확률과 정수론의 충돌 — 순식간에

그들의 야망은 항상 높았다. Will Sawin과 Melanie Matchett Wood가 2020년 여름에 처음으로 함께 작업을 시작했을 때 그들은 정수론에서 가장 감질나게 하는 일부 추측의 핵심 구성 요소를 재고하기 시작했습니다. 그들의 관심 대상인 학급 그룹은 숫자가 정수 이상으로 확장될 때 산술이 어떻게 작동하는지에 대한 기본적인 질문과 밀접하게 관련되어 있습니다. 사윈, 컬럼비아 대학에서, 그리고 목재, Harvard에서 클래스 그룹보다 훨씬 더 일반적이고 수학적으로 위협적인 구조에 대한 예측을 하고 싶었습니다.

그들이 예측 공식화를 마치기도 전에 XNUMX월에 그들은 새로운 결과 수학자들이 확률 이론의 가장 유용한 도구 중 하나를 클래스 그룹뿐만 아니라 숫자, 네트워크 및 기타 많은 수학적 개체의 모음에 적용할 수 있습니다.

"이것은 모든 사람이 이러한 문제에 대해 생각하기 시작할 때 의지하는 기초 논문이 될 것입니다."라고 말했습니다. 데이비드 주릭-브라운, Emory University의 수학자. "더 이상 아무것도 처음부터 발명해야 한다는 느낌이 들지 않습니다."

집단법

클래스 그룹은 그룹이라고 하는 구조화된 수학 집합의 예입니다. 그룹에는 정수와 같은 많은 친숙한 세트가 포함됩니다. 정수를 단순한 숫자 집합이 아닌 그룹으로 만드는 것은 해당 요소를 함께 추가하고 다른 정수를 얻을 수 있다는 것입니다. 일반적으로 덧셈과 같이 몇 가지 기본 요구 사항을 충족하는 방식으로 두 요소를 세 번째 요소로 결합하는 작업이 포함된 집합은 그룹입니다. 예를 들어, 다른 요소를 변경하지 않는 요소인 XNUMX 버전이 있어야 합니다.

수학자들이 일반적으로 $latex mathbb{Z}$라고 부르는 정수는 무한합니다. 그러나 많은 그룹에는 한정된 수의 요소가 있습니다. 예를 들어, 0개의 요소가 있는 그룹을 만들려면 {1, 2, 3, 4} 세트를 고려하십시오. 규칙적인 덧셈을 수행하는 대신 임의의 두 수의 합을 2로 나누고 나머지를 구합니다. (이 규칙에 따르면 2 + 0 = 2, 3 + 1 = 4입니다.) 이 그룹을 $latex mathbb{Z}/XNUMXmathbb{Z}$라고 합니다.

일반적으로 $latex n$ 요소로 그룹을 만들고 싶다면 숫자 XNUMX부터 n – 1이고 로 나눌 때 나머지를 고려하십시오. n. 결과 그룹은 $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$라고 합니다. n 집단.

클래스 그룹은 수 이론가가 정수를 넘어선 수의 구조를 조사할 때 나타납니다. 이를 위해 다음과 같이 정수에 새 숫자를 추가합니다. i (-1의 제곱근), $latex sqrt{5}$ 또는 심지어 $latex sqrt{–5}$.

“우리가 숫자에 대해 익숙했던 것은 이 맥락에서 더 이상 사실이 아닙니다. 또는 적어도 반드시 사실은 아닙니다.”라고 말했습니다. 요르단 엘렌 버그, 매디슨에 있는 위스콘신 대학교의 수학자.

특히 인수 분해는 정수의 확장에서 다르게 작동합니다. 정수만 고수한다면 숫자는 한 가지 방법으로만 소수(자신과 1로만 나눌 수 있는 숫자)로 분해될 수 있습니다. 예를 들어 6은 2 × 3이고 다른 소수로 분해할 수 없습니다. 이 속성을 고유 분해라고 합니다.

그러나 $latex sqrt{–5}$를 숫자 체계에 추가하면 더 이상 고유 인수분해가 없습니다. 두 가지 방법으로 6을 소수로 인수분해할 수 있습니다. 여전히 2 × 3이지만 $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$이기도 합니다.

