재귀 시퀀스의 놀라운 동작 | 콴타 매거진

수학에서는 간단한 규칙을 통해 복잡성과 아름다움의 세계를 열어볼 수 있습니다. 다음과 같이 정의되는 유명한 피보나치 수열을 살펴보겠습니다. 이는 1과 1로 시작하고 이후의 각 숫자는 이전 두 숫자의 합입니다. 처음 몇 개의 숫자는 다음과 같습니다.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

간단합니다. 하지만 이 소박한 요리법은 광범위한 의미를 지닌 패턴을 만들어냅니다. 이는 자연 세계의 구조 자체에 짜여져 있는 것처럼 보입니다. 이는 노틸러스 껍질의 소용돌이, 손가락의 뼈, 나뭇가지의 잎 배열에서 볼 수 있습니다. 그 수학적 범위는 다른 영역 중에서도 기하학, 대수학, 확률로 확장됩니다. 이 수열이 서양에 소개된 지 XNUMX세기가 지난 후(인도 수학자들은 피보나치보다 오래 전에 이 수열을 연구했습니다), 이 숫자는 계속해서 연구자들의 관심을 끌고 있으며, 이는 가장 기본적인 수열에도 얼마나 많은 수학적 깊이가 깔려 있는지를 입증합니다.

피보나치 수열에서 모든 용어는 이전 용어를 기반으로 합니다. 이러한 재귀 시퀀스는 광범위한 동작을 나타낼 수 있으며 일부는 놀랍도록 직관적이지 않습니다. 예를 들어, 1980년대 미국 수학자에 의해 처음으로 기술된 기묘한 수열군을 생각해 보십시오. 마이클 소모스.

피보나치 수열과 마찬가지로 소모스 수열도 일련의 수열로 시작됩니다. 아 소모스-k 시퀀스는 다음으로 시작됩니다 k 그들의. Somos의 새로운 용어는 다음과 같습니다.k 수열은 이전 항을 짝짓고, 각 쌍을 곱하고, 쌍을 더한 다음, 항으로 나누는 방식으로 정의됩니다. k 순서대로 다시 위치를 지정합니다.

다음과 같은 경우에는 시퀀스가 ​​그다지 흥미롭지 않습니다. k 1, 2 또는 3과 같습니다. 이는 단지 일련의 반복되는 것입니다. 이 아니라면 k = 4, 5, 6 또는 7 시퀀스에는 이상한 속성이 있습니다. 나눗셈이 많이 포함되어 있어도 분수는 나타나지 않습니다.

Somos는 "보통 이런 현상은 없습니다."라고 말했습니다. “이것은 피보나치와 유사한 믿을 수 없을 정도로 단순한 재발입니다. 하지만 그 단순함 뒤에는 많은 것이 숨어 있습니다.”

다른 수학자들은 소모스 수열과 겉으로는 관련이 없어 보이는 수학 영역 사이의 놀라운 연관성을 계속해서 밝혀내고 있습니다. XNUMX월에 게시된 한 논문에서는 이를 사용하여 솔루션 구축 포식자-피식자 상호 작용부터 고에너지 플라즈마에서 이동하는 파동까지 모든 것을 모델링하는 데 사용되는 미분 방정식 시스템입니다. 그들은 또한 수학적 객체의 구조를 연구하는데 사용됩니다. 클러스터 대수학 그리고 연결되어 있습니다 타원 곡선 — 페르마의 마지막 정리를 해독하는 열쇠였습니다.

재니스 말루프일리노이 대학교 대학원생인 Somos-4와 Somos-5의 염기서열이 밝혀졌다는 최초의 증거를 발표했습니다. 일체형이다 (모든 항이 정수라는 의미) 1992년. 기타 증명 Somos-6 및 Somos-7 시퀀스가 ​​통합적이라는 증거와 함께 서로 다른 수학자에 의한 동일한 결과가 거의 같은 시기에 나타났습니다.

소모스 수열의 이 이상한 특성은 수학자들을 놀라게 했습니다. "소모스 시퀀스에 대해 알게 되자마자 흥미를 느꼈습니다."라고 말했습니다. 제임스 프로 프, 매사추세츠 대학교 로웰 수학과 교수. “Somos-4부터 Somos-7까지 항상 정수를 제공한다는 사실은 아무리 멀리 나가더라도 순진한 관점에서 사물을 볼 때 기적처럼 보였습니다. 그래서 다른 관점이 필요했다.”

Propp은 2000년대 초반에 그와 그의 동료들이 Somos-4 시퀀스의 숫자가 실제로 무엇인가를 계산하고 있음을 발견하면서 새로운 관점을 발견했습니다. 시퀀스의 용어는 특정 그래프에서 발견되는 구조에 해당합니다. 일부 그래프의 경우 정점(점)을 가장자리(선)와 쌍으로 연결하여 모든 정점이 정확히 하나의 다른 정점에 연결되도록 할 수 있습니다. 짝이 없는 정점이 없고 둘 이상의 가장자리에 연결된 정점이 없습니다. Somos-4 수열의 항은 특정 그래프 수열에 대해 서로 다른 완벽하게 일치하는 수를 계산합니다.

