개요
매듭 이론은 우주의 근본적인 구성을 이해하려는 시도에서 시작되었습니다. 1867년, 과학자들이 온갖 종류의 물질을 설명할 수 있는 것이 무엇인지 열심히 알아내려고 애쓰고 있을 때, 스코틀랜드의 수학자이자 물리학자인 Peter Guthrie Tait는 그의 친구이자 동포인 William Thomson 경에게 연기 고리를 생성하는 장치를 보여주었습니다. Thomson은 나중에 Lord Kelvin(온도 척도의 이름을 딴 사람)이 되었으며 고리의 매혹적인 모양, 안정성 및 상호 작용에 매료되었습니다. 그의 영감은 그를 놀라운 방향으로 이끌었습니다. 아마도 그는 연기 고리가 공기 중의 소용돌이인 것처럼 원자가 물리학자들이 믿었던 빛이 전파되는 보이지 않는 매질인 발광 에테르의 매듭이 있는 소용돌이 고리라고 생각했을 것입니다.
이 빅토리아 시대의 아이디어가 지금은 우스꽝스럽게 들릴지 모르지만, 그것은 하찮은 조사가 아니었습니다. 이 소용돌이 이론은 그것을 추천할 것이 많습니다. 각각 약간씩 다른 매듭의 순전한 다양성은 많은 화학 원소의 다른 속성을 반영하는 것처럼 보였습니다. 소용돌이 고리의 안정성은 또한 원자가 필요로 하는 영속성을 제공할 수 있습니다.
소용돌이 이론은 과학계에서 주목을 받았고 Tait가 모든 매듭을 도표화하기 시작하도록 영감을 주어 원소 도표와 동등하기를 바라는 것을 만들었습니다. 물론 원자는 매듭이 아니며 에테르도 없습니다. 1880년대 후반 Thomson은 점차 소용돌이 이론을 포기했지만 그때까지 Tait는 매듭의 수학적 우아함에 매료되어 도표 작성 프로젝트를 계속했습니다. 그 과정에서 매듭 이론의 수학적 분야를 확립했다.
우리는 모두 매듭에 익숙합니다. 매듭은 발에 신발을 신게 하고, 보트를 부두에 고정하고, 등산객은 바위 아래에서 떨어져 있어야 합니다. 그러나 그 매듭은 수학자(타이트 포함)가 매듭이라고 부르는 것과 정확히 일치하지 않습니다. 얽힌 연장 코드가 엉킨 것처럼 보일 수 있지만 항상 풀 수 있습니다. 수학적 매듭을 얻으려면 코드의 다른 쪽 끝을 서로 연결하여 닫힌 루프를 형성해야 합니다.
매듭의 가닥은 끈처럼 유연하기 때문에 수학자들은 매듭 이론을 다음의 하위 분야로 봅니다. 토폴로지, 가단성 모양의 연구. 때로는 매듭을 풀어서 단순한 원으로 만드는 것이 가능합니다. 우리는 이것을 "매듭"이라고 부릅니다. 그러나 더 자주 매듭을 푸는 것은 불가능합니다.
매듭은 결합하여 새로운 매듭을 형성할 수도 있습니다. 예를 들어, trefoil로 알려진 간단한 매듭과 거울 이미지를 결합하면 정사각형 매듭이 생성됩니다. (그리고 두 개의 동일한 trefoil 매듭을 연결하면 할머니 매듭이됩니다.)
수학자들은 숫자 세계의 용어를 사용하여 trefoil은 프라임 매듭이고, 사각형 매듭은 합성이며, 숫자 1과 마찬가지로 매듭이 없는 매듭도 둘 다 아니라고 말합니다. 이 유추는 1949년 Horst Schubert가 모든 매듭이 소수이거나 고유하게 소수 매듭으로 분해될 수 있음을 증명했을 때 더욱 뒷받침되었습니다.
새로운 매듭을 만드는 또 다른 방법은 둘 이상의 매듭을 엮어 링크를 형성하는 것입니다. 이탈리아 보로메오 가문의 문장에 나타나 있기 때문에 그렇게 명명된 보로메오 반지는 간단한 예입니다.
Thomson과 Tate는 매듭을 수학적으로 처음으로 본 것은 아닙니다. 일찍이 1794년에 Carl Friedrich Gauss는 그의 개인 노트에 매듭의 예를 쓰고 그렸습니다. 그리고 가우스의 제자 요한 리스팅은 1847년 논문에서 매듭에 대해 썼습니다. Vorstudien zur 토폴로지 ("토폴로지에 대한 예비 연구") - 토폴로지라는 용어의 기원이기도 합니다.
그러나 Tait는 매듭 이론의 근본적인 문제가 된 모든 가능한 매듭의 분류 및 표에 대해 연구한 최초의 학자였습니다. 그는 기하학적 직관만을 사용하여 수년간의 고된 작업을 통해 평면에 투영할 때 최대 XNUMX개의 교차점이 있는 모든 주요 매듭을 찾아 분류했습니다.
19세기 후반에 Tait는 Thomas Kirkman 목사와 미국 수학자 Charles Little도 이 문제를 연구하고 있다는 사실을 알게 되었습니다. 그들의 결합된 노력으로 그들은 모든 주요 매듭을 최대 10개의 교차점과 11개의 교차점으로 분류했습니다. 놀랍게도 최대 10개의 테이블이 완성되었습니다. 매듭을 놓치지 않았습니다.
