브라우니 베이크 오프와 동일한 면적 뒤에 숨겨진 단순한 기하학

기하학 학생 Gina는 어젯밤 숙제를 하느라 너무 늦게까지 시청하면서 그레이트 브리티시 베이크, 그래서 그녀가 마침내 잠자리에 들었을 때 그녀의 졸린 마음은 여전히 ​​컵케이크와 나침반으로 가득 차 있었습니다. 이것은 가장 특이한 꿈으로 이어졌습니다.

Gina는 학생들이 기하학을 많이 배우지만 산술은 거의 배우지 않는 상상 대학에서 Great Brownie Bake Off의 심사위원이 되었습니다. Imaginary U 학생들의 팀은 그들이 할 수 있는 가장 큰 브라우니를 만드는 임무를 받았고 승자를 결정하는 것은 Gina의 몫이었습니다.

Alpha 팀이 가장 먼저 결승점을 통과했고 심사를 위해 직사각형 브라우니를 자랑스럽게 선보였습니다. Gina는 자를 꺼내 브라우니를 측정했습니다. 길이 16인치, 너비 9인치였습니다. Beta 팀은 각 면이 12인치인 사각형 브라우니를 가지고 재빨리 그 뒤를 이었습니다. 그때 문제가 시작되었습니다.

"우리 브라우니는 당신 것보다 훨씬 길어요." 팀 알파의 주장이 말했습니다. "우리 것이 확실히 더 크므로 우리가 승자입니다!"

"하지만 당신의 직사각형의 짧은 변은 우리 정사각형의 변보다 훨씬 짧습니다." 베타 팀의 대표가 말했습니다. “우리 광장은 분명히 더 큽니다. 우리가 이겼다!”

Gina는 이것에 대해 논쟁하는 것이 이상하다는 것을 알았습니다. “직사각형 브라우니의 면적은 9 곱하기 16, 즉 144제곱인치입니다.”라고 그녀는 말했습니다. “정사각형 브라우니의 넓이는 12 곱하기 12이고 역시 144제곱인치입니다. 브라우니는 같은 크기입니다. 넥타이입니다.”

두 팀 모두 어리둥절해 보였다. 곱셈을 배운 적이 없는 한 학생은 “'번'이 무슨 뜻인지 이해가 안 돼요.”라고 말했습니다. "나도 마찬가지야." 다른 사람이 말했다. XNUMX분의 XNUMX은 “복합대 학생들이 숫자로 넓이를 잰다는 얘기를 들은 적이 있는데 그게 무슨 뜻이냐”고 말했다. 상상의 대학은 꿈이 가는 한 참으로 이상한 곳이었습니다.

지나는 무엇을 하려고 했습니까? 면적을 측정하고 숫자를 곱하는 방법을 이해하지 못하는 팀이 브라우니의 크기가 같다고 팀을 설득하려면 어떻게 해야 할까요? 운 좋게도 Gina는 천재적인 아이디어를 가지고 있었습니다. "나에게 칼을 줘." 그녀가 말했다.

Gina는 직사각형 브라우니의 긴 면 아래로 12인치를 측정하고 짧은 면과 평행하게 절단했습니다. 이렇게 하면 큰 직사각형이 두 개의 작은 직사각형으로 바뀝니다. 하나는 9x12 크기이고 다른 하나는 9x4 크기입니다. 세 번의 빠른 절단으로 그녀는 9x4 조각을 3개의 더 작은 4xXNUMX 조각으로 바꿨습니다. 약간의 재배열로 인해 군중의 우와 아아 소리가 들렸습니다. Gina는 직사각형을 정사각형의 정확한 복제본으로 바꿨습니다.

이제 두 팀 모두 브라우니의 크기가 같다는 데 동의해야 했습니다. 하나를 해부하고 재배열하여 다른 하나를 형성함으로써 Gina는 두 개의 브라우니가 동일한 총 면적을 차지한다는 것을 보여주었습니다. 이와 같은 해부는 도형의 크기가 같다는 것을 보여주기 위해 수천 년 동안 기하학에 사용되었으며, 해부와 등가에 대한 놀라운 결과가 많이 있습니다. 오늘날에도 수학자들은 특정 모양이 동일한 경우를 완전히 이해하기 위해 여전히 해부 및 재배열을 사용하여 놀라운 최근 결과를 이끌어냅니다.

기본 도형의 넓이 공식을 개발할 때 수학 시간에 기하학적 해부를 본 적이 있을 것입니다. 예를 들어, 평행사변형의 면적은 밑면의 길이와 높이를 곱한 것과 같다는 것을 기억할 수 있습니다. 평행사변형을 해부하여 직사각형으로 재배열할 수 있기 때문입니다.

이 해부는 평행사변형의 넓이가 밑변과 높이가 같은 직사각형의 넓이와 같다는 것을 보여줍니다. Imaginary University에 다니지 않은 사람이라면 누구나 알고 있듯이 두 숫자의 곱입니다.