정수에 대한 이러한 확장에서 클래스 그룹이 생성됩니다. "학급 그룹은 매우 중요합니다."라고 Wood는 말했습니다. "그래서 궁금해하는 것이 당연합니다. 그들은 보통 어떤가요?"

정수의 확장과 관련된 클래스 그룹의 크기는 고유 분해가 얼마나 많이 분해되는지에 대한 바로미터입니다. 수학자들은 클래스 그룹이 항상 유한하다는 것을 증명했지만 클래스 그룹의 구조와 크기를 파악하는 것은 복잡합니다. 그래서 1984년에 Henri Cohen과 Hendrik Lenstra가 몇 가지 추측을 했다. 이제 Cohen-Lenstra 발견법이라고 하는 그들의 추측은 정수에 새로운 제곱근을 추가할 때 나타나는 모든 클래스 그룹에 관한 것입니다. 모든 학급 그룹이 모였다면 Cohen과 Lenstra는 다음과 같은 질문에 대한 답변을 제안했습니다. $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ 그룹이 포함된 비율은? 또는 $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? 아니면 다른 알려진 유형의 유한 그룹입니까?

Cohen과 Lenstra는 정수 이론가들에게 클래스 그룹의 고립된 예뿐만 아니라 클래스 그룹 전체의 기초가 되는 통계를 고려하도록 촉구했습니다. 그들의 예측은 모든 수준에서 밝혀질 패턴을 가진 우주로서의 수학의 비전을 활용했습니다.

거의 40년이 지난 지금 Cohen-Lenstra 휴리스틱은 아무도 이를 증명하는 데 근접하지 않았지만 사실이라고 널리 믿어지고 있습니다. 위스콘신 대학교 매디슨의 명예 교수인 Nigel Boston은 수학에 대한 그들의 영향이 두드러졌다고 말했습니다. "발견된 것은 이 놀라운 웹입니다."라고 그는 말했습니다. "우리가 생각하는 세상이 하나로 합쳐지는 방식의 거대한 인프라가 있습니다."

마을의 유일한 게임

휴리스틱을 직접 다룰 수 없었던 수학자들은 상황을 밝혀줄 더 다루기 쉬운 문제를 생각해 냈습니다. 그 작업에서 수학자들이 확률 이론에서 사용되는 용어를 따라 모멘트를 부르기 시작한 유용한 양의 집합이 나타났습니다.

확률적으로 모멘트는 난수 뒤의 분포를 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다. 예를 들어, 뉴욕시의 1월 1일 일일 최고 기온 분포를 고려하십시오. 내년 10월 40일에 화씨 70도, 120도, 1도 또는 XNUMX도가 될 가능성이 있습니다. 과거 데이터: 기록된 기록이 시작된 이후 매년 XNUMX월 XNUMX일의 일일 최고 기록입니다.

이 온도의 평균을 계산하면 조금은 알 수 있지만 전부는 아닙니다. 40도의 평균 고온은 온도가 50도 이상 또는 20도 이하일 가능성을 알려주지 않습니다.

그러나 더 많은 정보가 제공되면 변경됩니다. 특히 분포의 두 번째 모멘트로 알려진 양인 온도 제곱의 평균을 배울 수 있습니다. (평균은 첫 번째 순간입니다.) 또는 세 번째 순간으로 알려진 큐브의 평균 또는 네 번째 힘의 평균인 네 번째 순간을 배울 수 있습니다.

1920년대까지 수학자들은 이 계열의 모멘트가 충분히 느리게 증가하면 모든 모멘트를 알면 가능한 분포가 하나뿐이라는 것을 추론할 수 있다는 것을 알아냈습니다. (그렇다고 반드시 해당 분포를 직접 계산할 수 있는 것은 아닙니다.)

Wood는 "정말 직관적이지 않습니다."라고 말했습니다. “지속적인 분포를 생각해보면 어느 정도 형태가 있습니다. 일련의 숫자로 포착할 수 있는 것보다 더 많은 것을 가지고 있는 것처럼 느껴집니다.”

