종류의 이상한 일이 일어나는 예들로 가득 차 있습니다."라고 Maggi가 말했습니다.
어두운 예술
Sullivan이 1995년에 자신의 추측을 발표했을 때 이중 거품 부분은 이미 한 세기 동안 떠돌아다녔습니다. 수학자들이 풀었다 2D 이중 기포 문제 XNUMX년 전과 그 후 XNUMX년 동안 그들은 이 문제를 다음과 같이 해결했습니다. 3 차원 공간 그리고 나서 더 높은 치수. 그러나 Sullivan의 추측의 다음 사례인 삼중 거품에 관해서는 추측을 증명하다 기포 사이의 인터페이스가 특히 단순한 XNUMX차원 평면에서만 가능합니다.
그런 다음 2018년에 Milman과 Neeman은 가우스 거품 문제로 알려진 설정에서 Sullivan의 추측과 유사한 버전을 증명했습니다. 이 설정에서 공간의 모든 지점은 금전적 가치를 가지고 있다고 생각할 수 있습니다. 원점이 가장 비싼 지점이고 원점에서 멀어질수록 토지가 저렴해져서 종형 곡선을 형성합니다. 목표는 (경계의 표면적 대신) 인클로저의 경계 비용을 최소화하는 방식으로 미리 선택된 가격(미리 선택된 볼륨 대신)으로 인클로저를 만드는 것입니다. 이 가우스 거품 문제는 컴퓨터 과학에서 반올림 방식과 잡음 민감도 문제에 적용할 수 있습니다.
Milman과 Neeman이 제출한 증명 ~로 수학 연대기, 틀림없이 수학의 가장 권위 있는 저널(나중에 받아들여진 곳). 그러나 쌍은 그것을 하루라고 부를 생각이 없었다. 그들의 방법은 고전적인 거품 문제에도 유망해 보였습니다.
그들은 몇 년 동안 아이디어를 왔다갔다 했습니다. "우리는 200페이지 분량의 메모 문서를 가지고 있었습니다."라고 Milman이 말했습니다. 처음에는 그들이 발전하고 있는 것처럼 느껴졌습니다. “하지만 이내 '우리는 이 방향을 시도했습니다. 아니요. 우리는 [그] 방향을 시도했습니다. 아니요.'” 두 수학자 모두 내기를 헤지하기 위해 다른 프로젝트도 추구했습니다.
그러다가 지난 가을, Milman은 안식년을 맞이하여 Neeman을 방문하여 거품 문제에 집중할 수 있도록 했습니다. Milman은 "안식년에는 고위험, 고수익 유형의 일을 시도하기에 좋은 시기입니다."라고 말했습니다.
처음 몇 달 동안 그들은 아무데도 얻지 못했습니다. 마침내 그들은 Sullivan의 완전한 추측보다 약간 더 쉬운 작업을 스스로에게 주기로 결정했습니다. 거품에 호흡 공간을 한 차원 더 제공하면 보너스가 생깁니다. 최고의 거품 클러스터는 중앙 평면을 가로질러 거울 대칭을 갖게 됩니다.
Sullivan의 추측은 XNUMX차원 이상에서는 XNUMX중 거품, XNUMX차원 이상에서는 XNUMX중 거품 등입니다. 보너스 대칭을 얻기 위해 Milman과 Neeman은 XNUMX차원 이상에서는 XNUMX중 기포, XNUMX차원 이상에서는 XNUMX중 기포 등으로 주의를 제한했습니다. Neeman은 "우리가 진정으로 진전을 이룬 것은 모든 매개변수 범위에 대해 그것을 얻는 것을 포기했을 때만 정말이었습니다."라고 말했습니다.
이 거울 대칭을 마음대로 사용하여 Milman과 Neeman은 거울 위에 있는 거품 클러스터의 절반을 약간 팽창시키고 거울 아래에 있는 절반을 수축시키는 것과 관련된 섭동 주장을 생각해 냈습니다. 이 섭동은 거품의 부피를 변경하지 않지만 표면적을 변경할 수 있습니다. Milman과 Neeman은 최적의 기포 군집에 구형 또는 평면이 아닌 벽이 있는 경우 이 섭동을 선택하여 군집의 표면적을 줄이는 방법이 있음을 보여주었습니다. 이는 최적 군집이 이미 최소 표면을 갖고 있기 때문에 모순입니다. 가능한 지역.
섭동을 사용하여 거품을 연구하는 것은 새로운 아이디어와는 거리가 멀지만, 어떤 섭동이 거품 클러스터의 중요한 특징을 감지하는지 알아내는 것은 "약간 어두운 예술"이라고 Neeman은 말했습니다.
돌이켜 보면 "[Milman과 Neeman의 섭동]을 보면 아주 자연스럽게 보입니다."라고 말했습니다. 조엘 하스 캘리포니아 대학교 데이비스 교수.
그러나 섭동을 자연스러운 것으로 인식하는 것이 처음부터 이러한 섭동을 생각해내는 것보다 훨씬 쉽다고 Maggi는 말했습니다. “'결국 사람들이 찾았을 것'이라고 말할 수 있는 것은 아닙니다."라고 그는 말했습니다. “굉장히 놀라운 수준에서 정말 천재적입니다.”
Milman과 Neeman은 최적의 기포군이 Sullivan 군집의 모든 핵심 특성을 충족해야 함을 보여주기 위해 섭동을 사용할 수 있었습니다. 단, 단 하나는 모든 기포가 서로 닿아야 한다는 조건입니다. 이 마지막 요구 사항으로 인해 Milman과 Neeman은 거품이 클러스터로 연결될 수 있는 모든 방법과 씨름해야 했습니다. XNUMX~XNUMX개의 거품에 관해서는 고려할 가능성이 그리 많지 않습니다. 그러나 거품의 수를 늘릴수록 가능한 다양한 연결 패턴의 수가 기하급수적으로 증가하는 것보다 훨씬 더 빠릅니다.
Milman과 Neeman은 처음에 이러한 모든 경우를 포괄하는 포괄적인 원칙을 찾기를 희망했습니다. 그러나 Milman은 몇 달 동안 "머리를 깨는" 시간을 보낸 후 XNUMX중 및 XNUMX중 거품을 처리할 수 있는 좀 더 임시적인 접근 방식에 만족하기로 결정했다고 말했습니다. 그들은 또한 Sullivan의 XNUMX중 거품이 최적이라는 미공개 증거를 발표했지만 이것이 유일한 최적 클러스터라는 것을 아직 확립하지 못했습니다.
Milman과 Neeman의 작업은 "이전 방법의 확장이라기보다는 완전히 새로운 접근 방식"이라고 Morgan은 이메일에 썼습니다. Maggi는 이 접근 방식이 XNUMX개 이상의 거품 클러스터 또는 거울 대칭이 없는 Sullivan의 추측의 경우에 더욱 추진될 수 있다고 예측했습니다.
더 이상의 진전이 쉽게 올 것이라고 기대하는 사람은 아무도 없습니다. 그러나 그것은 결코 Milman과 Neeman을 억제하지 못했습니다. Milman은 "내 경험에 따르면 내가 운이 좋게도 포기하지 않는 것이 중요했습니다."라고 말했습니다.