Imaginary U에 대해 말하면 Great Brownie Bake Off가 막 뜨거워졌습니다. 커다란 삼각 브라우니를 들고 다가온 감마팀. “여기 승자가 있습니다.”그들은 대담하게 발표했습니다. "우리 양쪽이 다른 쪽보다 훨씬 깁니다."

Gina는 측면을 측정했습니다. "이곳도 같은 면적을 가지고 있습니다!" 그녀는 외쳤다. “이것은 직각삼각형이고, 다리의 크기는 18과 16이므로 넓이는… “아, 신경 쓰지 마세요. 칼만 주세요.”

Gina는 빗변의 중간점에서 더 긴 다리의 중간점까지 능숙하게 슬라이스한 다음 새로 형성된 삼각형을 회전시켜 더 큰 조각에 포개졌을 때 완벽한 직사각형을 만들었습니다.

"그게 바로 우리 브라우니야!" 팀 알파가 외쳤다. 아니나 다를까, 결과 직사각형은 9 x 16이었으며 정확히 같은 크기였습니다.

베타 팀은 의문을 품었습니다. "하지만 이 삼각형은 우리 사각형과 비교하면 어떻습니까?" 그들의 팀 리더가 물었다.

Gina는 그럴 준비가 되어 있었습니다. "우리는 이미 직사각형과 정사각형이 같은 크기라는 것을 알고 있으므로 전이성에 의해 삼각형과 정사각형은 같은 크기입니다." 전이성은 평등의 가장 중요한 속성 중 하나입니다. a = b 과 b = c다음, a = c. 이어 지나는 “첫 번째 브라우니의 면적이 두 번째 브라우니의 면적과 같고 두 번째 브라우니의 면적이 세 번째 브라우니의 면적과 같다면 첫 번째 브라우니와 세 번째 브라우니도 면적이 같아야 한다”고 말했다.

그러나 Gina는 거기에서 멈추기에는 해부로 너무 재미있었습니다. "아니면 몇 번만 더 자를 수도 있습니다."

먼저 Gina는 이전에 삼각형이었던 직사각형을 회전했습니다. 그런 다음 그녀는 Team Alpha의 직사각형에 사용한 것과 똑같은 패턴을 사용하여 잘라냈습니다.

그런 다음 그녀는 Team Gamma의 삼각형에 대한 이 새로운 해부가 어떻게 Team Alpha의 사각형으로 했던 것처럼 Team Beta의 사각형으로 바뀔 수 있는지 보여주었습니다.

이 상황에서 우리는 삼각형과 사각형이 "가위 합동"이라고 말합니다. 가위를 사용하여 한 도형을 유한한 많은 조각으로 자른 다음 재배열하여 다른 도형을 형성하는 것을 상상할 수 있습니다. 삼각형과 사각형의 경우 브라우니는 이 가위 합동이 어떻게 작동하는지 정확히 보여줍니다.

패턴은 양방향으로 작동합니다. 삼각형을 사각형으로 또는 사각형을 삼각형으로 바꾸는 데 사용할 수 있습니다. 즉, 가위 합동은 대칭입니다. 모양 A가 모양 B와 합동인 가위이면 모양 B도 모양 A와 합동인 가위입니다.

사실 위의 삼각형, 직사각형, 정사각형에 관한 논증은 가위합동도 타동사임을 보여준다. 삼각형은 직사각형과 합동인 가위이고 직사각형은 정사각형과 합동인 가위이므로 삼각형은 정사각형과 합동인 가위입니다. 그 증거는 패턴에 있습니다. 위의 사각형에서 수행한 것처럼 중간 모양에 패턴을 오버레이하기만 하면 됩니다.

삼각형을 직사각형을 만드는 조각으로 자른 다음 사각형을 사각형을 만드는 조각으로 자르면 결과 조각을 사용하여 세 가지 모양 중 하나를 만들 수 있습니다.

가위 합동이 전이적이라는 사실은 놀라운 결과의 핵심입니다. 두 개의 다각형의 면적이 같으면 가위 합동입니다. 즉, 동일한 면적을 가진 두 개의 다각형이 있으면 항상 하나를 유한한 수의 조각으로 자르고 재배열하여 다른 하나를 만들 수 있습니다.

이 놀라운 정리의 증명도 매우 간단합니다. 먼저 각 다각형을 삼각형으로 자릅니다.

둘째, Gina가 삼각형 브라우니를 재배치한 방법과 유사하게 각 삼각형을 직사각형으로 바꿉니다.

이제 까다로운 기술적 부분이 있습니다. 각 직사각형을 XNUMX단위 너비의 새 직사각형으로 바꿉니다.

이렇게 하려면 너비가 XNUMX단위인 직사각형에서 조각을 자르기 시작합니다.

직사각형을 폭이 1인 정수 조각으로 자를 수 있으면 완료된 것입니다. 서로 쌓기만 하면 됩니다. 그렇지 않으면 마지막 조각의 너비가 1~2단위가 되면 자르기를 멈추고 나머지 조각을 서로 쌓습니다.