Tait, Kirkman 및 Little이 앞으로 몇 년 동안 발견될 정리와 기술 없이도 그렇게 많은 것을 성취했다는 것은 놀라운 일입니다. 그러나 그들에게 유리하게 작용한 한 가지는 대부분의 작은 매듭이 "교대"한다는 사실이었습니다. 즉, 교차점이 일관된 오버 언더 오버 언더 패턴을 나타내는 투영이 있음을 의미합니다.
교대 매듭에는 교대하지 않는 매듭보다 분류하기 쉬운 속성이 있습니다. 예를 들어, 매듭의 투영에 대한 최소 교차 수를 찾는 것은 어렵습니다. 그러나 수년 동안 모든 매듭이 교대한다고 잘못 가정한 Tait는 그 최소 수를 찾았는지 알 수 있는 방법을 추측했습니다. 교대 투영에 매듭의 일부를 뒤집어서 제거할 수 있는 교차점이 없는 경우 최소 교차 수의 투영.
이 매듭과 교대 매듭에 대한 Tait의 추측 중 두 가지가 사실이 되었습니다. 그러나 이러한 유명한 추측은 매듭 이론에 대한 연구로 필즈상을 수상한 Vaughan Jones가 1980년에 개발한 수학 도구를 사용하여 90년대 후반과 1984년대 초반까지 증명되지 않았습니다.
불행히도, 매듭을 번갈아 가며 사용하면 여기까지만 가능합니다. XNUMX개 이상의 교차로 매듭을 짓게 되면 교대하지 않는 매듭의 수가 빠르게 증가하여 Tait의 기술이 덜 유용합니다.
모든 10개 교차 매듭의 원래 테이블은 완성되었지만 Tait, Kirkman 및 Little은 이중으로 계산되었습니다. 1970년대가 되어서야 프린스턴에서 매듭 이론을 공부한 변호사 Kenneth Perko가 두 매듭이 서로의 거울상이라는 사실을 알게 되었습니다. 그들은 이제 그를 기리기 위해 Perko 쌍으로 알려져 있습니다.
지난 세기 동안 수학자들은 매듭이 정말로 다른지 판단하는 많은 영리한 방법을 찾아냈습니다. 기본적으로 아이디어는 불변을 식별 — 매듭과 관련되고 종종 간단하게 계산될 수 있는 속성, 수량 또는 대수적 개체. (이러한 속성에는 채색성, 브리지 번호 또는 비틀기와 같은 이름이 있습니다.) 이러한 레이블로 무장한 수학자들은 이제 두 개의 매듭을 쉽게 비교할 수 있습니다. 주어진 속성이 다르면 동일한 매듭이 아닙니다. 그러나 이러한 속성 중 어느 것도 수학자들이 완전 불변이라고 부르는 것이 아닙니다. 즉, 두 개의 서로 다른 매듭이 동일한 속성을 가질 수 있습니다.
이 모든 복잡성 때문에 매듭의 표가 여전히 진행 중이라는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 가장 최근인 2020년에는 Benjamin Burton 모든 프라임 매듭으로 분류 최대 19개의 교차점(이 중 거의 300억 개).
전통적인 매듭 이론은 XNUMX차원에서만 의미가 있습니다. XNUMX차원에서는 매듭이 풀린 것만이 가능하고 XNUMX차원에서는 여분의 공간이 있기 때문에 매듭이 스스로 풀릴 수 있으므로 모든 매듭은 매듭이 풀린 것과 같습니다.
그러나 XNUMX차원 공간에서는 구를 매듭지을 수 있습니다. 이것이 의미하는 바를 이해하려면 일반 구를 일정한 간격으로 슬라이스한다고 상상해 보십시오. 그렇게 하면 위도선과 같은 원이 생성됩니다. 그러나 추가 차원이 있는 경우 구를 매듭지어 이제는 XNUMX차원이 아닌 XNUMX차원인 조각이 매듭이 될 수 있습니다.
이 아이디어는 매듭 이론의 가장 큰 최근 결과 중 하나입니다. 2018년 당시 대학원생인 Lisa Piccirillo 50년생 의문을 해결하다 John Conway가 처음 발견한 약 11개의 교차 매듭. 질문은 슬라이스라는 속성과 관련이 있었습니다. 우리가 보았듯이, 매듭이 있는 구를 XNUMX차원으로 자를 때, 우리는 XNUMX차원의 매듭이나 링크를 얻습니다. 때때로 우리는 매끄럽게 매듭된 멋진 구에서 주어진 매듭을 얻을 수 있지만 다른 매듭의 경우 구는 매듭을 지어서 휴지 조각처럼 구겨야 합니다. Piccirillo는 본질적으로 Conway의 매듭이 후자 유형임을 증명했습니다. 전문 용어로 그녀는 그것이 "매끄러운 슬라이스"가 아님을 증명했습니다.
매듭 이론은 수세기 동안 수학적 지형을 가로질러 왔습니다. 그것은 Thomson이 매듭을 사용하여 물질의 구성을 이해하려고 시도하면서 수학의 응용 분야로 시작되었습니다. 그 생각이 희미해지면서 그것은 순수 수학의 영역이 되었고, 흥미롭고 여전히 비현실적인 토폴로지 영역의 한 분야가 되었습니다. 그러나 최근 몇 년 동안 매듭 이론은 과학자들이 매듭 이론의 아이디어를 사용하여 수학의 응용 분야가 되었습니다. 유체 역학, 전기역학, DNA와 같은 매듭이 있는 분자 등등. 다행히 과학자들이 다른 것을 연구하느라 바쁜 동안 수학자들은 매듭 목록을 만들고 비밀을 풀기 위한 도구를 만들고 있었습니다.