Cohen-Lenstra 휴리스틱에 관심이 있는 수학자들은 확률 이론의 모멘트를 사용하여 확률 분포를 얻을 수 있는 것처럼 클래스 그룹에 대해 특정 방식으로 정의된 모멘트는 크기와 구조를 볼 수 있는 렌즈가 될 수 있음을 알아냈습니다. . 토론토 대학교의 수학자 Jacob Tsimerman은 학급 그룹 크기의 분포를 직접 계산할 수 있는 방법을 상상할 수 없다고 말했습니다. 그는 모멘트를 사용하는 것이 “쉬운 것 이상입니다. 마을에서 유일한 게임입니다.”

이 마술 순간

확률의 각 순간은 정수(XNUMX승, XNUMX승 등)와 연관되어 있지만, 수 이론가들이 도입한 새로운 수량은 각각 그룹에 해당합니다. 이러한 새로운 순간은 종종 서로 다른 요소를 함께 축소하여 그룹을 더 작은 그룹으로 줄일 수 있다는 사실에 따라 달라집니다.

그룹과 관련된 모멘트를 계산하려면 G, 정수에 추가하는 각 새 제곱근에 대해 하나씩 가능한 모든 클래스 그룹을 가져옵니다. 각 학급 그룹에 대해 축소할 수 있는 다양한 방법의 수를 세십시오. G. 그런 다음 해당 숫자의 평균을 구합니다. 이 프로세스는 복잡해 보일 수 있지만 Cohen 및 Lenstra의 예측 이면에 있는 실제 분포보다 작업하기가 훨씬 쉽습니다. Cohen-Lenstra 휴리스틱 자체는 설명하기 복잡하지만 예측하는 분포의 순간은 모두 1입니다.

Ellenberg는 "그것은 당신이 생각하게 만듭니다. 와우, 어쩌면 순간이 그것에 접근하는 자연스러운 방법일지도 모릅니다. "라고 Ellenberg는 말했습니다. "뭔가 미친 무한 곱과 같다는 것을 증명하는 것보다 어떤 것이 1과 같다는 것을 증명할 수 있는 것이 더 그럴듯해 보입니다."

수학자들이 그룹(클래스 그룹 또는 기타)에 대한 분포를 연구할 때 각 그룹에 대한 방정식으로 끝납니다. G, 확률은 $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$처럼 보이는 클래스 그룹의 비율을 나타냅니다. 무한히 많은 방정식과 무한히 많은 가능한 클래스 그룹으로 인해 확률을 해결하기가 까다롭습니다. 그렇게 하는 것이 이치에 맞는지도 분명하지 않습니다.

"합계가 무한하면 상황이 잘못될 수 있습니다." 우드가 말했습니다.

그러나 분포를 연구하는 다른 방법을 여전히 찾을 수 없었던 수학자들은 계속해서 두 번째 문제로 돌아갔습니다. 에 발표된 작품에서 수학 연대기 2016년 Ellenberg는 Akshay Venkatesh 및 Craig Westerland와 함께 사용된 순간 Cohen과 Lenstra가 고려한 것과는 약간 다른 환경에서 학급 그룹의 통계를 연구합니다. 이 아이디어는 재사용하다 몇몇의 시대. 그러나 연구자들은 모멘트를 사용할 때마다 특정 문제의 단점에 의존하여 무한한 방정식 세트에 솔루션이 있음을 증명했습니다. 그것은 그들의 기술이 이전될 수 없다는 것을 의미했습니다. 모멘트를 사용해야 하는 다음 수학자는 모멘트 문제를 처음부터 다시 풀어야 합니다.

공동 작업을 시작할 때 Sawin과 Wood도 이 경로를 계획했습니다. 그들은 모멘트를 사용하여 더 복잡한 버전의 클래스 그룹이 어떻게 배포되었는지 예측했습니다. 그러나 프로젝트를 시작한 지 약 XNUMX년 만에 그들은 순간적인 문제 자체에 초점을 돌렸습니다.