직사각형 자체의 너비가 1 단위 미만인 경우 걱정하지 마십시오. 반으로 자르고 두 조각을 사용하여 길이가 두 배이고 두께가 절반인 새 직사각형을 만듭니다. 너비가 1~2단위인 직사각형을 얻을 때까지 필요에 따라 반복합니다.

이제 이 마지막 직사각형의 높이가 있다고 상상해 보십시오. h 그리고 폭 w, 1 w < 2. 우리는 그 직사각형을 잘라내서 폭이 1이고 높이가 있는 직사각형으로 재정렬할 것입니다. h × w. 이렇게 하려면 오버레이 h × w 원하는 사각형 hw 이와 같은 직사각형 × 1.

그런 다음 점선을 따라 모서리에서 모서리로 자르고 오른쪽 가장자리를 따라 오른쪽 하단에 있는 작은 삼각형을 잘라냅니다. hw × 1 직사각형.

이것은 h × w 직사각형을 XNUMX개의 조각으로 재배열할 수 있는 hw × 1 직사각형. (이 최종 해부를 정당화하려면 유사한 삼각형을 포함하는 몇 가지 영리한 주장이 필요합니다. 자세한 내용은 아래 연습을 참조하십시오.)

마지막으로 이 마지막 사각형을 스택 맨 위에 놓으면 이 다각형(실제로 모든 다각형)을 너비 1의 사각형으로 성공적으로 전환했습니다.

이제 원래 폴리곤의 면적이 A, 이 직사각형의 높이는 다음과 같아야 합니다. A, 따라서 면적이 있는 모든 다각형 A 너비가 1이고 높이가 XNUMX인 직사각형에 합동인 가위입니다. A. 즉, 두 개의 다각형에 면적이 있는 경우 A, 그러면 둘 다 같은 직사각형에 합동인 가위이므로 추이성에 의해 서로 합동인 가위입니다. 이것은 면적이 있는 모든 폴리곤이 A 넓이가 있는 다른 모든 다각형에 합동인 가위입니다. A.

그러나 이 강력한 결과조차도 Imaginary University의 Brownie Bake Off 심사를 성공적으로 완료하기에는 충분하지 않았습니다. 아직 하나의 항목이 남아 있었고 Team Pi가 나타난 것에 아무도 놀라지 않았습니다.

지나는 그 원이 오는 것을 본 순간 식은땀을 흘리며 꿈에서 깨어났다. 그녀는 원을 유한한 조각으로 자르고 이를 재배치하여 정사각형, 직사각형 또는 다각형을 형성하는 것이 불가능하다는 것을 알고 있었습니다. 1964년 수학자 Lester Dubins, Morris Hirsch, Jack Karush는 원이 다각형과 합동인 가위가 아님을 증명했습니다. Gina의 꿈은 기하학적 악몽으로 바뀌었습니다.

그러나 그들이 항상 그렇듯이 수학자들은 이 장애물을 새로운 수학으로 바꾸었습니다. 1990년 Miklós Laczkovich는 한 쌍의 가위로는 만들 수 없는 무한히 작고, 무한히 분리되고, 무한히 들쭉날쭉한 조각을 사용할 수 있는 한, 원을 잘라 정사각형으로 재배열하는 것이 가능하다는 것을 증명했습니다.

Laczkovich의 결과가 놀랍고 흥미진진했던 만큼, 그러한 분해가 이론적으로 가능하다는 것을 증명했을 뿐입니다. 조각을 구성하는 방법을 설명하지 않고 존재할 수 있다는 것만 설명했습니다. 그래서 Andras Máthé, Oleg Pikhurko, Jonathan Noel이 등장했습니다. 2022년 초에 그들은 논문을 올렸다 Laczkovich의 업적과 일치하지만 시각화가 가능한 작품입니다.

불행히도 브라우니 베이크 오프를 해결하기 위해 결과를 사용할 수 없습니다. 가위만으로는 10개를 만들 수 없습니다.²⁰⁰ 분해에 필요한 조각. 그러나 이것은 Archimedes가 $latex pi$를 처음 발명하거나 발견했을 때 시작된 긴 질문에 답하는 또 다른 단계입니다. 그리고 그것은 우리가 이전 세대가 꿈도 꾸지 못했던 새로운 수학을 발명하거나 발견하는 방향으로 나아가도록 합니다.

운동

1. 평행사변형의 넓이 공식을 유도할 때 잘라낸 삼각형이 평행사변형의 다른 쪽 공간에 완벽하게 들어맞는다는 것을 어떻게 알 수 있는지 설명하십시오.

2. 삼각형을 직사각형으로 나눌 수 있는 이유를 설명하십시오.

연습 3과 4의 경우 다음을 표시하는 데 사용되는 다이어그램을 고려하십시오. h × w 직사각형은 와 합동인 가위입니다. hw × 1 사각형, 점에 레이블이 지정됨.

3. 왜 $latex triangle$인지 설명하세요. XYQ $latextriangle$과 유사합니다. ABX. 이것은 길이를 무엇으로 만드는가? QY?

4. 왜 $latex triangle$인지 설명하세요. PCX $latex 삼각형$과 합동입니다. AZQ.