이번 발견은 Somos 시퀀스에 대한 새로운 관점을 제시했을 뿐만 아니라 그래프 변환에 대해 생각하고 분석하는 새로운 방법을 제시했습니다. 프로프와 그의 학생들은 그 결과를 기념하여 축하했습니다. 티셔츠.

"나에게 수학의 매력 중 가장 큰 부분은 서로 다른 경로를 통해 동일한 목적지에 도착할 때 뭔가 기적적이거나 깊은 일이 벌어지고 있는 것처럼 보일 때입니다."라고 Propp은 말했습니다. “이 시퀀스의 멋진 점은 정수를 얻는 이유를 설명하는 다양한 관점이 있다는 것입니다. 거기에는 숨겨진 깊이가 있습니다.”

번호가 높은 Somos 시퀀스에 대한 이야기가 변경됩니다. Somos-18의 처음 8항은 정수이지만 19번째 항은 분수입니다. 그 이후의 모든 Somos 시퀀스에는 분수 값도 포함됩니다.

1970년대 독일 수학자 프리츠 괴벨(Fritz Göbel)이 개발한 또 다른 유형의 수열은 소모스 수열에 대한 흥미로운 대위법입니다. 그만큼 n괴벨 수열의 번째 항은 모든 이전 항의 제곱의 합에 1을 더한 후 다음으로 나눈 값으로 정의됩니다. n. 소모스 수열과 마찬가지로 괴벨 수열도 나눗셈을 포함하므로 용어가 정수로 유지되지 않을 것으로 예상할 수 있습니다. 그러나 한동안은 - 시퀀스가 ​​거대해짐에 따라 - 그런 것처럼 보입니다.

괴벨 수열의 10번째 항은 약 1.5만개, 11번째 항은 267억개 정도입니다. 43번째 항은 계산하기에는 너무 큽니다. 약 178억 자릿수가 있습니다. 그러나 1975년에 네덜란드 수학자 헨드릭 렌스트라 처음 42개의 항과 달리 이 43번째 항은 정수가 아님을 보여주었습니다.

괴벨 수열은 합의 제곱을 세제곱, 2승 또는 더 높은 지수로 대체하여 일반화할 수 있습니다. (이 관례에 따라 그의 원래 수열은 1988-괴벨 수열이라고 합니다.) 이 수열은 또한 확장된 정수 항으로 시작하는 놀라운 경향을 보여줍니다. XNUMX년, 헨리 입스테트(Henry Ibstedt) 보여 89-괴벨 수열(정사각형 대신 입방체를 사용함)의 처음 3개 항은 정수이지만 90번째 항은 정수가 아닙니다. 다른 괴벨 시퀀스에 대한 후속 연구에서는 더 긴 스트레치가 발견되었습니다. 예를 들어 31-괴벨 수열은 무려 1,077개의 정수 항으로 시작됩니다.

지난 XNUMX월 규슈대학 수학자 마츠히라 린노스케는 마츠사카 도시키 그리고 츠치다 코키 논문을 공유했다 그것을 보여주는 k-괴벨 수열, 선택에 상관없음 k, 수열의 처음 19개 항은 항상 정수입니다. 그들은 다음과 같은 일본 만화에서 이 질문을 조사하도록 영감을 받았습니다. 세이수탄, 이는 "정수 이야기"로 번역됩니다. ㅏ 만화책의 프레임 독자들에게 가능한 최소값을 알아내라고 요청했습니다. N_k, 지점은 k-괴벨 수열은 정수항 생성을 중단합니다. 세 명의 수학자들이 그 질문에 답하기 시작했습니다. 마쓰사카는 "그렇게 오랜 기간 동안 예상치 못한 정수의 지속성은 우리의 직관과 모순된다"고 말했습니다. "직관에 반하는 현상이 발생할 때 나는 항상 아름다움이 존재한다고 믿습니다."

그들은 다음과 같은 행동을 반복하는 패턴을 발견했습니다. k 증가합니다. 유한한 수의 반복 사례에 초점을 맞춤으로써 계산을 다루기 쉽게 만들고 증명을 완료할 수 있었습니다.

순서를 자세히 살펴보면 N_k 또 다른 놀라움을 드러냅니다. N_k 순전히 무작위일 경우 예상할 수 있는 것보다 훨씬 더 자주 소수입니다. "와 더불어 k-괴벨 수열 그들이 정수라는 것은 단지 놀라운 것이 아닙니다.”라고 말했습니다. 리처드 그린, 콜로라도 대학의 수학자. “놀라운 점은 소수가 너무 자주 나타난다는 것입니다. 그러면 뭔가 더 깊은 일이 벌어지고 있는 것처럼 보입니다.”

새로운 논문이 다음과 같은 증거를 제시하고 있지만 N_k 항상 19 이상입니다. 항상 유한한지 또는 존재하는지는 알 수 없습니다. k 시퀀스에 정수가 무기한 포함되어 있습니다. “N_k 신비롭게 행동합니다. … 근본적인 패턴을 이해하려는 근본적인 욕구가 있습니다.”라고 Matsusaka는 말했습니다. “어렸을 때 선생님이 주신 퍼즐을 풀 때 느꼈던 기쁨과 비슷할 수도 있어요. 지금도 그 때의 감정이 내 안에 남아 있어요.”

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