곁길로 가기

동료들은 Sawin과 Wood가 자신의 업무에 남다른 열정을 보인다고 말합니다. “둘 다 매우 똑똑합니다. 그러나 똑똑한 사람들이 많이 있습니다.”라고 Zureick-Brown이 말했습니다. "그들은 수학을 하는 것에 대해 이렇게 긍정적인 태도를 가지고 있습니다."

처음에 Sawin과 Wood는 모멘트를 사용하여 Cohen-Lenstra 예측을 새로운 설정으로 확장하고자 했습니다. 그러나 그들은 곧 그들의 두 번째 문제 논쟁에 만족하지 않게 되었다. Sawin은 "유사한 주장을 반복해서 작성할 필요가 있었습니다."라고 회상했습니다. 더욱이 그는 그들이 사용하고 있는 수학적 언어가 "주장이 하고 있는 것의 핵심에 도달하지 못하는 것 같았습니다...아이디어는 있었지만 우리는 그것을 표현하는 올바른 방법을 찾지 못했을 뿐입니다."라고 덧붙였습니다.

Sawin과 Wood는 증명을 더 깊이 파고들어 그 모든 것 아래에 있는 것이 무엇인지 알아내려고 노력했습니다. 그들은 특정 응용 프로그램뿐만 아니라 모든 종류의 다른 수학적 구조에 대한 그룹 분포에 대한 두 번째 문제를 해결하는 증명으로 끝났습니다.

그들은 문제를 작고 관리 가능한 단계로 나눕니다. 한 번에 전체 확률 분포를 해결하려고 시도하는 대신 순간의 작은 조각에만 집중했습니다.

예를 들어, 그룹에 대한 확률 분포에 대한 모멘트 문제를 해결하기 위해 각 모멘트는 그룹과 연관됩니다. G. 처음에 Sawin과 Wood는 그룹의 제한된 목록에 대한 모멘트만 포함하는 방정식 시스템을 살펴보았습니다.. 그런 다음 그룹을 목록에 천천히 추가하고 매번 점점 더 많은 순간을 살펴봅니다. 점진적으로 문제를 더 복잡하게 만들어 각 단계를 해결 가능한 문제로 만들었습니다. 조금씩 그들은 순간적인 문제에 대한 완전한 해결책을 구축했습니다.

Wood는 "고정 목록은 착용하는 안경과 비슷하며 고려하려는 그룹이 많을수록 안경이 더 좋아집니다."라고 설명했습니다.

그들이 마지막 불필요한 세부 사항을 털어냈을 때, 그들은 덩굴손이 수학을 가로질러 뻗어 있는 논거를 발견했습니다. 그들의 결과는 학급 그룹, 기하학적 모양과 관련된 그룹, 점과 선의 네트워크 및 더 복잡한 수학적 집합에 적용되었습니다. 이러한 모든 상황에서 Sawin과 Wood는 일련의 순간을 가져와 해당 순간이 있는 분포를 추출하는 공식을 찾았습니다(다른 요구 사항 중에서 순간이 너무 빠르게 증가하지 않는 한).

Ellenberg는 “Melanie의 스타일과 매우 흡사합니다. "'많은 다른 경우를 일관되고 우아하게 처리하는 매우 일반적인 정리를 증명해 봅시다.'"

Sawin과 Wood는 이제 원래 목표로 돌아가고 있습니다. XNUMX월 초, 그들은 공유했다 새로운 종이 수정 잘못된 Cohen-Lenstra 예측 Cohen과 그의 동료 Jacques Martinet이 1980년대 후반에 만들었습니다. 그 외에도 휴리스틱을 훨씬 더 새로운 상황으로 확장할 계획과 함께 대기열에 더 많은 결과가 있습니다. “이 프로젝트가 언제 끝날지 모르겠습니다.”라고 Sawin은 말했습니다.

Sawin과 Wood가 해결한 두 번째 문제는 "많은 다른 질문에 대한 머리 뒤의 가시 같은 것"이라고 Tsimerman은 말했습니다. "많은 수학자들이 안도의 한숨을 쉬게 될 것이라고 생각합니다."